Diszkrét hullámtranszformáció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2018. január 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A numerikus és funkcionális elemzésben a diszkrét wavelet transzformációk (DWT) olyan wavelet transzformációkra utalnak, amelyekben a waveleteket diszkrét jelek (minták) reprezentálják.

Az első DWT-t Alfred Haar magyar matematikus tervezte meg . Egy 2n számból álló tömbből álló bemeneti jel esetén a Haar wavelet transzformáció egyszerűen 2-vel és összeggel csoportosítja az elemeket, és eltér ezektől. Az összegek csoportosítását rekurzív módon hajtják végre a következő bontási szint kialakításához. Az eredmény 2 n −1 különbség és 1 teljes összeg.

Ez az egyszerű DWT a waveletek általános hasznos tulajdonságait szemlélteti. Először is, az átalakítás műveletekben végezhető el . Másodszor, nem csak a jelet bontja fel valamilyen frekvenciasáv-szerűségre (különböző skálán elemezve), hanem az időtartományt is reprezentálja, vagyis bizonyos frekvenciák előfordulási pillanatait a jelben. Ezek a tulajdonságok együttesen jellemzik a gyors wavelet transzformációt, amely a szokásos gyors Fourier transzformáció egy lehetséges alternatívája . Az X jel véletlenszerűségi feltételének elfogadásakor Y amplitúdóinak spektrális sűrűségét a Yates algoritmus alapján számítjuk ki: Y mátrix =mátrix(± X ), az X =mátrix(± Y ) fordított mátrix is igaz . $n\log _{2}(n)$

A diszkrét wavelet transzformációk leggyakoribb halmazát Ingrid Daubechies belga matematikus fogalmazta meg 1988-ban. Ez az implicit módon adott anya wavelet függvény egyre pontosabb mintáinak kiszámításán alapul, a felbontás megkétszerezésével a következő szintre (skála) lépéskor. Alapművében Daubechies a hullámok családját vezeti le, amelyek közül az első a Haar wavelet. Azóta az érdeklődés e terület iránt gyorsan nőtt, ami az eredeti Daubechies wavelet család számos leszármazottjának létrejöttéhez vezetett.

A diszkrét wavelet transzformáció egyéb formái közé tartozik a nem decimált wavelet transzformáció (ahol nem történik jeltizedelés), a Newland-transzformáció (ahol az ortonormális wavelet bázis a frekvenciatartományban speciálisan felépített "top-hat" típusú szűrőkből származik). A csomag wavelet transzformációi szintén a DWT-hez kapcsolódnak. A DWT másik formája a komplex wavelet transzformáció.

A diszkrét wavelet transzformációnak számos alkalmazása van a természettudományokban, a mérnöki tudományokban és a matematikában (beleértve az alkalmazottakat is). A DWT-t a legszélesebb körben a jelkódolásban használják, ahol a transzformációs tulajdonságokat a diszkrét jelek megjelenítésének redundanciájának csökkentésére használják, gyakran az adattömörítés első lépéseként.

Definíció

Az átalakulás egyik szintje

A jel DWP-jét szűrőkészlet alkalmazásával kapjuk meg. Először a jelet egy aluláteresztő (aluláteresztő) szűrőn vezetjük át impulzusválaszsal , és egy konvolúciót kapunk : $x$ $g$

y[n]=(x*g)[n]=\sum \limits _{{k=-\infty }}^{\infty }{x[k]g[nk]}

Ezzel egyidejűleg a jelet egy felüláteresztő (high-pass) szűrő segítségével lebontják . Az eredmény részletező együtthatók (az aluláteresztő szűrő után) és közelítési együtthatók (az aluláteresztő szűrő után). Ez a két szűrő összefügg, és négyzetes tükörszűrőknek (QMF) nevezik. $h$

Mivel a jel frekvenciatartományának felét kiszűrtük, így a Kotelnyikov- tétel szerint a jelszámlálások 2-szeresére ritkíthatók:

y_{{{\mathrm {low}}}}[n]=\sum \limits _{{k=-\infty }}^{\infty }{x[k]g[2n-k]}

y_{{{\mathrm {high}}}}[n]=\sum \limits _{{k=-\infty }}^{\infty }{x[k]h[2n-k]}

Ez a bővítés a jeltizedelés miatt felére csökkentette az időfelbontást. A kapott jelek mindegyike azonban az eredeti jel frekvenciasávszélességének felét képviseli, így a frekvenciafelbontás megduplázódik.

