Grigorcsuk csoportja

A Grigorcsuk-csoport az első példa a köztes növekedés végesen generált csoportjára (vagyis növekedése gyorsabb, mint polinom, de lassabb, mint exponenciális).

Példát Grigorcsuk konstruált , a közbenső növekedést 1984-es cikkében igazolta [1] [2] . Ez válaszolt Milnor 1968-ban feltett kérdésére [3] .

Épület

Egy csoport a cselekvése révén épül fel egy végtelen teljes bináris fára.

Végtelen teljes bináris fa

Tekintsünk egy végtelen teljes bináris gyökerű T 2 fát és automorfizmusait . Ez a fa izomorf bármely részfával, így bármelyik automorfizmusa bármely részfára alkalmazható.

A T 2 fa minden csúcsa a Σ = {0,1} ábécé összes véges karakterláncának Σ * halmazának egy elemével címkézhető , beleértve az üres Ø karakterláncot is. Az üres Ø karakterlánc a T 2 gyökércsomópontnak felel meg . Az egyes csomópontok bal oldali gyermekének címkéjét 0, jobb oldali 1 hozzáadásával kapjuk meg.

A T 2 fa bármilyen automorfizmusa megőrzi az utat a gyökércsomóponttól a másikig, és egyetlen csomópontot sem helyez át egyik szintről a másikra. E tulajdonságok teljesülése elegendő ahhoz, hogy a fa csúcsainak halmazának permutációja a fa automorfizmusa legyen. Ezért az összes Aut( T 2 ) automorfizmus csoportja megfelel a Σ * karakterláncok összes olyan σ permutációjának csoportjának, amely megőrzi a karakterlánc hosszát (vagyis az x hossznak meg kell egyeznie σ ( x ) hosszával ) ) és őrizzük meg a "karakterlánc kezdeti szegmense" relációt (vagyis ha az x karakterlánc az y karakterlánc kezdő szegmense , akkor σ ( x ) a σ ( y ) kezdeti szegmense).

Képzők

A Grigorcsuk G csoport az Aut( T 2 ) csoport egy alcsoportja , amelyet bizonyos négy elem a, b, c, d , azaz . $G=\langle a,b,c,d\rangle <\mathrm {Aut} (T_{2})$

A 0-ból és 1-ből álló karakterláncok konvertálása szempontjából az a, b, c, d automorfizmusok rekurzív módon a következők:

a (0 x ) = 1 x , a (1 x ) = 0 x ;
b (0 x ) = 0 a ( x ), b ( 1 x ) = 1 c ( x );
c ( 0x )=0a ( x ) , c ( 1x )= 1d ( x );
d (0 x ) = 0 x , d (1 x ) = 1 b ( x )

minden x -re Σ*-ban. Például:

a (11101) = 01101
b (11101) = 1 c (1101) = 11 d (101) = 111 b (01) = 1110 a (1) = 11100
c (11101) = 1 d (1101) = 11 b (101) = 111 c (01) = 1110 a (1) = 11100
d (11101) = 1 b (1101) = 11 c (101) = 111 d (01) = 11101

A bináris fa transzformáció szempontjából az a elem felcseréli a fa bal és jobb részfáit, amelyre hat. A fennmaradó elemek külön-külön hatnak erre a két részfára, ezek az elemek rekurzív módon párosítva ábrázolhatók (a pár két eleme a bal és a jobb oldali részfán végzett műveletnek felel meg):

b = ( a , c ),
c = ( a , d ),
d = ( 1 , b ).

Itt b = ( a , c ) azt jelenti, hogy b nem változtatja meg a T 2 gyökért , a bal oldali részfán a , a jobb oldalon pedig cként működik . Itt az 1 az azonosságleképezést jelöli .

Nem rekurzív ábrázolásban a b , c , d elemek működése a következőképpen néz ki: a gyökérből kiindulva lefelé haladunk, minden lépésnél kiválasztva a megfelelő gyermeket; ugyanakkor az a műveletet minden alkalommal alkalmazzuk a bal oldali részfára (két részfájának felcserélése), kivéve minden harmadik lépést, kezdve a harmadik, második és első lépéstől b , c és d értékre [4] .

Generátor tulajdonságai

Az alábbiakban bemutatjuk ennek a konstrukciónak a főbb következményeit [5] .

Az a , b, c, d elemek mindegyike 2- es rendű G -ben .
A b, c, d elemek párban ingáznak, és bc = cb = d, bd = db = c, dc = dc = b .
- Különösen egy 4. rendű Abel-csoport ; izomorf két 2. rendű ciklikus csoport közvetlen szorzatával . $\langle b,c,d\rangle$
A G csoportot a és a három b, c, d elem közül bármelyik kettő (például ) hozza létre . $G=\langle a,b,c\rangle$
A fenti rekurzív jelölésben . $aba=(c,a),\ aca=(d,a),\ ada=(b,1)$
Az St G [1] stabilizátor G -ben a b, c, d, aba, aca, ada által generált alcsoport . Az St G [1] alcsoport a 2. index normál alcsoportja G -ben, és G = StG [ 1] a StG [ 1]. $\sqcup$
A G minden eleme felírható a, b, c, d betűkből álló (pozitív) szóként aa, bb, cc, dd, cd, dc, bc, cb, bd, db formájú részszavak nélkül .
- Az ilyen szavakat rövidítésnek nevezzük .
- A „pozitív szó” itt azt jelenti, hogy a megfelelő jelölésben nincsenek a −1 , b −1 stb. elemek.. Mivel ezeknek a generátoroknak mindegyike 2-es sorrendű, azaz önmagukhoz képest inverzek, ez egy egyszerű feltétel.
A rövidített szó akkor és csak akkor az St G [1] stabilizátor eleme, ha ez a szó páros számú előfordulását tartalmazza .
Ha w egy páros hosszúságú rövidített szó pozitív páros előfordulási számmal a , akkor van néhány u, v szó a, b, c, d alakban (nem feltétlenül rövidítve), így G -nek w = (u, v) ) és | u | ≤ | w |/2, | v | ≤ | w |/2.
- Ha w egy páratlan hosszúságú rövidített szó pozitív páros számú előfordulással , akkor ez az állítás is igaz, de az egyenlőtlenségek a következő alakot öltik: | u | ≤ (| w | + 1)/2, | v| ≤ (| w | + 1)/2.

