IEEE 754-2008

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. augusztus 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 22 szerkesztést igényelnek .

Az IEEE 754 ( IEC 60559) egy széles körben használt IEEE -szabvány, amely a lebegőpontos számok megjelenítési formátumát írja le . Az aritmetikai műveletek (matematikai műveletek) szoftveres ( különböző programozási nyelvek fordítói ) és hardveres ( CPU és FPU ) megvalósításaiban használatos.

A szabvány leírja:

lebegőpontos számformátum : mantissza , kitevő (kitevő), számjel;
pozitív és negatív nulla , pozitív és negatív végtelen , valamint nem szám ábrázolása ( angolul Not-a-Number , NaN );
számok konvertálására használt módszerek matematikai műveletek végrehajtásakor;
kivételek: osztás nullával , túlcsordulás , alulcsordulás , munka denormalizált számokkal és mások;
műveletek: aritmetika és mások.

A 2008-as szabvány az IEEE 754-1985 helyébe lép . Az új szabvány a korábbi szabvány bináris formátumait és három új formátumot tartalmaz. A jelenlegi szabvány szerint egy implementációnak támogatnia kell az alapformátumok legalább egyikét, valamint az aritmetikai és a csereformátumot.

A szabványok listája:

IEEE 754-1985;
IEEE 754-2008.

A szabvány kidolgozása

Az IEEE 754-2008 jelenlegi verziója 2008-ban jelent meg. Kiegészíti és felváltja az IEEE 754-1985 korábbi verzióját , amelyet Dan Zuras írt és Mike Coulishaw szerkesztett..

Az ISO/IEC/IEEE 60559:2011 nemzetközi szabványt (azonos IEEE 754-2008-cal) jóváhagyták és közzétették a JTC1 /SC 25 számára az ISO/IEEE PSDO megállapodás értelmében.

Az eredeti szabvány bináris formátumait az új szabvány tartalmazza, három új alapformátummal együtt (egy bináris és két decimális). A jelenlegi szabványnak való megfelelés érdekében egy implementációnak legalább az egyik alapformátumot meg kell valósítania.

2015 szeptemberétől a szabvány felülvizsgálat alatt áll, hogy pontosításokat tartalmazzon.

Formátum

Az IEEE 754 formátum "számértékek és karakterek reprezentációinak halmaza". A formátum kódolási módszert is tartalmazhat.

A formátum a következőket tartalmazza:

Számok, amelyek bináris vagy decimális jelöléssel tekinthetők. Egy valós számot három egész szám ábrázol , és ahol az előjel (0 a pozitív és 1 a negatív), a mantisssza (együttható), a kitevő . Adott egész számok esetén a megfelelő valós szám értéke: , ahol az alap (2 vagy 10). Például egy szám bázissal , előjelbittel (a szám negatív), mantisszával és kitevővel határoz meg egy számot . $s$ $c$ $q$ $s$ $c$ $q$ $s$ $c$ $q$ ${\displaystyle (-1)^{s}\cdot c\cdot b^{q))$ $b$ $tíz$ $egy$ $12345$ $-3$ $(-1)^{1}\cdot 12345\cdot 10^{-3}=-12,345$

Pozitív nulla és negatív nulla . $+0$ $-0$
Két végtelen: és . $+\infty$ $-\infty$
Kétféle NaN : csendes NaN (qNaN) és jelző NaN (sNaN). A NaN hordozhat egy hasznos terhet, amely diagnosztikai információkra szolgál, jelezve a NaN-t okozó forrást. A NaN jelének nincs jelentése, de bizonyos esetekben előre jelezhető.

A formátumban megjeleníthető lehetséges végső értékeket az alap , a mantissza karaktereinek száma (pontossággal ) és a maximális érték határozza meg : $b$ $p$ ${\displaystyle E_{\max ))$

$c$ egész számnak kell lennie a nulla és a tartományban (ha és akkor c lehet tól -ig ) $b^{p}-1$ $b=10$ $p=7$ $0$ $9999999$
$q$ egész számnak kell lennie, hogy (ha és , akkor lehet től -ig ). ${\displaystyle 1-E_{\max }\leq q+p-1\leq E_{\max ))$ $p=7$ $E_{\max }=96$ $q$ $-101$ $90$

