Differenciális binomiális

A matematikai elemzésben a differenciális binomiális vagy binomiális differenciál az alak differenciálja

x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,

ahol a , b valós számok , a m , n , p racionális számok . Érdekes a differenciális binomiális integrálja :

I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx.

Tulajdonságok

Az integrál kifejezhetősége elemi függvényekben

A differenciális binomiális integrál csak három esetben fejeződik ki elemi függvényekben :

$p$ egy egész szám. A helyettesítés használatos , a törtek és a törtek közös nevezője ; $x=t^{k}$ $k$ $m$ $n$
${\frac {m+1}{n))$ egy egész szám. A helyettesítést használjuk , a tört nevezője . $a+bx^{n}=t^{s}$ $s$ $p$
$p+{\frac {m+1}{n}}$ egy egész szám. A helyettesítést használjuk , a tört nevezője . $ax^{{-n}}+b=t^{s}$ $s$ $p$

A béta függvény és a hipergeometrikus függvény kapcsolata

A differenciális binomiális integrálját a nem teljes béta függvényben fejezzük ki :

I={\frac {1}{n}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}\cdot B_ {y}\left({\frac {m+1}{n)),p+1\right),

ahol , valamint a hipergeometrikus függvényen keresztül : $y=-{\tfrac {b}{a}}x^{n}$

I={\frac {1}{m+1}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}y ^{(m+1)/n}\cdot {}_{2}F_{1}\left({\frac {m+1}{n)),-p;{\frac {m+1}{ n}}+1;y\jobbra).

Példák

Integrál

\int {\sqrt[{3}]{1+x^{2))}dx

itt nem elemi függvényekben fejeződik ki , és az m, n és p három feltétele közül egyik sem teljesül. $m=0,n=2,p={1 \over 3}$

Ugyanakkor az integrál

\int {\sqrt {1+x^{2}}}dx={x{\sqrt {x^{2}+1}} \over 2}+{1 \over 2}\ln(x+ {\sqrt {x^{2}+1)))+C

mint látjuk, elemi függvényekben fejeződik ki, hiszen itt , és , azaz egész szám. $m=0,n=2,p={1 \over 2}$ ${m+1 \over n}+p=1$

Történelem

A differenciális binomiális kifejezhetőségének eseteit elemi függvényekben még L. Euler is ismerte . A differenciális binomiális elemi függvényekben való kifejezhetetlenségét azonban minden más esetben P. L. Csebisev bizonyította 1853 - ban [1] .

Lásd még

Az elemi függvények integráljainak listája

Jegyzetek

↑ P. Tchebicef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles ( francia) Journal de mathématiques pures et appliquées :magazin. - 1853. - Kt. XVIII . - 87-111 . o .

Linkek

Differenciális binomiális cikk a Great Soviet Encyclopedia- ból .
Integration Of Differential Binomial (angol) a PlanetMath webhelyen .
Határozatlan integrálok táblái .