A gömbök homotópiás csoportjai

A gömbök homotópiás csoportjai az algebrai topológia egyik területe, a homotópiaelmélet egyik fő vizsgálati tárgyát képezik . A homotópiás gömbcsoportok a magasabb dimenziójú gömbök közötti leképezéseket a folyamatos deformációig osztályozzák. A gömbök homotópiás csoportjai diszkrét algebrai objektumok, nevezetesen véges generált Abel-csoportok . Bár a véges generált Abel-csoportok osztályozása nagyon egyszerű, a gömbök homotópiás csoportjainak pontos szerkezete nem teljesen ismert.

Ezek megtalálása volt az egyik legfontosabb irány a topológia és általában a matematika fejlődésében az 1950-es és 60-as években, egészen az általánosított kohomológia elméletek megalkotásáig . [1] Ennek oka egyrészt az a tény, hogy a gömbök homotópiás csoportjai alapvető topológiai invariánsok , amelyek megértése a topológiai terek általánosabb megértéséhez vezet, másrészt az, hogy szerkezetükben nagyszámú összetett szabályszerűség jelen van. . Az eredmény egyrészt néhány általános szabályszerűség megállapítása volt, mint például a gömbök stabil homotópiás csoportjai és a J-homomorfizmus , másrészt a csoportok kiszámítása kis paraméterértékekre.

Informális bemutatkozás

A többdimenziós dimenziószféra egy topológiai tér , amely a -dimenziós euklideszi tér pontjainak lokuszaként ábrázolható , távol a koordináták origójától 1 távolságra. Konkrétan egy kör , és egy közönséges két -dimenziós tér. dimenziós gömb . $S^{n}$ $n$ $(n+1)$ $S^{1}$ $S^{2}$

Ha van tetszőleges topológiai tér egy megjelölt ponttal , akkor annak -. homotópiacsoportja a -tól -ig terjedő leképezések halmaza, homotópiákig , azaz folytonos perturbációkig tekintve, amelyeknek ráadásul meg kell őrizniük a megjelölt pontot . Konkrétan az alapcsoport , vagyis a zárt utak csoportja egy topológiai térben a kompozíciós művelettel . Többdimenziós esetben ez a halmaz felszerelhető csoportstruktúrával is, míg az alapcsoporttól eltérően a csoport kommutatív lesz . $x$ $x$ $én$ $\pi _{i}(X)$ $S^{i}$ $x$ $egy$ $x$ $\pi _{1}(X)$ $i\geqslant 2$ $\pi _{i}(X)$

Bármilyen leképezés egy alacsonyabb dimenziójú gömbről egy magasabb dimenziójú gömbre összehúzható egy pontra, így a csoportok -on . A kör alapcsoportja azonban már egy végtelen ciklikus csoport . Ennek elemeit, azaz a körből önmagába való leképezéseket a homotópiáig egyedileg határozza meg a kör képének a középpontja körüli fordulatszáma , és az utak összeállításánál a fordulatok számai összeadódnak. Az egydimenziós esethez hasonlóan a -dimenziós gömbből önmagába történő leképezések homotópia csoportja végtelenül ciklikus. A csoport felépítése azonban nem intuitív módon egyértelmű: a Hopf-fibráció hozza létre . $\pi _{i}(S^{n})=0$ $i<n$ $\pi _{1}(S^{1})\simeq \mathbb {Z}$ $S^{1}$ $n$ $\pi _{n}(S^{n})\simeq \mathbb {Z}$ $\pi _{3}(S^{2})$

Kis értékek

	π 1	π 2	π 3	π 4	π 5	π6_ _	π 7	π 8	π9_ _	π 10	π 11	π 12	π 13	π 14	π 15	pi 16
S1_ _	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S2_ _	0	Z	Z	Z2_ _	Z2_ _	Z12_ _	Z2_ _	Z2_ _	Z3_ _	Z15_ _	Z2_ _	Z 2 2	Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 2	Z 2 2	Z6_ _
S3_ _	0	0	Z	Z2_ _	Z2_ _	Z12_ _	Z2_ _	Z2_ _	Z3_ _	Z15_ _	Z2_ _	Z 2 2	Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 2	Z 2 2	Z6_ _
S4_ _	0	0	0	Z	Z2_ _	Z2_ _	Z × Z 12	Z 2 2	Z 2 2	Z 24 × Z 3	Z15_ _	Z2_ _	Z 2 3	Z 120 × Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 5	Z26 _ _
S5_ _	0	0	0	0	Z	Z2_ _	Z2_ _	Z24_ _	Z2_ _	Z2_ _	Z2_ _	Z 30	Z2_ _	Z 2 3	Z 72 × Z 2	Z 504 x Z 2 2
S6_ _	0	0	0	0	0	Z	Z2_ _	Z2_ _	Z24_ _	0	Z	Z2_ _	Z60_ _	Z 24 × Z 2	Z 2 3	Z 72 x Z 2
S7_ _	0	0	0	0	0	0	Z	Z2_ _	Z2_ _	Z24_ _	0	0	Z2_ _	Z 120	Z 2 3	Z 2 4
S8_ _	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z2_ _	Z2_ _	Z24_ _	0	0	Z2_ _	Z × Z 120	Z 2 4

Jegyzetek

↑ D.B. Fuks. A gömbök homotópiás csoportjai (angol) . Matematikai Enciklopédia. Letöltve: 2017. november 5. Az eredetiből archiválva : 2017. november 8..

Irodalom

Fomenko A. T. , Fuchs D. B. A homotópia topológia kurzusa. - M .: Nauka , 1989.
Hatcher, Allen. Algebrai topológia . - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 978-0-521-79540-1 .