A ritkító operátor használata $\lefele nyíl$

(y\downarrow k)[n]=y[kn]

a fenti összegeket rövidebben is leírhatjuk:

y_{{{\mathrm {low}}}}=(x*g)\downarrow 2

y_{{{\mathrm {high}}}}=(x*h)\downarrow 2

A teljes konvolúció kiszámítása, majd a ritkítás a számítási erőforrások pazarlása. $x*g$

Az emelési séma e két számítás váltakozásán alapuló optimalizálás.

Lépcsőzetes és szűrőbankok

Ez a dekompozíció többször megismételhető a frekvenciafelbontás további növelése érdekében az együtthatók további tizedelésével aluláteresztő és felüláteresztő szűrés után. Ez egy bináris faként ábrázolható, ahol a levelek és a csomópontok különböző idő-frekvencia lokalizációjú tereknek felelnek meg. Ez a fa a szűrők bankjának (fésűjének) szerkezetét reprezentálja .

A fenti diagram minden szintjén a jel alacsony és magas frekvenciákra bomlik. A kettős tizedelés miatt a jel hosszának többszörösének kell lennie , ahol a dekompozíciós szintek száma. $2^{n}$ $n$

Például egy 32 mintás jelnél 0 és 3 szint közötti frekvenciatartományban a bővítés 4 kimenetet ad különböző skálán: $f_n$

Szint	Frekvenciák	A jel hossza
3	$0$ … ${{f_{n}}}/8$	négy
3	${{f_{n}}}/8$ … ${{f_{n}}}/4$	négy
2	${{f_{n}}}/4$ … ${{f_{n}}}/2$	nyolc
egy	${{f_{n}}}/2$ … $f_n$	16

Programpélda

Haar algoritmusa

Példa egy gyors, egydimenziós wavelet transzformációra, a Haar wavelet felhasználásával 2 N méretű kezdeti adatok tömbjére (a szűrőfokozatok száma rendre N) C#-ban:

public static Lista < Double > DirectTransform ( List < Double > SourceList ) { if ( SourceList . Count == 1 ) return SourceList ; Lista < Double > RetVal = new List < Double >(); Lista < Dupla > TmpArr = new Lista < Dupla >(); for ( int j = 0 ; j < SourceList . Count - 1 ; j += 2 ) { RetVal . Hozzáadás (( ForrásLista [ j ] - ForrásLista [ j + 1 ]) / 2.0 ); TmpArr . Hozzáadás (( SourceList [ j ] + SourceList [ j + 1 ]) / 2.0 ); } RetVal . AddRange ( DirectTransform ( TmpArr )); return RetVal ; }

Hasonlóképpen, egy példa az inverz wavelet transzformációra:

public static List < Double > InverseTransform ( List < Double > SourceList ) { if ( SourceList . Count == 1 ) return SourceList ; Lista < Double > RetVal = new List < Double >(); Lista < Double > TmpPart = new List < Double >(); for ( int i = SourceList . Count / 2 ; i < SourceList . Count ; i ++ ) TmpPart . Add ( ForrásLista [ i ]); Lista < Double > SecondPart = InverseTransform ( TmpPart ); for ( int i = 0 ; i < SourceList . Count / 2 ; i ++ ) { RetVal . Add ( SecondPart [ i ] + SourceList [ i ]); RetVal . Add ( SecondPart [ i ] - SourceList [ i ]); } return RetVal ; }

Kétdimenziós wavelet transzformáció

Az új JPEG-2000 szabvány kidolgozásakor a wavelet transzformációt választották képtömörítésre. Maga a wavelet transzformáció nem tömöríti az adatokat, hanem lehetővé teszi a bemeneti kép oly módon történő átalakítását, hogy redundanciája a képminőség észrevehető romlása nélkül csökkenthető.

