Pareto hatékony elosztás irigység nélkül

A hatékonyság és a méltányosság a jóléti gazdaságtan két fő célja . Adott egy erőforráskészlet és egy ágenskészlet, a cél az erőforrások olyan módon történő elosztása az ágensek között, hogy az Pareto - hatékony ( PE) és irigységmentes ( EF ) legyen . A célt először David Schmeidler és Menahem Yaari határozta meg [1] . Később az ilyen eloszlások létezését különböző feltételek mellett igazolták.

A STEP disztribúció megléte

Feltételezzük, hogy minden ügynöknek van preferenciarelációja az összes termékkészlet halmazán. A beállítások teljesek, átmenetiek és zártak. Ezzel egyenértékűen minden preferencia reláció egy folytonos hasznosságfüggvénnyel ábrázolható [2] .

Gyengén konvex preferenciák

1. Tétel (Varian) [3] : Ha minden ágens preferenciája konvex és szigorúan monoton , akkor létezik Pareto-hatékony irigységmentes eloszlás (EPBZ-eloszlás).

Bizonyítás : A bizonyítás az egyenlő jövedelmű versenyegyensúly létezésén alapul . Tételezzük fel, hogy a gazdaság minden erőforrása egyenlően oszlik meg az ügynökök között. Ez azt jelenti, hogy ha a gazdaság teljes alapja egyenlő , akkor minden ügynök kap egy kezdeti alapot . $E$ $i\in 1,\dots ,n:$ $E_{i}=E/n$

Mivel a preferenciák konvexek , az Arrow-Debreu modellből az következik , hogy létezik egy kompetitív egyensúly. Vagyis van egy árvektor és egy partíció a halmaznak , amelyre $P$ $x$

(CE) Minden ügynök a költségvetésnek megfelelően maximalizálja a hasznosságot . Vagyis ha , akkor . ${\displaystyle P\cdot Y\leqslant P\cdot X_{i))$ ${\displaystyle Y\preceq _{i}X_{i))$
(EI) Minden ügynöknek azonos jövedelme van egyensúlyi árakon: mindenkinek . ${\displaystyle i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j))$

Egy ilyen elosztásnál mindig nincs irigység. Bizonyítás: feltétel alapján (EI) bármely . Ezért feltétel szerint (CE) . ${\displaystyle i,j:P\cdot X_{j}\leqslant P\cdot X_{i))$ ${\displaystyle X_{j}\preceq _{i}X_{i))$

Mivel a preferenciák monotonok , minden ilyen eloszlás Pareto-hatékony is, mivel a monotonitás helyi telítetlenséget jelent . Lásd: A jóléti közgazdaságtan alaptételei .

Példák

Minden példa két árut használ , x-et és y-t, valamint két ügynököt, Alice-t és Bob -ot . A segédprogramok minden példában gyengén konvexek és folytonosak.

V. Sok EHP allokáció: A teljes alap (4,4). Alice és Bob lineáris hasznossági függvényei vannak helyettesítőkkel jelölve :

u_{A}(x,y)=2x+y

u_{B}(x,y)=x+2y

Vegye figyelembe, hogy a segédprogramok gyengén konvexek és szigorúan monotonok. Számos ESTP disztribúció létezik. Ha Alice legalább 3 egységnyi x terméket kap, akkor a hasznossága 6, és nem féltékeny Bobra. Hasonlóképpen, ha Bob legalább 3 egységnyi y terméket kap, nem féltékeny Alice-re. Így a [(3,0);(1,4)] eloszlás egy EFSP a (6,9) segédprogramokkal. Hasonlóképpen, a [(4,0);(0,4)] és [(4,0,5);(0,3,5)] eloszlások EFFI-k. Másrészt az eloszlás [(0,0);(4,4)] Pareto-hatékony, de az irigység jelen van (Alice féltékeny Bobra). A [(2,2);(2,2)] eloszlással nincs irigység, de nem is Pareto hatékony (a segédprogramok egyenlőek (6,6), de javíthatók pl. 8,8)).

B. Lényegében egyetlen STEP allokáció: A teljes forrás egyenlő (4.2). Alice-nek és Bobnak Leontief segédfüggvényei vannak, amelyek kiegészítő javakat képviselnek :

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

Vegye figyelembe, hogy a segédprogramok gyengén konvexek és csak gyengén monotonok. Még mindig létezik STEP elosztás. Ugyanez az eloszlás [(2,1);(2,1)] az EVAP (1,1) hasznossági vektorral. Az irigység hiánya nyilvánvaló (bármilyen azonos eloszlás az irigység hiányához vezet). A Pareto hatékonysággal kapcsolatban vegye figyelembe, hogy mindkét ágens csak y-ra vágyik, így az egyetlen módja annak, hogy egy ágens hasznosságot nyerjen, az az, hogy elvesz valamit a másik ágenstől, de ez csökkenti a másik ágens hasznosságát. Bár vannak más EOPS eloszlások is, mint például [(1.5,1);(2.5,1)], mindegyiknek ugyanaz a hasznossági vektora (1,1), így nincs mód arra, hogy mindkét ügynök 1-nél többet kapjon [ 4] .

Topológiai feltételek az effektív eloszlások terén

Az EPBZ eloszlások akkor is léteznek, ha az ágensek preferenciái nem konvexek. Van néhány elegendő feltétel az adott segédprogram-konfigurációknak megfelelő eloszláshalmaz alakjával kapcsolatban. Adott egy u hasznosságvektor, definiáljuk, hogy A(u) = azon allokációk halmaza, amelyeknél a segédprogramok egyenlők u-val. Az alábbiakban a különböző szerzők által javasolt tételek találhatók:

2. Tétel (Varian) [5] : Tételezzük fel, hogy minden ágens minden preferenciája szigorúan monoton . Ha bármely gyengén Pareto-hatékony u segédprogram-konfiguráció esetén az A(u) halmaz szingli (vagyis nincs két gyengén Pareto-hatékony eloszlás, amely miatt minden ágens ne tenne különbséget közöttük), akkor létezik EPBZ-eloszlás.