Ezért (az előző példában) a legkisebb ábrázolható nullától eltérő pozitív szám a , a legnagyobb pedig ( ), valamint a teljes számtartomány tól -ig . A számok és ( és ) a legkisebb (abszolút értékben) normál számok; Az e legkisebb számok közötti nullától eltérő számokat szubnormálisnak nevezzük . $1\cdot 10^{-101}$ $9999999\cdot 10^{90}$ ${\displaystyle 9.999999\cdot 10^{96))$ ${\displaystyle -9,999999\cdot 10^{-96))$ ${\displaystyle 9.999999\cdot 10^{-96))$ $-b^{E_{\max ))$ $b^{E_{\max ))$ $-1\cdot 10^{-95}$ $1\cdot 10^{95}$

Ábrázolás és kódolás a memóriában

Egyes számoknak több ábrázolása is lehet az imént leírt formátumban. Például ha és , akkor a szám a következőképpen ábrázolható: , vagy . $b=10$ $p=7$ $-12,345$ ${\displaystyle -12345\cdot 10^{-3))$ ${\displaystyle -123450\cdot 10^{-4))$ ${\displaystyle -1234500\cdot 10^{-5))$

A decimális formátumok esetén bármely reprezentáció érvényes, és ezeknek a reprezentációknak a gyűjteményét kohorszoknak nevezzük . Ha egy eredménynek több reprezentációja is lehet, a szabvány határozza meg, hogy a kohorsz egyik tagja melyiket válassza ki.

A bináris formátumok esetében az ábrázolás egyedivé válik a legkisebb reprezentálható kitevő kiválasztásával. A normál tartományba eső kitevővel rendelkező számok esetében (nem mindegyik, vagy mindegyik nulla) a mantissza kezdőbitje mindig 1 lesz. Ezért a bevezető 1 bit inkább utalható, mintsem kifejezetten a memóriában tárolható. Ezt a szabályt vezető bitkonvenciónak vagy rejtett bitkonvenciónak nevezik. A szabály lehetővé teszi, hogy 1 bit memóriát takarítson meg a pontosság növelése érdekében. Az egyezmény kezdőbitje nem használatos szubnormális számokhoz; arányuk kívül esik a normál értéktartományon.

Alapvető és cserélhető formátumok

A szabvány öt alapvető formátumot határoz meg, amelyeket a számbázisuk és a kódolásukban használt bitek száma alapján neveznek el. Három alapvető bináris lebegőpontos formátum létezik (32, 64 vagy 128 bittel kódolva) és két decimális lebegőpontos formátum (64 vagy 128 bittel kódolva). A bináris32 és bináris64 formátumok az IEEE 754-1985 egyes és bináris formátumok. A megfelelő megvalósításnak teljes mértékben meg kell valósítania legalább az egyik alapvető formátumot.

A szabvány meghatározza azokat a csereformátumokat is, amelyek általánosítják ezeket az alapvető formátumokat. A binárisak megegyezést igényelnek a vezető bitekkel. A táblázat felsorolja a legkisebb csereformátumokat (beleértve az alapszintűeket is).

Név	Teljes cím	Bázis	A mantissza bináris számjegyeinek száma	Tizedesjegyek száma	Kitevő (bit)	Decimális Emax	Exponenciális eltolás [1]	Emin	Emax	Megjegyzések
bináris16	fél pontossággal	2	tizenegy	3.31	5	4.51	2 4 −1 = 15	−14	+15	Nem mainstream
bináris32	egyetlen pontosság	2	24	7.22	nyolc	38.23	2 7 −1 = 127	−126	+127
bináris64	dupla pontosság	2	53	15.95	tizenegy	307,95	2 10 -1 = 1023	−1022	+1023
bináris128	Négyszeres pontosság	2	113	34.02	tizenöt	4931,77	2 14 −1 = 16383	−16382	+16383
bináris256	8x pontosság	2	237	71.34	19	78913.2	2 18 −1 = 262143	−262142	+262143	Nem mainstream
decimális32		tíz	7	7	7.58	96	101	−95	+96	Nem mainstream
decimális64		tíz	16	16	9.58	384	398	−383	+384
decimális128		tíz	34	34	13.58	6144	6176	−6143	+6144

Felhívjuk figyelmét, hogy a fenti táblázatban a minimális értékek normál számokra vonatkoznak. A szubnormális számok speciális ábrázolása lehetővé teszi még kisebb számok ábrázolását is (némi pontosságvesztéssel). Például a legkisebb nullánál nagyobb dupla pontossági szám, amely ebben a formában ábrázolható, a 2 − 1074 (mert 1074 = 1022 + 53 − 1).

A decimális érték a × log 10 bázis érték , amely tízes számban megadja a hozzávetőleges pontosságot.