Lásd még

Folyamatos hullámtranszformáció

Jegyzetek

↑ Sémák oroszul

Irodalom

Stephane Mallat. Wavelet körút a jelfeldolgozásról
Zakharov S. I. , Kholmskaya A. G. A rezgés- és zajjelek feldolgozásának hatékonyságának javítása a mechanizmusok tesztelése során // Vestnik mashinostroeniya : zhurnal. - M . : Mashinostroenie, 2001. - 10. sz . - S. 31-32 . — ISSN 0042-4633 .

Linkek

Termékek vibroakusztikai és vibrodiagnosztikai érzékelője: Pat No. 95116U1, IPC G 01 H 1/08.
A gyors diszkrét biortogonális CDF 9/7 wavelet előre és inverz transzformációja (lifting implementáció) egy C implementáció a JPEG-2000 képtömörítési algoritmusban használt diszkrét biortogonális CDF 9/7 wavelet gyors emelésére .
Új trend a mechanikai és fizikai mennyiségek érzékelőiből származó adatok konvertálásában. M: Gépészet//Gépészeti Értesítő, 2004, 4. sz., 78. o.
Yuen Ch., Beacham K., Robinson J. Mikroprocesszoros rendszerek és alkalmazásuk a jelfeldolgozásban. M: Rádió és kommunikáció, 1986. 296 p.
Dhonson N., Lyon F. Statisztika és kísérletek tervezése a technológia és a tudomány területén. Kísérlettervezési módszerek. M: Béke. 1981. 512 p.
Brokh ET A Brüel & Kjær mérőrendszereinek alkalmazása a mechanikai rezgések és lökések elemzésére. Söborg; Larsen és fia. 1973. 235 p.
Bute P.-A. Sokk (sokk) impulzusok mérése. Új módszer a gördülőcsapágyak működés közbeni állapotának ellenőrzésére. Jelentés. SKF cég. 1971. 7p.
Kharkevich A. A. Spektrumok és elemzések. M: Fizmatgiz.1963. 432 p.

Tömörítési módszerek

Elmélet

Információ	Saját Kölcsönös Entrópia Feltételes entrópia Bonyolultság Redundancia
Egységek	Bit Nat Rágcsál Hartley Hartley képlet

Veszteségmentes

Entrópia tömörítés	Aszimmetrikus számrendszerek Huffman algoritmus Adaptív Huffman algoritmus Shannon-Fano algoritmus Shannon algoritmusa Aritmetikai kódolás ( intervallum ) Golomb kódok Delta Univerzális kód Elias fibonacci
Szótári módszerek	RLE Kienged LZ ( LZ77/LZ78 LZSS LZW LZWL LZO LZMA LZX LZRW LZJB LZT LZ4 Brotli zstandard )
Egyéb	RLE CTW BWT MTF PPM DMC

Hang

Elmélet	Konvolúció PCM Aliasing Mintavétel Kotelnyikov tétele
Mód	LPC LAR LSP WLPC CELP ACELP Törvény μ-törvény ADPCM MDCT Fourier transzformáció Pszichoakusztikus modell
Egyéb	Audio kompresszor Beszédtömörítés Sáv kódolás

Képek

Feltételek	színtér Pixel Telítettségi részmintavétel Tömörítési műtermékek
Mód	RLE DPCM fraktál hullámocska EZW SPIHT LP PrEP PCL
Egyéb	Bitráta Szabványos tesztkép PSNR Kvantálás

Videó

Feltételek	Videó jellemzői Keret Keret típusok Videó minőség
Mód	Mozgáskompenzáció PrEP Kvantálás hullámocska
Egyéb	Videokodek Sebesség-torzítás elmélet CBR ABR VBR