Második másodfokú forma

A felület második másodfokú alakja (vagy második alapalakja ) a felület érintőkötegének másodfokú alakja , amely az első másodfokú formával ellentétben meghatározza a felület külső geometriáját egy adott pont szomszédságában. .

A második másodfokú formát gyakran jelölik , összetevőit pedig hagyományosan és . $\mathrm{I\!I}$ $L$ $M$ $N$

Az első és a második másodfokú alak ismerete elegendő egy felület fő görbületeinek , átlagos és Gauss-görbületeinek kiszámításához.

Definíció

Adjuk meg a háromdimenziós euklideszi tér felületét skaláris szorzattal az egyenlet, ahol és a felület belső koordinátái; a sugárvektor differenciálja az elmozdulás választott iránya mentén egy ponttól egy végtelenül közeli pontig ; pontban lévő felület normálvektora . Ekkor a második másodfokú alaknak van formája $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $r=r(u,v),$ $u$ $v$ $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ $r$ $M$ $M'$ $n$ $M$

\mathrm {I\!I} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},

ahol az együtthatókat a következő képletek határozzák meg:

L=\langle r_{uu},n\rangle =-\langle r_{u},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uu},r_{u},r_{v} )}{\sqrt {EG-F^{2}}}},

M=\langle r_{uv},n\rangle =-\langle r_{u},n_{v}\rangle =-\langle r_{v},n_{u}\rangle ={\frac { (r_{uv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2))))),

N=\langle r_{vv},n\rangle =-\langle r_{v},n_{v}\rangle ={\frac {(r_{vv},r_{u},r_{v} )}{\sqrt {EG-F^{2}}}},

ahol a vektorok vegyes szorzatát jelöli , és a felület első másodfokú alakjának együtthatói. $(\cdot ,\cdot ,\cdot )$ $E=|r_{u}|^{2},$ $F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,$ $G=|r_{v}|^{2}$

Kapcsolódó definíciók

Az alak operátor vagy Weingarten operátor egy lineáris operátor a következőként meghatározott érintősíkon $S$ $S(V)=-\nabla _{V}\nu ,$

ahol a felület egységnormálisainak mezeje. Az űrlap operátor a második másodfokú formához a következő összefüggéssel kapcsolódik:

\nu

\langle S(V),W\rangle =\mathrm {I\!I} (V,W).

Az alakoperátor sajátértékeit a felület fő görbületeinek nevezzük a pontban, az alakoperátor sajátirányait pedig a felület fő irányainak a pontban.
- A felületen lévő, főirányban futó görbéket görbületi vonalaknak nevezzük .

A normál irányú görbületet a képlet számítja ki ${\displaystyle k_{V))$ $V$ ${\frac {\mathrm {I} \!\mathrm {I} (V,V)}{\mathrm {I} (V,V)))=\langle S(V),V\rangle / |V|^{2}$

ahol az első másodfokú alak .

\mathrm {I}

A nulla normálgörbületű irányt aszimptotikusnak , a felületen az aszimptotikus irányba haladó görbét aszimptotikus görbének nevezzük .

Számítás

Függvénygrafikon

Egy adott esetben, amikor a felület egy függvény grafikonja háromdimenziós euklideszi térben együtthatókkal , a második másodfokú alak együtthatói a következő alakot öltik: $z=f(x,y)$ $x,y,z$

L={\frac {f_{xx}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ M={\frac { f_{xy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ N={\frac {f_{yy}}{\sqrt { 1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}.

Változatok és általánosítások

Hiperfelületek

Tekintsünk egy hiperfelületet egy m - dimenziós euklideszi térben belső szorzattal . Legyen egy helyi térkép a felületről a pontban . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\displaystyle {r}:\mathbb {R} ^{m-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $P$

Ezután a képlettel számítjuk ki a második másodfokú alak együtthatóit

q_{ij}={\biggl \langle }{n},{\frac {\partial ^{2}{r)){\partial u^{i}\partial u^{j))}{ \biggr \rangle },\ \ \ i,j=1,\ldots ,m-1,

ahol az egységnyi normálvektort jelöli. $n$

Nagy kóddimenzió

A második alapforma szintén az önkényes kóddimenziójú alváltozatokhoz van definiálva. [egy]

\mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },

ahol a kovariáns derivált normáltérre való vetületét jelöli . ${\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot ))$ $\nabla _{v}w$

Ebben az esetben a második alapforma egy bilineáris forma az érintőtérben, a normál térben lévő értékekkel.

Az euklideszi tér részsokaságainál a részsokaság görbületi tenzora kiszámítható az úgynevezett Gauss-képlet segítségével:

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} ( v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .

A Riemann-féle sokaság részösszegeihez hozzá kell adni a környezeti tér görbületét; ha az elosztó egy Riemann -féle sokaságba van beágyazva, akkor az indukált metrikával ellátott elosztó görbületi tenzorát a második alapforma és a környezeti elosztó görbületi tenzora adja meg : $N$ $(M,g)$ $R_{N}$ $N$ ${\displaystyle R_{M))$ $M$

\langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I } (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm { I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .

Lásd még

Jegyzetek

↑ c. 128 in M. do Carmo, Riemannian Geometry , Birkhäuser, 1992

Irodalom

Mishchenko A.S. Fomenko A.T. Differenciálgeometria és topológia tantárgy. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0442-X .

Toponogov V.A. Görbék és felületek differenciálgeometriája. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .

A. V. Csernavszkij . Klasszikus differenciálgeometria előadások (2 tantárgy)