Schlegel diagram
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .A Schlegel-diagram egy politóp projekciója tól -ig az egyik lapja mögötti ponton keresztül . A kapott ábra kombinatorikusan ekvivalens az eredeti politóppal. A diagramot Schlegel Viktorról nevezték el , aki 1886-ban javasolta ezt a módszert a politópok kombinatorikus és topológiai tulajdonságainak tanulmányozására. A 3-as és 4-es dimenzióban a Schlegel-diagramok egy (3-dimenziós) poliéder síkidomba , illetve egy 4-dimenziós poliéder háromdimenziós térbe való vetítése . Mint ilyen, a Schlegel-diagramokat gyakran használják a 4D poliéderek megjelenítésére.
Épület
A poliéder Schlegel-diagramjának legelemibb leírását Duncan Sommerville adta [1] :
A konvex poliéder ábrázolásának nagyon hasznos módszere a síkvetítés. Ha ez a vetület egy külső pontból származik, mivel minden sugár kétszer halad át a poliéderen, akkor azt egy kétszer sokszögekre osztott sokszög terület fogja ábrázolni. Mindig van megfelelő választás a vetítési középponthoz, hogy az egyik lap vetülete tartalmazza az összes többi lap vetületét. Ezt a poliéder Schlegel-diagramjának nevezik. A Schlegel-diagram teljes mértékben reprezentálja a poliéder morfológiáját. Néha célszerű egy poliédert kivetíteni egy csúcsból. A csúcs a végtelenbe van vetítve és nem jelenik meg a diagramon, a hozzá tartó éleket a végtelenbe tartó sugarak ábrázolják.Sommerville a négydimenziós térben lévő szimplex esetét is megvizsgálta [2] : "Az S 4 szimplexének Schlegel-diagramja négy tetraéderre osztott tetraéder." Általánosságban elmondható, hogy egy n-dimenziós térben lévő politópnak van egy Schlegel-diagramja, amelyet a politópon kívüli, az arc közepe feletti ponton keresztüli perspektivikus vetítéssel szerkesztenek. A politóp összes csúcsa és éle ennek az oldalnak a hipersíkjára vetül . Ha a politóp domború, akkor egy lap közelében van egy pont, ahol ez az oldal külsővé válik, és az összes többi lap benne van, miközben az élek nem metszik egymást.
Példák
| Dodekaéder | 120 cella |
|---|---|
12 ötszögletű lap egy síkon |
120 dodekaéder (sejt) 3 dimenziós térben |
Az ikozaéder megjelenítésének különböző típusai
perspektíva |
letapogatás |
kivetítés |
petri |
Schlegel |
Vertex figura |
Lásd még
- A kibontás egy másik megközelítés az alacsonyabb dimenziós poliédereken keresztül történő megjelenítéshez, amelyben az oldalak szét vannak húzva, és addig hajtogatják , amíg az összes lap ugyanabban a hipersíkban nem lesz. Egy ilyen ábrázolás megtartja a geometriai méreteket és alakot, de a topológiai kapcsolatokat nehezebb figyelembe venni.
Jegyzetek
- ↑ Sommervill, 1929 , p. 100.
- ↑ Sommervill, 1929 , p. 101.
Irodalom
- Duncan Sommerville. Bevezetés az N méret geometriájába. - EP Dutton, 1929. Reprint 1958, Dover Books .
- Viktor Schlegel . Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde . - Druck von E. Blochmann & Sohn Drezdában, 1883. - T. Nova Acta, Ksl. Leop.-Carol. Deutsche Akademie der Naturforscher XLIV. Archivált: 2007. március 12. aWayback Machine
- Viktor Schlegel. Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper. - Warren, 1886.
- HSM Coxeter . Rendszeres politópok. - Methuen és Társa, 1948. - S. 242.
- Rendszeres politópok. — 3. kiadás. - Doveri kiadás, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
- Branko Grünbaum . Konvex politópok / Volker Kaibel, Victor Klee, Günter M. Ziegler. — 2. - New York, London: Springer-Verlag , 2003. - ISBN 0-387-00424-6 .
Linkek
- Weisstein, Eric W. Schlegel grafikon (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
- George W. Hart: 4D politóp vetületi modellek 3D nyomtatással
- Nrich matematika - iskolásoknak és tanároknak.