R függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2016. május 1-jén áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

R-függvény ( Rvachev -függvény ) - valós változók numerikus függvénye , amelynek előjelét teljesen meghatározzák argumentumai előjelei a numerikus tengely megfelelő felosztásával intervallumokra és . Az R-függvényeket először V. L. Rvachev [1] [2] [3] munkáiban mutatták be . A klasszikus analitikus geometriával ellentétben az R-függvények elmélete ismert tulajdonságú problémák és egyenletek szintézisével foglalkozik. [négy] $(-\infty,0)$ $[0,\infty)$

Az R-függvények tanulmányozásához nemcsak a klasszikus analitikus geometriát kell ismerni, hanem a halmazelméletet is.

Definíció

Egy numerikus függvényt R-függvénynek nevezünk, ha létezik egy kísérő Boole-függvény ugyanannyi argumentummal, mint $z=z(x,\;y)$ $\phi\;$

\mathrm{sign}(z)=\Phi(\mathrm{sign}(x),\; \mathrm{sign}(y)).

Az R-függvény fogalmát hasonlóképpen vezetjük be az argumentumok számára $n\;>\;2.$

Minden R-függvényhez egyedi kísérő Boole-függvény tartozik. Ennek a fordítottja nem igaz: ugyanaz a Boole-függvény végtelen számú (elágazó) R-függvénynek felel meg.

Az R-függvények halmaza az R-függvények szuperpozíciójának értelmében zárt . Egy R-függvényrendszert kellően teljesnek nevezünk, ha az elemek összes szuperpozíciójának halmazának (a -realizálható függvények halmazának) van egy nem üres metszéspontja az R-függvényhalmaz minden ágával. A teljesség elégséges feltétele a megfelelő kísérő Boole-függvények rendszerének teljessége . ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}^{*}$

R-függvények teljes rendszerei

Az R-függvények leggyakrabban használt teljes rendszere a rendszer (for ): $\mathcal{R}_\alpha$ $-1 < \alpha \leq 1$

x \wedge_\alpha y \equiv \frac{1}{1+\alpha}(x+y-\sqrt{x^2+y^2-2\alpha xy}),

x \vee_\alpha y \equiv \frac{1}{1+\alpha}(x+y+\sqrt{x^2+y^2-2\alpha xy}),

\bar{x} \equiv -x.

Ha megvan a rendszer : $\alpha = 0\;$ $\mathcal{R}_0$

x \wedge_0 y \equiv x+y-\sqrt{x^2+y^2},\quad x \vee_0 y \equiv x+y+\sqrt{x^2+y^2},\quad \bar{ x} \equiv -x.

Ha megvan a rendszer : $\alpha = 1\;$ $\mathcal{R}_1$

x \wedge_1 y \equiv \frac{1}{2}(x+y-|xy|),\quad x \vee_1 y \equiv \frac{1}{2}(x+y+|xy|),\ quad \bar{x} \equiv -x.

Az utóbbi esetben a konjunkció és a diszjunkció R-függvényei egybeesnek a fuzzy logika megfelelő t-normájával és t-konormájával :

x \wedge y \equiv \min(x,y),\quad x \vee y \equiv \max(x,y).

Alkalmazások

Az R-függvények segítségével az egyszerű tartományok ismert egyenleteiből implicit formában összeállíthatjuk az összetett tartományok határainak egyenleteit. Egy összetett terület határának egyetlen analitikai kifejezés formájában történő leírása lehetővé teszi olyan struktúrák létrehozását a matematikai fizika határérték-problémáinak megoldására , amelyek meghatározatlan összetevőktől függenek, és pontosan teljesítik a peremfeltételeket . Az ilyen struktúrák bizonytalan összetevőit ezután a határérték-problémák megoldására szolgáló variációs vagy vetületi módszerek valamelyikével lehet megtalálni (kollokáció, Rayleigh-Ritz , Bubnov-Galyorkin-Petrov , legkisebb négyzetek ). Az R-függvények elméletén alapuló parciális differenciálegyenletek határérték -feladat megoldásának módszerét R-függvények strukturális módszerének, vagy a külföldi szakirodalomban RFM -nek (R-Functions Method) nevezik.

