Functor Ext

Az Ext funktorok a Hom funktor származtatott funktorai . Először a homológ algebrában jelentek meg , ahol központi szerepet játszanak, például az univerzális együttható tételében , de ma már a matematika számos különböző területén használják őket.

Ez a függvény természetesen megjelenik a modulbővítések tanulmányozásában . A név angolból származik. bővítés - bővítés.

Motiváció: modulbővítések

A kiterjesztések egyenértékűsége

Legyen A egy Abeli kategória . A Mitchell beágyazási tétel szerint feltételezhetjük, hogy a modulok kategóriájával dolgozunk. A Z objektum X objektummal való kiterjesztése az alak rövid, pontos sorozata

0\-tól X-ig\Y-ig\Z-ig\0

Két bővítmény

0\-tól X-ig\Y-ig\Z-ig\0

0\-tól X-ig\Y-ig\Z-ig\0

ekvivalensnek mondjuk, ha létezik egy morfizmus , amely a diagramot létrehozza $g:Y\to Y'$

{\begin{matrix}0&\-tól &X&\-ig &Y&\-ig &Z&\-ig &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow g&&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X&\ &Y'&\\&Z&\to &0\end{mátrix}}

kommutatív, hol van az identitásmorfizmus. A kígyólemma szerint g egy izomorfizmus. ${\megjelenítési stílus \operátornév {azonosító} }$

A Z kiterjesztési osztály X által modulo ez az ekvivalencia reláció egy halmazt alkot, amelyet X-el jelölünk és a Z kiterjesztési osztályok halmazának nevezünk . $\operatorname {Ext} ^{1}(Z,X)$

Baer összege

Két bővítmény adott

0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0

0\rightarrow B\rightarrow E^{\prime }\rightarrow A\rightarrow 0

a Baer-összeg kiszámítható, ha figyelembe vesszük a szálas terméket , $A$

\Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.

Figyelembe vesszük a tényezőt

{\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),0)-(0,f'(b))\;|\;b\in B\))

vagyis a relációkkal faktorizáljuk . Kiterjesztés ${\megjelenítési stílus (f(b)+e,e')\sim (e,f'(b)+e')}$

0\rightarrow B\rightarrow Y\rightarrow A\rightarrow 0

ahol az első nyíl a -ra , a második pedig -ra, az E és E' kiterjesztések Baer - összegének nevezzük . $b$ $[(f(b),0)]=[(0,f'(b))]$ $(e,e')$ $g(e)=g'(e')$

A kiterjesztések ekvivalenciájáig a Baer-összeg kommutatív, a triviális kiterjesztés pedig semleges elem. A 0 → B → E → A → 0 kiterjesztésének inverze ugyanaz a kiterjesztése, amelyben az egyik nyíl előjele megváltozott, például a g morfizmus -g -re változik .

Így a kiterjesztések halmaza az ekvivalenciáig egy Abel-csoportot alkot.

Definíció

Legyen R egy gyűrű , és tekintsük az R -modulok kategóriáját R -Mod . Rögzítünk egy R -Mod kategóriájú A objektumot , és T -vel jelöljük a Hom függvényt

T(B)=\operátornév {Hom} _{R}(A,B)

Ez a funktor pontos maradt . Jogos származékos funktorai vannak. Az ext funktorok meghatározása a következő:

\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B)

Különösen, . $\operátornév {Ext} ^{0}=\operátornév {Hom}$

Kétszeresen használhatjuk a kontravariáns Hom függvényt , és definiálhatjuk . Az így definiált Ext funktorok izomorfok. Kiszámíthatók a B injektív felbontással , illetve az A projektív felbontással . $G(A)=\operátornév {Hom} _{R}(A,B)$ $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A)$

Tulajdonságok

Extén
R( A , B ) = 0 i > 0 esetén, ha B injektív vagy A projektív.
Ez fordítva is igaz: ha a mellék1R_
_( A , B ) = 0 minden A -ra, akkor Extén
R( A , B ) = 0 minden A és B injektív; ha Ext1R_
_( A , B ) = 0 minden B esetén, akkor Extén
R( A , B ) = 0 minden B -re és A projektív.
$\operatorname {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}\bigoplus _{\alpha }A_{\alpha },B{\Bigr )}\cong \prod _{\alpha }\ operátornév {Ext} _{R}^{n}(A_{\alpha },B)$
$\operatorname {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}A,\prod _{\beta }B_{\beta }{\Bigr )}\cong \prod _{\beta }\ operátornév {Ext} _{R}^{n}(A,B_{\beta })$
$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{n}(A,B)=0$ n ≥ 2 esetén az A és B Abel -csoportok esetében .
$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\mathbb {Z} /p,B)=B/pB$ egy abel B csoportnak . Ez felhasználható bármely véges generált Abel-csoport kiszámítására . $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)$
Legyen A egy végesen generált modul egy R kommutatív Noether-gyűrűn . Ezután bármely többszörösen zárt S részhalmazhoz bármely B modul és bármely n , . $S^{-1}\operátornév {Ext} _{R}^{n}(A,B)\cong \operátornév {Ext} _{S^{-1}R}^{n}(S ^{-1}A,S^{-1}B)$
Ha R kommutatív és Noether-féle, és A egy végesen generált R -modul, akkor a következő utasítások ekvivalensek bármely B modulra és bármely n -re :
- $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=0.$
- Az R gyűrű minden elsődleges ideáljára . $\mathfrak{p}$ $\operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {p}}}^{n}(A_{\mathfrak {p}},B_{\mathfrak {p}})=0$
- Az R gyűrű minden egyes maximális ideáljára . $\mathfrak{m}$ $\operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {m}}}^{n}(A_{\mathfrak {m}},B_{\mathfrak {m}})=0$

Irodalom

McLane S. Kategóriák a dolgozó matematikusnak / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Weibel, Charles A. Bevezetés a homológiai algebrába. - Cambridge University Press , 1994. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38). - ISBN 978-0-521-55987-4 .