Dedekind szakasz

A Dedekind szakasz az egyik módja annak, hogy valós számokat állítsunk elő racionális számokból [1] .

A valós számok halmaza a Dedekind szakaszok halmaza. Rajtuk lehet folytatni az összeadás és szorzás műveleteit .

Történelem

A módszert 1872-ben Richard Dedekind vezette be [2] [3] .

A geometriai mennyiségekre vonatkozó hasonló konstrukció implicit módon jelen van Euklidész elemeiben , nevezetesen az V. könyvben az 5. definíció a következőképpen hangzik:

Azt mondják, hogy a mennyiségek azonos arányban vannak az elsővel a másodikkal és a harmadikkal a negyedikkel, ha az első és a harmadik egyenlő többszörösei egyszerre nagyobbak, egyidejűleg egyenlők vagy egyidejűleg kisebbek a második és negyedik egyenlő többszöröseinél. , mindegyik tetszőleges többszörösére, ha a megfelelő sorrendben vesszük őket (9, 10, 11, 12). [4] .

Hasonló gondolatokat publikált 1849-ben Joseph Bertrand francia matematikus [5] .

Definíció

A Dedekind szakasz a racionális számok halmazának két részhalmazra (alsó vagy balra) és (felső vagy jobbra) történő felosztása úgy, hogy [ 6] : $\mathbb {Q}$ $A$ $B$

$a<b$ bármely és , $a\in A$ $b\in B$
$B$ nincs legkisebb eleme.

Továbbá a Dedekind szakaszt jelöljük (bár elegendő lenne egy ilyen halmazt jelezni, a második kiegészíti a -val ). $(A, B)$ $\mathbb {Q}$

Ha egy halmaznak van legnagyobb eleme, akkor ezzel a racionális számmal azonosítható a Dedekind szakasz. Ellenkező esetben a vágás olyan irracionális számot határoz meg , amely nagyobb a halmaz összes számánál és kisebb a halmaz összes számánál . Ha a kapott szakaszok halmazán meghatároztuk a számtani műveleteket és a sorrendet , egy valós számmezőt kapunk , és minden szakasz egy és csak egy valós számot határoz meg. $A$ $A$ $B$

Példa

Egy valós szám egy Dedekind szakasznak felel meg, amelyhez [7] : ${\sqrt {2}}$

sok

A=\{x\in \mathbb {Q} \mid x<0\vagy x^{2}<2\}.

sok

B=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\land x^{2}>2\};

Intuitív módon elképzelhető, hogy a meghatározásához a halmazt két részre osztjuk: a -tól balra lévő összes számra és a -tól jobbra lévő számra ; rendre egyenlő a halmaz legkisebb alsó korlátjával . ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ $B$

Dedekind szakaszok rendelése

Vezessünk be egy sorrendet a szakaszok halmazában. Először is meghatározzuk, hogy a és két szakasz egyenlő, ha (akkor és ). Ezután határozza meg a [8]-t : $(A, B)$ ${\megjelenítési stílus (C, D)}$ $A=C$ $B=D$

{\megjelenítési stílus (A,B)<(C,D)}

, ha és egyben

A\subset C

A\neq C.

Könnyen ellenőrizhető, hogy a lineáris sorrend minden követelménye teljesül-e. Ráadásul a racionális számok esetében az új sorrend megegyezik a régivel.

Ebből a sorrendi meghatározásból az következik:

Közelítési tétel . Bármely valós szám tetszőleges pontossággal közelíthető racionális számokkal, azaz tetszőlegesen kis hosszúságú racionális határokkal intervallumba zárható [9] .

Dedekind szakaszok aritmetikája

A szakaszokkal végzett aritmetikai műveletek meghatározásához használhatjuk az előző részben megfogalmazott közelítési tételt.

Legyenek valós számok. A közelítési tétel szerint racionális határokkal közelítő intervallumokat adhatunk meg: $\alpha ,\beta$

a_{1}<\alpha <a_{2}\quad b_{1}<\beta <b_{2}.

Ekkor az összeg [10] egy valós szám, amely minden intervallumban benne van az alakzatban . A valós számok összege mindig létezik, egyedileg definiált, és a racionális számok esetében egybeesik az összeg előző definíciójával. A kivonás mindig lehetséges, ezért az így meghatározott összeadási művelethez képest a valós számok additív csoportot alkotnak . $\alpha +\beta$ $(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}).$

Hasonlóképpen definiálható a valós számok szorzása, amely az összeadással együtt rendezett mezővé alakítja a valós számok halmazát [11] .

Változatok és általánosítások

Lásd még: Dedekind-McNeil befejezés

A Dedekind szakaszok nem csak a racionális számokra definiálhatók hasonlóan, hanem bármely más lineárisan rendezett halmazban is . Lásd: Teljesség (rendelmélet) . Megmutatható, hogy ezt az eljárást a valós számok halmazára alkalmazva ismét megadjuk $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} .$

A Dedekind szakaszok analógját használják szürreális számok megalkotására [12] .

Lásd még

Konstruktív módszerek a valós szám meghatározására

Jegyzetek

↑ Matematikai enciklopédia, 1979 .
↑ Richard Dedekind . Stetigkeit und irrationale Zahlen. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1872. ( online ).
↑ Richard Dedekind. Folytonosság és irracionális számok = Stetigkeit und irrationale Zahlen / per. vele. S. O. Shatunovsky . - 4. - Matesis , 1923.
↑ Eukleidész kezdetei . Görög nyelvű fordítás és D. D. Mordukhai-Boltovsky megjegyzései I. N. Veselovsky és M. Ya. Vygodsky szerkesztői közreműködésével . M.-L.: GTTI, 1949-1951. Books I-VI at www.math.ru Archiválva 2015. október 6-án a Wayback Machine -nél vagy a mccme.ru webhelyen . Archiválva : 2011. augusztus 11. a Wayback Machine -nél ; VII-X. könyvek a www.math.ru oldalon Archiválva : 2015. október 6. a Wayback Machine -nél vagy a mccme.ru webhelyen . Archiválva : 2011. szeptember 18. a Wayback Machine -nél ; XI-XIV. könyvek a www.math.ru oldalon archiválva : 2015. október 6. a Wayback Machine -nél vagy az mccme.ru webhelyen . Archivált : 2011. szeptember 20. a Wayback Machine -nél
↑ Bertrand, Joseph. Traité d'arithmétique . - 1849. - "Egy összemérhetetlen szám úgy definiálható, hogy egyszerűen megadjuk, hogyan alakítható ki egy egység segítségével az általa kifejezett nagyság. A következőkben feltételezzük, hogy ez a definíció annak megjelöléséből áll, hogy mely összemérhető számok kisebbek vagy nagyobbak egy adottnál. Archiválva : 2021. január 17. a Wayback Machine -nél
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 17-18.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 18, 36.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 19-21.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 22-24.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 28-31.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 31-34.
↑ Lásd Conway előadását, körülbelül 0:16:30 és 0:19:30 között . Letöltve: 2020. október 11. Az eredetiből archiválva : 2020. november 9.. (határozatlan)

Irodalom

Kudrjavcev L. D. Dedekind szekció // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1979. - T. 2: D - Koo. - S. 65. - 1104 stb. : ill. — 150.000 példány.
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - Szerk. 6. - M . : Nauka, 1966. - T. I. - 680 p.