A decimális E max az emax × log 10 bázis, ez adja meg a decimális maximális teljesítményt.

Amint azt korábban említettük, a binary32 és a binary64 formátumok megegyeznek az IEEE 754-1985 formátumokkal, és ez a két leggyakrabban használt formátum ma. A jobb oldali ábra a bináris32 és bináris64 formátumok abszolút pontosságát mutatja, 10–12 és 10 12 között . Egy ilyen mutató segítségével kiválasztható a megfelelő formátum, figyelembe véve a szám várható értékét és a szükséges pontosságot.

Bővített és bővíthető precíziós formátumok

A szabvány kiterjesztett és bővíthető precíziós formátumokat is meghatároz, amelyek az alapformátumoknál nagyobb pontosság érdekében ajánlottak. A kiterjesztett precíziós formátum kiterjeszti az alapformátumot, nagyobb pontossággal és szélesebb kitevő-tartománnyal. A fejlett precíziós formátum lehetővé teszi a felhasználó számára a pontosság és a kitevő megadását. Egy megvalósítás bármilyen belső reprezentációt használhat az ilyen formátumokhoz. Csak a b, p és emax paramétereket kell megadni. Ezek a paraméterek egyértelműen leírják a véges számok halmazát (előjel és kitevő kombinációi egy adott bázishoz), amelyet képviselni tud.

A szabvány nem igényel implementációt a kiterjesztett vagy bővíthető precíz formátumok támogatásához.

A szabvány azt javasolja, hogy a nyelvek biztosítsanak egy módszert a p és az emax értékeinek megadására minden támogatott b bázishoz.

A szabvány azt javasolja, hogy a nyelvek és megvalósítások támogassanak egy kiterjesztett formátumot, amely nagyobb pontossággal rendelkezik, mint az egyes alapokhoz támogatott legnagyobb alapformátum.

Két alapformátum közötti pontossággal bővített formátum esetén a kitevőtartománynak akkorának kell lennie, mint a következő szélesebb alapformátumé. Így például egy 64 bites kiterjesztett pontosságú bináris szám emax értékének legalább 16383-nak kell lennie.

Csere formátumok

A csereformátumokat úgy tervezték, hogy lebegőpontos adatokat cseréljenek egy rögzített hosszúságú bitsor használatával.

A bináris lebegőpontos számok cseréjéhez 16 bites, 32 bites, 64 bites és 32 bit ≥128 bites többszöröse csereformátumok vannak meghatározva. A 16 bites formátum kis számok cseréjére vagy tárolására szolgál (például grafikus vagy neurális hálózati számításokhoz).

Ezeknek a bináris csereformátumoknak a kódolási sémája ugyanaz, mint az IEEE 754-1985 esetében: egy előjelbit, amelyet a kitevő-eltolást leíró indexek és az értéket leíró p-1 bitek követnek. A kitevőmező szélességét a k bites formátumhoz a következőképpen számítjuk ki: w = round(4 log 2 ( k ))−13. A meglévő 64 és 128 bites formátumok követik ezt a szabályt, de a 16 és 32 bites formátumok több teljesítménybittel rendelkeznek (5 és 8 bit), mint amennyit ez a képlet ad (3, illetve 7 bit).

Az IEEE 754-1985-höz hasonlóan a NaN kódolásban is van némi rugalmasság.

A tizedes lebegőpontos számok cseréjéhez a csereformátumok a 32 bit bármely többszörösére vannak meghatározva.

Kerekítési szabályok

A szabvány öt kerekítési szabályt határoz meg. Az első két szabály a legközelebbi értékre kerekít, a többit irányított körnek nevezzük.

Kerekítés a legközelebbi

Kerekítés a legközelebbire ("párosra" kötés). Ha a két legközelebbi lebegőpontos szám egyformán közel van egymáshoz, akkor a még legalacsonyabb számjegyű számot kell kapni. Ez az alapértelmezett bináris lebegőpontos, és az ajánlott alapértelmezett a decimális értékhez.
Kerekítés a legközelebbire („végtelenig” kötés). Ha a két legközelebbi lebegőpontos szám egyformán közel van, akkor nagyobb modulusú számot kell kapni.

Irányított kerekítés

0- ra kerekítés – nullára kerekítés (csonkításként is ismert).
Kerekítés +∞-re – Irányított kör a pozitív végtelenig (más néven felfelé vagy mennyezet).
Kerekítés - ∞ - irányú kerekítés negatív végtelenig (lefelé vagy padlónak is nevezik).

