Haar hullám

A Haar wavelet az egyik első és legegyszerűbb hullám . Az alapja az Alfréd Haar magyar matematikus által 1909 -ben javasolt ortogonális függvényrendszer [1] . A Haar hullámok merőlegesek, kompakt alátámasztással rendelkeznek, jól lokalizálhatók a térben, de nem simaak. Ezt követően Ingrid Daubechies elkezdte kidolgozni az ortogonális hullámok elméletét, és javasolta az iteratív módon számított függvények, az úgynevezett Daubechies-hullámok használatát.

A Haar wavelet felépítése

Az integrál nulla értékű szülő (anya) wavelet függvénye , amely meghatározza a jel részleteit, a következő: $\psi(x)$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi (x)\,dx=0$

$\psi (x)={\begin{cases}1,&0\leqslant x<1/2\\-1,&1/2\leqslant x<1\\0,&x\notin [0,\; 1)\end{cases}}$

A skálázási függvény az integrál egységértékével , amely a jel durva közelítését ( közelítését ) határozza meg, állandó: $\varphi(x)$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dx=1$ $\varphi (x)={\begin{cases}1,&0\leqslant x<1\\0,&x\notin [0,\;1)\end{cases}}$

Haar transzformáció

A Haar transzformációt a bemeneti jelek tömörítésére, a képek tömörítésére használják, többnyire színes és fekete-fehér sima átmenetekkel. Ideális képekhez, például röntgenfelvételekhez. Ez a fajta archiválás régóta ismert, és közvetlenül a régiók koherenciájának felhasználásának ötletéből fakad. A tömörítési arány be van állítva, és 5-100 között változik. Amikor megpróbál magasabb együtthatót beállítani éles szegélyeken, különösen az átlósan áthaladókon, „lépcsőházhatás” jelenik meg – több képpont méretű, különböző fényerejű lépések .

Haar transzformáció egydimenziós jelhez

Legyen egy egydimenziós diszkrét bemeneti jel . Minden szomszédos elempárhoz két szám van hozzárendelve: és . Ezt a műveletet az eredeti jel minden elemére megismételve a kimeneten két jelet kapunk, amelyek közül az egyik a bemeneti jel - durvított változata, a másik pedig az eredeti jel visszaállításához szükséges részletes információkat tartalmazza. Hasonlóképpen, a Haar transzformáció alkalmazható a vett jelre stb. $S$ $a_{i}={\frac {S_{{2i}}+S_{{2i+1}}}{2}}$ $b_{i}={\frac {S_{{2i}}-S_{{2i+1}}}{2}}$ $a_{i}$ $a_{i}$

Példa

Legyen a bemeneti jel egy 8 pixeles fényerő-értékből álló karakterlánc ( ): (220, 211, 212, 218, 217, 214, 210, 202). A Haar transzformáció alkalmazása után a következő két és sorozatot kapjuk : (215.5, 215, 215.5, 206) és (4.5, -3, 1.5, 4). Érdemes megjegyezni, hogy az értékek meglehetősen közel vannak a 0-hoz. A sorozat műveletét megismételve a következőt kapjuk: (215,25, 210,75) (0,25, 4,75). $S$ $a_{1}$ $b_{1}$ $b_{1}$ $a_{1}$

A Haar transzformáció példája jól mutatja a jel diszkrét wavelet transzformációjának szerkezetét. A transzformáció minden lépésében a jel két részre oszlik: egy kisebb felbontású közelítésre ( közelítés ) és részletinformációra.

Haar transzformáció kétdimenziós jelhez

A kétdimenziós Haar transzformáció nem más, mint egydimenziós Haar transzformációk kompozíciója. A kétdimenziós bemeneti jelet ábrázolja a mátrix . Az egydimenziós Haar transzformációt a mátrix minden sorára alkalmazva két új mátrixot kapunk, amelyek sorai az eredeti mátrix sorainak közelített és részletezett részét tartalmazzák. Hasonlóképpen egy egydimenziós Haar transzformációt alkalmazunk a kapott mátrixok minden oszlopára, és négy mátrixot kapunk a kimeneten, amelyek közül az egyik az eredeti jel közelítő komponense, a maradék három pedig részletes információkat tartalmaz - függőleges, vízszintes és átlós. $S$ $S$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionsysteme, Értekezés (Gottingen, 1909); Math. Ann. 69 (1910), 331-371, 71 (1912), 33-53