Osztályozott elosztó

A fokozatos sokaság a sokaság fogalmának kiterjesztése a szuperszimmetria és a kommutatív fokozatos algebra fogalma alapján . A fokozatos elosztók nem szuperelosztók , bár van bizonyos megfelelés a fokozatos elosztók és a DeWitt szuperelosztók között . Mind az osztályozott, mind a szupervariánsokat kévék – osztályozott algebrák – alapján határozzák meg . A fokozatos elosztókat azonban a sima elosztókon lévő tárcsák jellemzik , míg a szuperelosztókat a szupervektorterek tárcsáinak összeragasztása határozza meg. $\mathbb Z_2$

Osztályozott elosztók

A fokozatos dimenziósokaságot egy lokálisan gyűrűzött térként definiáljuk , ahol egy -dimenziós sima sokaság és egy rangú Grassmann algebrák egy kötege , ahol egy köteg sima valós függvények -on . A köteget a fokozatos elosztó szerkezeti kövének, a sima elosztócsövet testnek nevezzük . A tekercs szakaszait osztályozott elosztón osztályozott függvényeknek nevezzük . Kommutatív fokozatos gyűrűt alkotnak , amelyet szerkezeti gyűrűnek neveznek . A jól ismert Batchelor- tétel és a Serre-Swan-tétel a következőképpen jellemzi a fokozatos sokaságokat. $(n,m)$ ${\megjelenítési stílus (Z,A)}$ $Z$ $n$ $A$ ${\displaystyle C_{Z}^{\infty ))$ $m$ ${\displaystyle C_{Z}^{\infty ))$ $Z$ $A$ ${\megjelenítési stílus (Z,A)}$ $Z$ ${\megjelenítési stílus (Z,A)}$ $A$ ${\megjelenítési stílus (Z,A)}$ $C^{\infty }(Z)$ $A(Z)$ ${\megjelenítési stílus (Z,A)}$

Tétel

Legyen osztályozott sokaság. Létezik egy vektorköteg -dimenziós generikus rosttal , így az osztályozott elosztó szerkezeti kötege izomorf a köteg külső termékének metszeteinek szerkezeti kötegével , amelynek tipikus szála a Grassmann algebra . ${\megjelenítési stílus (Z,A)}$ $E\-Z$ $m$ $V$ $A$ ${\megjelenítési stílus (Z,A)}$ $\lambda(E)$ $E$ $\Lambda (V)$

Legyen egy sima elosztó. Egy fokozatos kommutatív -algebra akkor és csak akkor izomorf egy fokozatos osztógyűrűs sokaság szerkezeti gyűrűjével, ha valamely véges rangú projektív -modul külső algebrája. $Z$ $C^{\infty }(Z)$ $Z$ $C^{\infty }(Z)$

Osztályozott függvények

Bár a fent említett Batchelor-izomorfizmus nem kanonikus, sok alkalmazásban kezdetben rögzített. Ebben az esetben egy vektorköteg bármely lokális trivializációs diagramja a fokozatos elosztó lokális felosztását generálja , ahol a köteg szálalapja . A fokozatos függvényeket egy ilyen térképen -értékes függvények képviselik $(U;z^{A},y^{a})$ $E\-Z$ $(U;z^{A},c^{a})$ ${\megjelenítési stílus (Z,A)}$ $\{c^{a}\}$ $E$ $\Lambda (V)$

$f=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k!}}f_{a_{1}\ldots a_{k}}(z)c^{a_{1 }}\cdots c^{a_{k}}$ ,

ahol a Grassmann algebra sima valós függvényei és páratlan generáló elemei vannak . $f_{a_{1}\cdots a_{k}}(z)$ $U$ $c^{a}$ $\Lambda (V)$

Osztályozott vektormezők

Legyen megadva egy osztályozott elosztó . A fokozatos függvények szerkezeti gyűrűjének fokozatos levezetéseit fokozatos vektormezőknek nevezzük . Valódi hazugság szuperalgebrát alkotnak a szuperzárójelekhez képest ${\megjelenítési stílus (Z,A)}$ $A(Z)$ ${\megjelenítési stílus (Z,A)}$ $\partial A(Z)$

$[u,u']=u\cdot u'-(-1)^{[u][u']}u'\cdot u$ ,

ahol a Grassmann-paritást jelöli . Az osztályozott vektormezők helyi formában a következővel rendelkeznek $[u]$ $u\in \partial A(Z)$

${\displaystyle u=u^{A}\partial _{A}+u^{a}{\frac {\partial }{\partial c^{a))))$ .