Példa egész számokra kerekítésre

Mód / Példa	+11,5	+12,5	−11.5	−12.5
a legközelebbi (pároshoz kötött)	+12,0	+12,0	−12.0	−12.0
a legközelebbihez (a végtelenig)	+12,0	+13,0	−12.0	−13,0
0-ra	+11,0	+12,0	−11.0	−12.0
+ ∞-re	+12,0	+13,0	−11.0	−12.0
hogy - ∞	+11,0	+12,0	−12.0	−13,0

Szükséges műveletek

A támogatott aritmetikai formátumhoz (beleértve az alapformátumokat is) szükséges műveletek a következők:

Aritmetikai műveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás, négyzetgyök, többszörös szorzás összevonása, maradék)
Konverziók (formátumok, karakterláncok stb. között)
Méretezés és kvantálás (tizedesjegyhez)
Jelek másolása és manipulálása (tagadás stb.)
Összehasonlítás és általános sorrend
Osztályozás és tesztelés (NaN-re stb.)
Tesztelje és telepítse a zászlókat
Egyéb műveletek

Általános állítmány

A szabvány egy totalOrder predikátumot biztosít, amely meghatározza az összes lebegőpontos szám teljes sorrendjét az egyes formátumokhoz. A predikátum összhangban van a szokásos összehasonlítási műveletekkel. A normál összehasonlítási műveletek azonban rendezetlenként kezelik a NaN-eket, és egyenlőnek hasonlítják a -0-t és a +0-t. A totalOrder predikátum rendezi ezeket az eseteket, és különbséget tesz a NaN különböző reprezentációi között ugyanazon lebegőpontos számhoz, különböző módon kódolva.

Lásd még

Fél pontosságú szám
Egyetlen pontosságú szám
Dupla pontosságú szám
Négyszeres szám
bfloat16 formátumban(alternatív 16 bites formátum, alacsony pontosságú, de egyszerűen konvertálható egyetlen pontosságú számokból)
intervallum aritmetika

Jegyzetek

↑ Cowlishaw, Mike decimális aritmetikai kódolások . IBM. Letöltve: 2015. augusztus 6. Az eredetiből archiválva : 2016. február 8.. (határozatlan)

Linkek

754-2019 – IEEE szabvány a lebegőpontos aritmetikához. Az IEEE Std 754-2008 verziója // ieeexplore.ieee.org, ISBN: 2019 978-1-5044-5924-2, doi:10.1109/IEEEESTD.2019.8766229 (fizetett)
754-2008 – IEEE szabvány a lebegőpontos aritmetikához. Az ANSI/IEEE Std 754-1985 verziója // ieeexplore.ieee.org, 2008 ISBN 978-0-7381-5752-8 , doi:10.1109/IEEEESTD.2008.4610935 (fizetett)
Yashkardin V. L. IEEE 754 - a bináris lebegőpontos aritmetika szabványa . SoftElectro (2009). (határozatlan)
IEEE 754 konverter
IEEE754 online bináris-tizedes átalakító

IEEE szabványok

Jelenlegi

488
CAMAC
- 575
- 583
- 595
- 596
- 675
- 683
- 726
- 758
696
754
854
Multibusz
- 796
- 1296
Programok
- 730
- 828
- 829
- 1012
- 1016
- 1058
- 1063
jövőbeli busz
- 896
- 1156
- 1194
- 1301
960
1003
1014
1076
1101
1149.1
1155
1164
1196
1275
1278
1284
1355
1394
1451
1471
1497
1516
1541-2002
1547
1584
1588
1596
1603
1613
1666
1667
1675
1685
1722
1733
1788
1800
1801
1815
1850
1900.4
1901
1902
1904.1
1905
2030
2050
11073
12207
14764
16085
16326
29148
42010

802-es sorozat

802.1	D p K Qat Qay w x ab hirdetés AE ag Ah ak aq MINT fejsze az BA
802.3	-1983 a b d e én j u x y z ab ac hirdetés ae af Ah ak an aq nál nél av az ba bt által
802.11	mód a b c d e f g h én j k n p r s u v w y ac hirdetés af Ah ai fejsze igen lenni

.2
.négy
.5
.6
.7
.nyolc
.9
.tíz
.12
.tizennégy
.tizenöt
- .egy
- .négy
- .4a
- .6
- .7
.16
- Eredeti d e
.17
.tizennyolc
.húsz
.21
.22

P-sorozat

P959

P1363

P1619

P1699

P1823

P1906.1

Lecserélve

754-1985
830
1219
1233
1362
1364
1471

Kategória:IEEE szabványok