Halmazok algebra

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A halmazok algebra a halmazelméletben valamely halmaz részhalmazainak nem üres rendszere, amely az összeadás (különbség) és az egyesülés (összeg) műveletei alatt záródik . $x$

Definíció

Egy halmaz részhalmazainak családját (itt logikai érték) algebrának nevezzük , ha megfelel a következő tulajdonságoknak: ${\mathfrak {A}}\subset 2^{{X}}$ $x$ $2^{{X}}$

$\varnothing \in {\mathfrak {A}).$
Ha a halmaz , akkor a komplementere $A\in {\mathfrak {A}}$ $X\setminus A\in {\mathfrak {A}).$
A két halmaz uniója is hozzátartozik $A,B\in {\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}).$

Jegyzetek

Definíció szerint, ha egy algebra tartalmaz egy halmazt , akkor tartalmazza a komplementerét is. Az unió a kiegészítésével az eredeti készlet . Egy halmaz komplementere az üres halmaz. Ez azt jelenti, hogy a halmazt és az üres halmazt definíció szerint az algebra tartalmazza. $A$ $A$ $x$ $x$ $x$
A halmazokon végzett műveletek tulajdonságai miatt a halmazok algebrája is zárt metszéspont és szimmetrikus különbség alatt .
A halmazalgebra az egységalgebra speciális esete , ahol a „szorzás” művelet a halmazok metszéspontja, az „összeadás” pedig a szimmetrikus különbség.
Ha az eredeti halmaz az elemi események tere , akkor az algebrát események algebrának nevezik - ez a valószínűségszámítás és a kapcsolódó matematikai diszciplínák kulcsfogalma , amely egyedi értelmezésű és önálló szerepet játszik a matematikában. $x$ ${\mathfrak {A}}$

Események algebra

Az események algebra (a valószínűségszámításban ) az elemi események terének részhalmazainak algebrája , amelyek elemei elemi események . $\Omega$

Ahogy egy halmazalgebrához illik, az események algebra egy lehetetlen eseményt ( egy üres halmazt ) tartalmaz , és véges számú halmazon végrehajtott halmazelméleti műveletek alatt záródik . Elegendő megkövetelni, hogy az események algebráját két művelettel zárjuk le, például metszéspont és komplement , amiből azonnal következik, hogy bármely más halmazelméleti művelettel zárva van. Az eseményalgebrát , amely a megszámlálható számú halmazzal végrehajtott halmazelméleti műveletek tekintetében zárt, események szigma-algebrájának nevezzük .

A valószínűségszámításban a következő események algebrái és szigma-algebrái fordulnak elő:

véges részhalmazok algebra ; $\Omega$
megszámlálható részhalmazok szigma-algebrája ; $\Omega$
intervallumok véges uniói által alkotott részhalmaz algebra ; ${{\mathbb {R}}}^{n}$
egy topológiai tér Borel-részhalmazainak szigma-algebrája , vagyis az összes nyitott részhalmazt tartalmazó legkisebb szigma-algebra ; $\Omega$ $\Omega$
a függvénytérben lévő hengerek algebrája és az általuk generált szigma-algebra.

A vagy eseményt , amely abból áll, hogy a két esemény közül legalább az egyik bekövetkezik, az események és események összegének nevezzük . $A+B$ $A\ csésze B$ $A$ $B$ $A$ $B$

A valószínűségi tér egy adott valószínűségi függvénnyel rendelkező események algebra , azaz egy szigma-additív véges mérték , amelynek tartománya az események algebra, ahol . $\mathbb {P}$ $\mathbb{P}(\Omega) = 1$

Bármilyen szigma-additív valószínűség az események algebráján egyedülálló módon kiterjed az események adott eseményalgebrája által generált események szigma-algebráján meghatározott szigma-additív valószínűségre .

Lásd még

Irodalom

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - szerk. negyedik, átdolgozott. - M .: Nauka , 1976 . — 544 p.