Kerülje el

A háromszög körvonala egy olyan kör, amely érinti a háromszög egyik oldalát és a másik két oldal kiterjesztését. Bármely háromszögnek három körköröse van (ellentétben egyetlen bekerekrével ).

A körkör létezése és egyedisége abból adódik, hogy egy háromszög két külső szögének felezője és egy e kettővel nem szomszédos belső szög felezője egy pontban metszi egymást, amely egy ilyen kör középpontja.

Tulajdonságok

Itt a következő jelölést használjuk: - középpontú körkörök sugarai , amelyek érintik a háromszög oldalait; - a háromszög fél kerülete ; - a beírt kör sugara ; a körülírt kör sugara . ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c))$ ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$ $ABC$ $p$ $r$ $R$

A szemközti csúcsból a körre húzott érintő szakaszának hossza megegyezik a háromszög fél kerületével.
A háromszög területe az utolsó egyenlőség a Heron-képlet szerint . [egy] $S=r_{a}(pa)=r_{b}(pb)=r_{c}(pc)={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}} ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}},$
${\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_ {c}}}$
$4R=r_{a}+r_{b}+r_{c}-r$
Az eredeti háromszög a háromszög derékszöge ${\displaystyle \Delta I_{1}I_{2}I_{3))$
baricentrikus koordináták $J_{A}=(-a,b,c)$
Euler-tétel a körökre: , ahol O a körülírt kör középpontja. ${\displaystyle OI_{i}^{2}=R^{2}+2Rr_{i))$
$r_{a}r_{b}=p(pc);rr_{a}=(pb)(pc)$
A körkörök gyökközéppontja a Spieker-középpont (a középső háromszög beírt körének középpontja).
A beírt és a körkörök középpontjai az izogonális ragozás rögzített pontjai .
A körkörök középpontjain átmenő kör középpontja a Bevan-pont .
Egy adott háromszög három körének három középpontja három külső felezőszögből álló háromszöget alkot .
Egy háromszög oldalaira három merőleges , amelyeket három körrel metszéspontjukba húzunk, egy pontban metszi egymást ( a szubdermális háromszög csúcsaira vonatkozó tételek következménye [2] ).
Egy háromszög két körének oldalaival érintkezési pontjain áthaladó egyenesen ezek a körök egyenlő szakaszokat vágnak le.
Ez utóbbi a következőképpen fogalmazható meg. Ha egy háromszög 2 köre 4 érintőpontban érinti annak 2 oldalát és 2 kiterjesztését, akkor az utolsó 4 pontból mint csúcsból alkotott négyszög egyenlő szárú trapéz, amelynek két oldala egyenlő, és 2 átlója is 2 kör).

Megjegyzés

Az angol szakirodalomban 4 kör 4 középpontját: 1 beírt és 3 középpontos excircle-t, amelyek a háromszög 3 különböző oldalát vagy azok kiterjesztését érintik, a háromszög 4 háromszögközéppontjának ( a tritangens középpontoknak ) nevezik [3] . Sok tétel létezik egy háromszög 4 három érintő középpontjáról : ${\displaystyle I,J_{A},J_{B},J_{C))$ $ABC$
A háromszög 4 három érintő középpontja ortocentrikus pontrendszert alkot .
A háromszög 4 három érintő középpontja a háromszög belső felezőpontjain vagy azok kiterjesztésein fekszik. Ugyanakkor 2 három érintő középpont harmonikusan osztja fel azt a felezőt, amelyen elhelyezkednek, és annak folytatását. [4] . Vagyis a harmonikus négyet 4 pont alkotja: , ahol a háromszög szögének csúcsából húzott belső felezőpont alapja . ${\megjelenítési stílus A,I,A',J_{A}}$ $A'$ $A$ $ABC$
Egy adott beírt vagy körbeírt Feuerbach-pont (három érintő kör - angolul "a tritangens kör") 2 Simson -egyenes metszéspontja, amelyek a körülírt kör átmérőjének a beírt megfelelő középpontján átmenő végeire épülnek. vagy körbeírja. Így a Feuerbach-pontok megszerkeszthetők anélkül, hogy használnánk a megfelelő be- vagy körvonalat és az ehhez tartozó Euler-kört [5] .

Háromszög körének szerkesztése

Egy háromszög körének megszerkesztéséhez [6] szükséges :

Szerkesszünk külső sarkokat a háromszög sarkaihoz
Rajzolja meg a megszerkesztett külső szögek felezőit a metszéspontjukhoz. A felezők metszéspontja lesz a kör középpontja.
Szerkessze meg a kör sugarát. Ehhez húzzunk merőlegest a felezők metszéspontjától az egyik oldal folytatásáig.
Rajzolj egy kört, amelynek középpontja a felezők metszéspontja, és amelynek sugara megegyezik a megszerkesztett merőleges hosszával.

Négyszög köre

körülíratlan négyszög

A körül nem írt négyszög olyan konvex négyszög, amelynek mind a négy oldalának kiterjesztése érinti a kört (a négyszögön kívül) [7] . A kört excircle -nek nevezzük. A kör középpontja hat felezőszög metszéspontjában van.
Megjegyzés . Beírt , körülírt , valamint excircle nem húzható minden négyszögre. Ha egy ABCD konvex négyszög szemközti oldalai az E és F pontokban metszik egymást , akkor a leíráson kívüli feltétele az alábbi két feltétel valamelyike:

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

Irodalom

Geometria Kiszeljov szerint , §144.
Ponarin Ya. P. Elemi geometria. 2 kötetben - M . : MTSNMO , 2004. - S. 44-48. — ISBN 5-94057-170-0 .
Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. Feltétel, hogy a tangenciális négyszög egyben akkordális is // Mathematical Communications. - 2007. - Kiadás. 12 .

Jegyzetek

↑ Pathan, Alex és Tony Collyer, "A háromszögek területi tulajdonságai újra megvizsgálva", Mathematical Gazette 89, 2005. november, 495-497.
↑ Zetel S.I. Új háromszög geometria. Útmutató tanároknak. 2. kiadás .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 137-138, 126. o., tétel.
↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. A tritangens központok. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Archiválva : 2020. június 30. a Wayback Machine -nél
↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. – 120. §. Tétel (51. ábra). P.74-75// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Archiválva : 2020. június 30. a Wayback Machine -nél
↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. – 648. §. Megjegyzés. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Archiválva : 2020. június 30. a Wayback Machine -nél
↑ Kizár. Épület . Matvoks. Matematikai Enciklopédia . mathvox.ru. Letöltve: 2018. november 6. Az eredetiből archiválva : 2018. november 7.. (határozatlan)
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , p. 33-52.