A törvény szerint osztályozott funkciókat látnak el $f$

$u(f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}})=u^{A}\partial _{A}( f_{a_{1}\ldots a_{k}})c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}+\sum _{i}u^{a_{i}}(-1 )^{i-1}f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{i-1}}c^{a_{i+1}} \cdots c^{a_{k}}$ .

Diplomás külső nyomtatványok

Az osztályozott vektormezők moduljával kettős modult osztályozott külső egyformák moduljának nevezzük . Az osztályozott külső egyformák lokálisan a formájúak , így a és közötti belső szorzatot a adja $A(Z)$ $\partial A(Z)$ $O^{1}(Z)$ ${\displaystyle \phi =\phi _{A}dz^{A}+\phi _{a}dc^{a))$ $\partial A(Z)$ $O^{1}(Z)$

{\displaystyle u\rfloor \phi =u^{A}\phi _{A}+(-1)^{[\phi _{a}]}u^{a}\phi _{a))

Osztályozott külső termékművelettel felruházva

$dz^{A}\wedge dc^{i}=-dc^{i}\wedge dz^{A},\qquad dc^{i}\wedge dc^{j}=dc^{j} \wedge dc^{i}$ ,

osztályozott egyformák fokozatos külső algebrát generálnak osztályozott külső formákból egy fokozatos sokaságon. Kielégítik a kapcsolatokat $O^{*}(Z)$

$\phi \wedge \phi '=(-1)^{|\phi ||\phi '|+[\phi ][\phi ']}\phi '\wedge \phi$ ,

hol az alakzat foka . A fokozatos külső algebra egy differenciális fokozatos algebra egy fokozatos külső differenciálhoz képest $|\phi |$ $\phi$ $O^{*}(Z)$

$d\phi =dz^{A}\wedge \partial _{A}\phi +dc^{a}\wedge {\frac {\partial }{\partial c^{a))}\phi$ ,

ahol fokozatos levezetések , fokozatos kommutatív fokozatos formákkal és . Igazságos arányok $\partial _{A}$ $\partial /\partial c^{a}$ $dz^{A}$ ${\displaystyle dc^{a))$

$d(\phi \wedge \phi ')=d(\phi )\wedge \phi '+(-1)^{|\phi |}\phi \wedge d\phi '$ .

Fokozatú differenciálgeometria

Az osztályozott elosztók kategóriájában osztályozott Lie csoportokat, osztályozott kötegeket és osztályozott fő kötegeket vesszük figyelembe. Bevezetésre kerül az osztályozott elosztók fúvókáinak fogalma is, amelyek azonban különböznek az osztályozott kötegek szakaszainak fúvókáitól.

Fokozatú differenciálszámítás

A fokozatos sokaságok differenciálszámítása kommutatív fokozatos algebrák differenciálszámításaként van megfogalmazva, hasonlóan a kommutatív algebrák differenciálszámításához .

Fizikai alkalmazások

A fent említett Serre-Swan tételnek köszönhetően a páratlan klasszikus mezőket egy sima sokaságon osztályozott sokaságokkal írják le, nem pedig szupersokaságokkal. A fokozatos sokaságra általánosítva a variációs bikomplex a páros és páratlan klasszikus mezők Lagrange- elméletének és a Lagrange -féle BRST -elméletnek szigorú matematikai megfogalmazását adja .

Lásd még

Irodalom

C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez , The Geometry of Supermanifolds (Kluwer, 1991) ISBN 0-7923-1440-9
T. Stavracou , Kapcsolatok elmélete osztályozott főkötegeken, Rev. Math. Phys. 10 (1998) 47
B. Kostant , Graded sokaságok, fokozatos hazugságelmélet és előkvantálás, In Differential Geometric Methods in Mathematical Physics , Lecture Notes in Mathematics, 570 (Springer, 1977) p. 177
A. Almorox , Szupermérő elméletek fokozatos sokaságban, Differenciálgeometriai módszerek a matematikai fizikában , Lecture Notes in Mathematics, 1251 (Springer, 1987) p. 114
D. Hernandez Ruiperez, J. Munoz Masque , Global variational calculus on graded multiplex, J. Math. Pures Appl. 63 , 283 (1984)]
G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily , Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009) ISBN 978-981-283-895-7
G. A. Sardanashvili , A térelmélet modern módszerei. 4. Geometria és kvantumterek (URSS, 2000) ISBN 5-88417-221-4 .

Linkek

G. Sardanashvily , Előadások a szupergeometriáról, arXiv: 0910.0092

Elméleti fizika