Dedekind zéta függvény

A Dedekind-zéta-függvény egy algebrai számmező zéta-függvénye , amely a Riemann-zéta-függvény általánosítása . $\zeta _{K}(s)$ $K$

Definíció és főbb tulajdonságok

Legyen egy algebrai számmező, legyen komplex szám , akkor $K$ $s$

\zeta _{K}(s)=\sum \limits _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(N_{K/\mathbb {Q } }(I))^{s}}}

ahol az egész számok gyűrűjének minden nullától eltérő ideálján fut át a mezőben , az ideális abszolút normája (amely egyenlő az indexszel ). Ez a sorozat mindenki számára abszolút konvergál a valódi részhez . $én$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $N_{K/\mathbb {Q} }$ $én$ $[{\mathcal {O}}_{K}\colon I]$ $s\in \mathbb {C}$ $\operatorname {Re} (s)>1$

Általában a Dedekind zéta függvényt a következőképpen határozzuk meg

\zeta _{K}(s)=\sum \limits _{\mathfrak {a}}{\frac {1}{N({\mathfrak {a}})^{s}}}

ahol a mező összes egész osztóján keresztül fut , és az osztó normáját jelöli . $\mathfrak{a}$ $K$ $N({\mathfrak {a}})$ $\mathfrak{a}$

Tulajdonságok

Ha a racionális számok mezője , akkor a Riemann-zéta-függvények. $K=\mathbb {Q}$ $\zeta _{\mathbb {Q} }(s)=\zeta (s)$

Euler termék

A Dedekind zéta függvény egy Euler-termékké bővül a gyűrű összes elsődleges ideáljával $K$ $P$ ${\mathcal {O}}_{K}$

\zeta _{K}(s)=\prod \limits _{P\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{ (N_{K/\mathbb {Q} }(I))^{s}}}}}

at . $\operatorname {Re} (s)>1$

Ez a képlet kifejezi egy ideálnak a Dedekind-gyűrűben az elsődleges ideálok termékévé való bomlásának egyediségét . Ugyanis a nullától eltérő tényezők szorzata abszolút a -hoz konvergál , amiből az következik, hogy ebben a régióban . $én$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $\operatorname {Re} (s)>1$ $\zeta _{K}(s)$ $\zeta _{K}(s)\neq 0$

Analitikus folytatás

$\zeta _{K}(s)$ van analitikus folytatása a teljes komplex síkra, ami egy meromorf függvény , amelynek egyszerű pólusa a -nál . $s=1$

Funkcionális egyenlet

A Riemann-zéta-függvényhez hasonlóan a Dedekind-zéta-függvény is eleget tesz néhány funkcionális egyenletnek, amely az és értékekkel kapcsolatos . Pontosabban, legyen a mező diszkriminánsa , legyen a valós beágyazások száma, és a mező komplex konjugált beágyazási párjainak száma -ben . Jelöli $\zeta _{K}(s)$ $\zeta _{K}(1-s)$ $D(K)$ $K$ $r$ $t$ $K$ $\mathbb {C}$

\Gamma _{\mathbf {R} }(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)

\Gamma _{\mathbf {C} }(s)=2(2\pi )^{-s}\Gamma (s)

hol van a gamma függvény . Aztán a függvény $\Gamma (s)$

\Lambda _{K}(s)=|D(K)|^{s/2}\Gamma _{\mathbf {R} }^{r}(s)\Gamma _{\mathbf {C } }^{t}(s)\zeta _{K}(s)

kielégíti a funkcionális egyenletet

\Lambda _{K}(s)=\Lambda _{K}(1-s)

Kapcsolat a mező jellemzőivel

A Riemann-zéta-függvényhez hasonlóan a Dedekind-zéta-függvény értékei (legalábbis hipotetikusan) fontos számtani információkat tartalmaznak a -ról . $K$

Például egy pont egy egyszerű pólus , és az algebrai fokszámok mezőjében ( fent definiált) a maradék ebben a pontban $s=1$ $\zeta _{K}(s)$ $K$ $n=r+2t$ $r,t$

\lim \limits _{s\to 1+0}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r+t}\pi ^{t}R( K)}{w(K){\sqrt {|D(K)|}}}}ó(K)

ahol az osztóosztályok száma, a mező diszkriminánsa, a mező vezérlője , és az 1-es gyökeinek száma a ( a torziós alcsoport sorrendjében ). Az ezen a ponton lévő maradék analitikai képletet ad az osztályok számára . $h(K)$ $D(K)$ $R(K)$ $K$ $w(K)$ $K$ ${\mathcal {O}}_{K}^{\times }$

Egy másik példa a nulla , amelynek sorrendje megegyezik a gyűrű egységei csoportjának rangjával . A határ ezen a ponton az $s=0$ $u$ ${\mathcal {O}}_{K}$

\lim \limits _{s\to 0}s^{-u}\zeta _{K}(s)=-{\frac {h(K)R(K)}{w(K)} }.