Az utolsó tulajdonság számos bizonyításban kulcsszerepet játszik, mivel lehetővé teszi az indukció használatát egy szó hosszára.

Tulajdonságok

A G csoport végtelen. [2]
A G csoport reziduálisan véges . [2]
A G csoport egy 2-es csoport , azaz G -ben minden elemnek véges rendje van, ami 2 hatványa. [1]
A G csoportnak köztes magassága van . [2]
- Különösen a G csoport alkalmazható . [2]
- Grigorcsuk bebizonyította, hogy a G , , csoport növekedése és között van . $\gamma (n)$ $\exp n^{s_{1)),\ s_{1}=1/2$ $\exp n^{s_{2}},\ s_{2}=\log _{32}31\approx 0{,}991$
- Később megtalálták a kitevő pontos értékét a : -ben lévő kitevőben , ahol a polinom valós gyöke [6] . $n$ $\gamma (n)$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {\log \log \gamma (n)}{\log n))=1/\log _{2}x\approx 0,7674$ $x$ $x^{3}-x^{2}-2x-4$
Egy nemtriviális normálcsoport G hányadoscsoportja véges.
Minden véges generált részcsoport zárva van a pro-finite topológiában G - n . [7]
G minden maximális alcsoportjának véges indexe van . [nyolc]
A G csoport végesen generált, de nem végesen adott . [2] [9]
Egy elem központosítója akkor és csak akkor jön létre végesen, ha az elem konjugált az "a" generáló elemhez [10]
Az alsó középső sor tagjainak indexeit felülről a 4-es szám határolja [11]
Példákat találtunk maximális lokálisan véges alcsoportokra, amelyek végtelennek bizonyultak [12]

Lásd még

Hivatkozások

↑ 1 2 R. I. Grigorchuk, „On the Burnside problem on periodic groups” Archiválva : 2021. január 25., a Wayback Machine , Funct. elemzés és alkalmazásai, 14:1 (1980), 53-54
↑ 1 2 3 4 5 6 R. I. Grigorchuk, „Végesen generált csoportok növekedési fokai és az invariáns eszközök elmélete” Archiválva : 2016. szeptember 20., a Wayback Machine , Izv. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. Ser. Mat. 48:5 (1984), 939-985
↑ John Milnor, Probléma sz. 5603, American Mathematical Monthly , vol. 75 (1968), pp. 685-686.
↑ Rosztiszlav Grigorcsuk, Igor Pak. A köztes növekedés csoportjai: bevezető : [ eng. ] // L'Enseignement Mathematique. - 2008. - Vol. 54. - P. 251-272. — arXiv : math/0607384 . - doi : 10.5169/tömítések-109938 .
↑ Pierre de la Harpe. A geometriai csoportelmélet témái. Chicagói matematikai előadások. University of Chicago Press, Chicago. ISBN 0-226-31719-6 ; Ch. VIII, Az első Grigorcsuk csoport, pp. 211–264.
↑ Anna Erschler és Tianyi Zheng. Periodikus Grigorchuk-csoportok növekedése // Inventiones mathematicae. - 2020. - Kt. 219.—P. 1069–1155. - doi : 10.1007/s00222-019-00922-0 .
↑ R. I. Grigorcsuk és J. S. Wilson. Az alcsoportok absztrakt összemérhetőségére vonatkozó strukturális tulajdonság. Archiválva : 2011. május 24., a Wayback Machine Journal of the London Mathematical Society (2), vol. 68 (2003), 3. sz. 3, pp. 671–682.
↑ E. L. Pervova. Mindenhol sűrű alcsoportok egy fa automorfizmus csoportjában // Tr. MIAN. - 2000. - T. 231. - S. 356-367.
↑ I. G. Lysenok, „A Grigorchuk-csoport kapcsolatmeghatározó rendszere” 2018. február 13-i archív másolat a Wayback Machine -nél , Mat. jegyzetek, 38:4 (1985), 503-516
↑ A.V. Rozskov. Elemek központosítói a fa automorfizmusok egy csoportjában // Izv. RAN. Ser. mat .. - 1993. - T. 57 , 6. sz . - S. 82-105 . Archiválva : 2020. október 26.
↑ A.V. Rozskov. Egy fa egyik automorfizmuscsoportjának alsó központi sorozata // Math. jegyzetek .. - 1996. - T. 60 , 2. sz . — S. 225-237 . Archiválva az eredetiből 2018. július 23-án.
↑ A. V. Rozskov. Maximális lokálisan véges alcsoportok a Grigorchuk csoportban // Math. jegyzetek .. - 1998. - T. 63 , 4. sz . – S. 617–624 . Archiválva : 2020. november 25.