Az R-függvények a végtelen értékű logika vagy a fuzzy logika eszközeinek tekinthetők .

Az R-függvényeket (főleg a harkovi tudományos iskola tanulói) használják a matematikai fizika számos problémájának megoldására ( rugalmasság elmélet [5] [6] [7] [8] [9] , elektrodinamika [10] [ 11] [12] , elméleti hővezető képesség [13] [14] [15] [16] ), valamint a többdimenziós digitális jel- és képfeldolgozásban [17] , számítógépes grafikában és egyéb területeken.

Az R-függvények és waveletek elméletének alkalmazása a matematikai fizika határérték-feladatainak megoldására

Professzor V.F. Kravchenko és tanítványa, A.V. Yurin [12] új módszert javasolt és alátámasztott az R-függvények és a WA-függvényrendszerek elméletén [18] [19] [20] (atomi függvények alapján épített hullámok), a Galerkin-Petrov variációt alkalmazva. elv.

Különböző fizikai természetű határérték-problémák széles osztályának vizsgálatakor szükségessé válik olyan parciális differenciálegyenletek megoldása, amelyekben a vizsgált terület összetett konfigurációjú. Ilyen esetekben általában numerikus módszereket alkalmaznak: rács (véges különbségek, véges elemek, határelemek módszere), variációs és vetítési módszerek (Ritz, Bubnov-Galerkin-Petrov módszere, kollokációk, Treftts, legkisebb négyzetek módszere, fiktív területek módszere , R -függvények). Azonban mindegyiknek megvannak a maga előnyei és hátrányai. A grid módszerek tehát nagy hatékonysággal rendelkeznek az algoritmusban (ezért széles körben használatosak), de nem veszik pontosan figyelembe a vizsgált objektum geometriáját. A variációs módszerek esetében nem mindig lehet olyan bázisfüggvényeket készíteni, amelyek minden szükséges feltételt kielégítenének. Ezért felhasználásuk korlátozott. Külön kiemelendő az R-függvények módszere [11] , amely geometriai rugalmassággal és univerzálissággal rendelkezik a funkcionális minimalizálás választott módszere tekintetében. Ennek a megközelítésnek az alkalmazása jelentős számítási költségeket igényel. Ez a szerkezeti képletek használatának köszönhető, amelyek az R-műveletek segítségével megszerkesztett régió függvényein alapulnak. Az ilyen függvények bonyolult szerkezetűek lehetnek, és integráljuk kiszámításához nem szabványos formájú régión keresztül nagy pontosságú kvadratúra képleteket kell használni. A Wavelet-bázisok egyedi tulajdonságaikból adódóan lehetővé teszik a fenti hátrányok kikerülését [21] [22] és adaptív számítási séma kidolgozását integrációs művelet nélkül. Ez a megközelítés a bázis differenciális és integrál karakterisztikáit, valamint a tartományfüggvények, a peremfeltételek és az egyenlet jobb oldalának wavelet-kiterjesztésének együtthatóit tükröző speciális együtthatók bevezetésével lehetséges. Az új R-függvényeken és waveleteken alapuló módszer megvalósításának fő eszköze a Galerkin-Petrov séma [23] [24] parciális differenciálegyenletek megoldására.

A [12] [20] munkákban az elliptikus típusú határérték-problémák megoldásának példáján bemutatják az R-függvények (V.L. Rvachev-függvények) módszerének hatékonyságát WA-függvényrendszerekkel [18] kombinálva , ami megszünteti az alább jelzett összes hátrányt.