Ez a funkcionális egyenletből és összefüggésből következik . $u=r+t-1$

A funkcionális egyenletből és abból, hogy minden természetes számra azt kapjuk, hogy . mindenki számára , kivéve ha teljesen érvényes (azaz amikor , azaz amikor vagy ). Teljesen valós esetben Siegel megmutatta, hogy ez egy nem nulla racionális szám negatív páratlan esetén . Stephen Lichtenbaum egy sejtést javasolt ezen racionális számok speciális értékeinek kifejezésére az algebrai K-mezőelméletben . $\Gamma (-n)=\infty$ $n$ $\zeta _{K}(-2n)=0$ $\zeta _{K}(-2n-1)=0$ $K$ $K$ $t=0$ $K=\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}],d>0$ $\zeta _{K}(s)$ $s$ $K$

Kapcsolat a zéta és L-függvényekkel

Abban az esetben, ha egy Abel-féle kiterjesztése , annak Dedekind zéta függvénye a Dirichlet L-függvények szorzataként reprezentálható . Például, ha egy másodfokú mező , akkor ez azt jelenti $K$ $\mathbb {Q}$ $\zeta _{K}(s)$ $K$

{\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)))=L(s,\chi )

hol található a Dirichlet karakterként használt Jacobi szimbólum . Ez az összefüggés a Gauss-féle másodfokú reciprocitás törvényének analitikus újrafogalmazása . $\chi$

Általánosságban elmondható, hogy ha egy Galois-féle mező Galois - bővítése egy Galois-csoporttal , akkor a Dedekind zéta -függvénye a reguláris reprezentáció Artin L-függvénye , és ezért az irreducibilis Artin-reprezentációk Artin L-függvényeinek szorzatára bomlik . $K$ $\mathbb {Q}$ $G$ $G$ $G$

Az Artin L-függvényekkel való kapcsolat azt mutatja, hogy ha Galois kiterjesztés, akkor holomorf ( "oszt" ). Tetszőleges kiterjesztés esetén hasonló állítás következik az L-függvényekre vonatkozó Artin-sejtésből $L/K$ ${\frac {\zeta _{L}(s)}{\zeta _{K}(s)))$ $\zeta _{K}(s)$ $\zeta _{L}(s)$

Ezenkívül a Hasse-Weil zéta függvény és a motívum motivikus L-függvénye a kohomológiából származik . $\zeta _{K}(s)$ $\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}$ $\operatorname {Spec} K$

Kiterjesztett Riemann-hipotézis

A kiterjesztett Riemann-hipotézis (RHR) azt állítja, hogy bármely algebrai számmező esetén, ha az egyenletnek az úgynevezett kritikus sávban található komplex gyöke , akkor valós része . $K$ $s$ $\zeta _{K}(s)=0$ $0\leqslant \operatorname {Re} s\leqslant 1$ $\operatorname {Re} s={\frac {1}{2}}$

A szokásos Riemann-hipotézis a kiterjesztett hipotézisből származik . $K=\mathbb {Q} ,{\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {Z}$

Csebotarev sűrűségtételének effektív változata [6] következik az RGR-ből : ha véges Galois-bővítés Galois-csoporttal , és konjugáltsági osztályok halmaza, akkor a Frobenius konjugáltsági osztályt meg nem haladó normával rendelkező nem elágazó prímek száma nő . mint $L/K$ $G$ $C$ $G$ $K$ $x$ $C$

{\frac {|C|}{|G|))}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x))(n\ln x+ \ln |D(K)|){\bigr )}{\Bigr )

ahol az in konstans abszolút, a kiterjesztésének mértéke a felett , és a diszkrimináns. $O$ $n$ $L$ $\mathbb {Q}$ $D(K)$

Irodalom

J. Bernstein, St. Gelbart. Bevezetés a Langlands Programba. - Moszkva - Izhevsk, 2008.
Z.I.Borevics, I.R.Safarevics. Számelmélet. — M.: Nauka. Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1985.
J. Cassels, A. Froelich. Algebrai számelmélet. — M.: Mir, 1969.