Q-analóg
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .Egy tétel , azonosság vagy kifejezés Q - analógja egy új q paramétert magában foglaló általánosítás, amelyaz eredeti tételt, azonosságot vagy kifejezést a határértékben q → 1 formában. A matematikusokat általában a természetben előforduló q - analógok érdeklik, ahelyett, hogy tetszőleges q -analógokat találnának ki ismert eredményekhez. A legkorábbi q -analógok az alapvető hipergeometriai sorozatok , amelyeket a 19. században vizsgáltak [1] .
A Q -analógokat leggyakrabban a kombinatorikában és a speciális függvények elméletében használják . Ilyen körülmények között a q → 1 határ gyakran formális, mivel q gyakran diszkrét (például egy prímszám hatványát képviselheti ). A Q -analógok számos területen alkalmazhatók, beleértve a fraktálok és a multifraktál mértékek tanulmányozását, valamint a kaotikus dinamikus rendszerek entrópiájának kifejezését . A fraktálokkal és a dinamikus rendszerekkel való kapcsolat abból fakad, hogy sok fraktál objektum általában szimmetriával rendelkezik a fuksziánus csoportokra (lásd például az "Indra's pearls" és az " Apollonian's grid " című tanulmányokat), és különösen a moduláris csoportot . . A kapcsolat a hiperbolikus geometrián és az ergodikus elméleten keresztül fut , ahol az elliptikus integrálok és a moduláris formák játsszák a főszerepet. Maguk a q - sorozatok szorosan kapcsolódnak az elliptikus integrálokhoz.
A Q -analógok megjelennek a kvantumcsoportok tanulmányozásában és a q -perturbált szuperalgebrákban [ . A kapcsolat itt hasonló ahhoz, ahogy a húrelméletet a Riemann-felületek nyelvén konstruálják meg , ami elliptikus görbékkel való kapcsolathoz vezet , amelyek viszont a q - sorozathoz kapcsolódnak .
"Klasszikus" q - elmélet
A klasszikus q -elmélet a nem negatív egész számok q -analógjaival kezdődik [2] . Egyenlőség
azt javasolja, hogy definiáljuk az n szám q -analógját, amelyet q - zárójelként vagy az n szám q - számaként ismerünk.
![{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\lpont +q^{n-1} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54905ab6a45450b4e798ef991a9f7c6cd65711db)
Ennek a konkrét q -analógnak a választásának az egyéb lehetőségek között nincs határozott oka, de az analóg természetesen több kontextusban is felmerül. Például, ha úgy döntünk, hogy az [ n ] q jelölést használjuk az n szám q -analógjához, akkor a következőképpen definiálhatjuk a faktoriális q -analógját , amelyet q - faktoriálisként ismerünk.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q} \cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}} \cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1 \cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{igazított}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9aca08867b8fd46c5c717a2a8aca39c294faf0)
Ez a q -analóg természetesen több kontextusban is megjelenik. Figyelemre méltó, míg n ! megszámolja az n , [ n ] q hosszúságú permutációk számát ! a permutációkat az inverziók számának figyelembevételével számolja . Vagyis ha inv( w ) egy w permutáció inverzióinak számát jelenti, S n pedig az n hosszúságú permutációk halmazát , akkor
![{\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fdbf42b3988d54e8a3997462fbf86ee1efc88fa)
Különösen a szokásos faktoriálist kaphatja meg, ha átlépi a limitet .
A Q -faktort röviden a Pochhammer q -szimbólum is definiálja, amely az összes q -elmélet alapvető építőköve:
![{\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6a1e12939e2d9c21567ce00527543674ba70d6)
A q-tényezőkről a q - binomiális együtthatókra , más néven Gauss-együtthatókra, Gauss-polinomokra vagy Gauss-binomiális együtthatókra lehet lépni :
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[nk]_{q}![k]_{q}!}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2d350cdfdff22544fac702c5d397578cde0d44)
Q -degree a következőképpen van definiálva
![{\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5943d719a2f4615fdd2a4a3da4cbd362260756)
A trigonometrikus q -függvények a q -Fourier transzformációval együtt ugyanabban a kontextusban vannak definiálva.
Q -analógok a kombinatorikában
A Gauss-együtthatók egy véges vektortér altereit számolják . Legyen q a véges mező elemeinek száma (A q szám ekkor egyenlő egy prímszám hatványával , q = p e , tehát a q betű használata ésszerű). Ekkor egy n - dimenziós vektortér k - dimenziós altereinek száma egy q elemű mező felett
Mivel q 1-re hajlik , megkapjuk a binomiális együtthatót
vagy más szóval egy n elemű halmaz k elemű részhalmazainak száma .
Így egy véges vektorteret egy halmaz q -generálásának, az altereket pedig e halmaz részhalmazainak q -általánosításának tekinthetjük. Ez egy gyümölcsöző szempont az érdekes tételek megtalálásához. Például Sperner tételének és Ramsey elméletének van q -analógja .
q → 1
Ellentétben azzal, hogy megengedjük q változását , és a q -analógokat eltérésnek tekintjük, a q = 1 kombinatorikus esetet tekinthetjük a q -analógok q → 1 határának (gyakran nem lehet q = 1 -et egyszerűen behelyettesíteni a képletbe, így át kell venni a határt).
Ez formalizálható egy elemű mezőben , ahol a kombinatorika lineáris algebraként van ábrázolva egy elemű mező felett. Például a Weyl-csoportok egyszerűen algebrai csoportok egy egy elemű mező felett.
Alkalmazások a fizikában
A Q -analógok gyakran megtalálhatók a sok test problémáinak pontos megoldásaiban. Ilyen esetekben a q → 1 határérték viszonylag egyszerű dinamikának felel meg, azaz nem lineáris perturbációk nélkül, míg q < 1 egy összetett nemlineáris visszacsatolási rendszerbe enged bepillantást.
Egy példa az atomfizikából az a modell, amely ultrahideg fermionos gázból molekuláris kondenzátumot hoz létre olyan körülmények között, amikor a Feshbach- rezonancia segítségével egy külső mágneses mezőt kisöpörnek [3] . Ezt a folyamatot egy modell írja le az SU(2) operátoralgebra q -perturbált változatával, a megoldást pedig q -perturbed exponenciális és binomiális eloszlások írják le .
Lásd még
- q -analógok listája
- Stirling számok
- Fiatal diagram
Jegyzetek
- ↑ Exton, 1983 .
- ↑ Ernst, 2003 , p. 487–525.
- ↑ Sun, Sinitsyn, 2016 , p. 033808.
Irodalom
- Exton H. q-Hipergeometriai függvények és alkalmazások. - New York: Halstead Press, 1983. - ISBN 0853124914 . — ISBN 0470274530 . — ISBN 978-0470274538 .
- Thomas Ernst. A Method for q-calculus // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. - 2003. - T. 10 , sz. 4 . – S. 487–525 .
- Sun C., Sinitsyn NA A Tavis-Cummings modell Landau-Zener kiterjesztése: A megoldás szerkezete // Phys. Fordulat. A. _ - 2016. - T. 94 , sz. 3 . - doi : 10.1103/PhysRevA.94.033808 . — .
Linkek
- Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Umbral calculus , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
- q -analóg a MathWorld -től
- q -zárójel a MathWorldből
- q -factorial a MathWorldből
- q -binomiális együttható a MathWorldből