Jegyzetek

↑ Rvachev V. L. A logika algebrájának geometriai alkalmazásai. - Kijev: Technika, 1967.
↑ Rvachev V. L. A logikai algebra módszerei a matematikai fizikában. - Kijev: Nauk. gondolat, 1974.
↑ Rvachev V. L. Az R-függvények elmélete és néhány alkalmazása. - Kijev: Nauk. gondolat 1982.
↑ Kaledin, Valerij Olegovics. R-függvények elmélete: tankönyv felsőoktatási intézmények számára az alkalmazott matematika és informatika irányába: rec. Az Orosz Föderáció UMO egyetemei / V. O. Kaledin, E. V. Reshetnikova, V. B. Gridchina; Kemerovo állam. un-t, Novokuznyeck in-t (fil.). - 2. kiadás, átdolgozva. és további - Novokuznyeck: NFI KemSU, 2017. - 119 p.
↑ Rvachev V. L., Kurpa L. V., Sklepus N. G., Uchishvili L. A. R-függvények módszere összetett alakú lemezek hajlítási és vibrációs problémáiban. - Kijev: Naukova Dumka, 1973.
↑ Rvachev V. L., Protsenko V. S. A rugalmasságelmélet érintkezési problémái nem klasszikus régiókra. - Kijev: Naukova Dumka, 1977.
↑ Rvachev V. L., Kurpa L. V. R-függvények a lemezelmélet problémáiban. - Kijev: Naukova Dumka 1987.
↑ Rvachev V. L., Sinekop N. S. R-függvények módszere a rugalmasság és plaszticitás elméletének problémáiban. - Kijev: Naukova Dumka 1990.
↑ Pobedrya B. E. Numerikus módszerek a rugalmasság és plaszticitás elméletében. - M .: Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1995.
↑ Kravchenko V. F., Basarab M. A. Boole-algebra és közelítési módszerek az elektrodinamika határérték-problémáiban. — M.: Fizmatlit, 2004.
↑ 1 2 Kravchenko VF, Rvachev VL Logikai algebra, atomi függvények és waveletek fizikai alkalmazásokban. — M.: Fizmatlit, 2006.
↑ 1 2 3 V.F. Kravchenko, A.V. Yurin. Az R-függvények és hullámok elméletének alkalmazása elliptikus típusú határérték-problémák megoldására. Elektromágneses hullámok és elektronikus rendszerek. 2009. V.14. 3. szám. 4-39.
↑ Rvachev V. L., Slesarenko A. P. Algebro-logikai és vetítési módszerek hőátadási problémákban. - Kijev: Nauk. gondolat, 1978.
↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. Fizikai folyamatok matematikai modellezése giroszkópiában. - M .: Rádiótechnika, 2005.
↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. A modellezés és a digitális jelfeldolgozás módszerei a giroszkópiában. — M.: Fizmatlit, 2008.
↑ Matveev V. A., Lunin B. S., Basarab M. A. Hullámos szilárdtest giroszkópokon alapuló navigációs rendszerek. — M.: Fizmatlit, 2008.
↑ Digitális jel- és képfeldolgozás radiofizikai alkalmazásokban / Szerk. V. F. Kravcsenko. — M.: Fizmatlit, 2007.
↑ 1 2 V.F. Kravchenko, O.S. Labunko, A.M. Lehrer, G.P. Szinyavszkij. 3., 4. fejezet // Számítási módszerek a modern radiofizikában. Alatt. szerk. V F. Kravcsenko. - Moszkva: Fizmatlit, 2009.
↑ Kravcsenko V.F., Kravcsenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V., Jurin A.V. Atom-, WA-rendszerek és R-függvénycsaládok alkalmazása a sugárfizika modern problémáiban. II. rész // Rádiótechnika és elektronika: Szemle. - 2015. - No. T. 60. No. 2 . - S. 109-148 .
↑ 1 2 Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V., Jurin A.V. Atom-, WA-rendszerek és R-függvénycsaládok alkalmazása a sugárfizika modern problémáiban. IV. rész // Rádiótechnika és elektronika. - 2015. - T. 60 , 11. sz . - S. 1113-1152 .
↑ Dobeshi I. Tíz előadás a waveletekről. Izhevsk: "Szabályos és kaotikus dinamika" kutatóközpont, 2001.
↑ Novikov I.Ya., Protasov V.Yu., Skopina M.A. Splash elmélet. Moszkva: Fizmatlit, 2006.
↑ Aubin J.P. Elliptikus határérték-feladatok közelítő megoldása. M.: Mir, 1972.
↑ Krasnoselsky M.A., Vainenko G.M., Zabreiko P.P., Rutitsky Ya.B., Stetsenko V.Ya. Operátoregyenletek közelítő megoldása. Moszkva: Nauka, 1969.

Lásd még

Logikai algebra
Boole-algebra
logikai függvény
S-függvény (Slesarenko függvény)

Linkek

Az analitikus geometria inverz problémájának megoldása. R-függvények elmélete