A bizonyítás a Knaster-Kuravtosky-Mazurkiewicz lemmát használja .

Megjegyzés : Az 1. és a 2. tétel feltételei függetlenek – egyik sem következik a másikból. Mindkettő azonban a preferenciák szigorú konvexitásából következik . Nyilvánvaló, hogy a szigorú konvexitásból gyenge konvexitás következik (1. tétel). Ha látni akarjuk, hogy a 2. Tétel feltétele következik belőle, tegyük fel, hogy két különböző x és y eloszlás van, ugyanazzal az u segédkonfigurációval. Határozzuk meg z = x/2+y/2. Szigorú konvexitás szerint minden ágens erősen preferálja z-t x és y helyett. Ezért x és y nem lehet gyengén Pareto-hatékony.

3. Tétel (Svensson) [6] : Ha az összes ágens preferenciája szigorúan monoton , és bármely u Pareto-hatékony segédprogram esetén az A(u) halmaz konvex, akkor létezik EPBZ-eloszlás.

A bizonyítás Kakutani fixpont tételét használja .

Megjegyzés : Ha minden ügynök preferenciája konvex (mint az 1. Tételben), akkor A(u) is konvex lesz. Sőt, ha A(u) egy elemből áll (mint a 2. Tételben), akkor nyilvánvalóan konvex is. Ezért Svensson tétele általánosabb, mint Varian mindkét tétele.

4. Tétel (Diamantaras) [7] : Ha az összes ágens preferenciái szigorúan monotonok , és bármely u Pareto-hatékony hasznossági vektorra az A(u) halmaz összehúzható (folyamatosan összehúzható egy pontig), akkor létezik EPBZ eloszlás. .

A bizonyítás Eilenberg és Montgomery fixpont tételét használja [8] .

Megjegyzés: Bármely konvex halmaz összehúzható, így Diamantaras tétele általánosabb, mint az előző három.

Szigma-optimalitás

Svensson egy másik elégséges feltételt bizonyított az EPBZ-eloszlások létezéséhez. Legyen ismét minden preferencia folyamatos segédfüggvényekkel. Sőt, a fogyasztási tér belsejében minden hasznossági funkció folyamatosan differenciálható.

A fő koncepció a szigma-optimalitás . Tegyük fel, hogy minden ügynökhöz k másolatot készítünk ugyanazokkal a beállításokkal. Legyen X az eloszlás az eredeti gazdaságban. Legyen Xk egy eloszlás a k-adik példányban, ahol ugyanannak az ágensnek minden másolata ugyanolyan előnyökben részesül, mint az eredeti X ágens. X eloszlását szigma -optimálisnak nevezzük, ha minden k esetén Xk eloszlása Pareto-optimális.

Lemma [9] : Egy eloszlás akkor és csak akkor szigma-optimális, ha egyensúlyban van a versenyben .

5. Tétel (Svensson) [10] : Ha minden Pareto-optimális eloszlás szigma-optimális, akkor EPBZ eloszlások léteznek.

További bevételek növekedése

Előfordulhat, hogy a STEP eloszlások akkor sem léteznek, ha minden preferencia konvex, ha van termelés, és a technológia növekvő növekményes bevételekkel rendelkezik.

6. tézis (Vohra) [11] : Vannak gazdaságok, amelyekben minden preferencia folyamatos, szigorúan monoton és konvex, a technológia nem konvexitása egyetlen forrása a fix árak, és ezekre nincs STEP eloszlás.

Így a növekvő többletjövedelem jelenléte alapvető konfliktust jelent a hatékonyság és az irigység hiánya között.

Az irigység hiánya azonban a következő módon gyengíthető. Az X allokációt lényegében irigységmentesnek ( EEF ) definiáljuk, ha bármely i ügynök esetében létezik egy megvalósítható Yi allokáció ugyanazokkal a segédprogramokkal (az összes ügynök nem lát különbséget X és Yi között), amelyben az i ügynök nem irigykedik senkire. Nyilvánvaló, hogy minden irigység nélküli disztribúció PBZ, mivel X-et Yi-nek vehetjük bármely i ügynökre.

7. Tétel (Vohra) [11] : Tételezzük fel, hogy az ágensek minden preferenciája szigorúan monoton , és folytonos hasznosságfüggvények képviselik. Aztán van egy Pareto hatékony elosztás, többnyire irigység nélkül.

EPBZ disztribúciók hiánya

Nem konvex beállítások

Előfordulhat, hogy az EPBZ-eloszlások előállítás nélkül sem léteznek, ha a preferenciák nem konvexek.

Példaként tegyük fel, hogy a teljes alap (4,2), ahol Alice és Bob ugyanazokkal a homorú segédfunkciókkal rendelkezik:

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

Ugyanazzal az eloszlással [(2,1);(2,1)] nincs irigység, és a hasznosságvektor egyenlő (2,2). Ezenkívül minden irigység nélküli allokációnak ugyanazt a hasznosságot kell adnia mindkét ügynöknek (mivel ugyanaz a hasznossági funkciójuk), és ezek a segédprogramok nem haladhatják meg a 2-t. Egy ilyen kiosztás azonban nem Pareto-hatékony, mivel a Pareto-t az eloszlás uralja [(4) ,0);(0,2)], amelynek hasznossági vektora egyenlő (4,2).

Nincs elosztás, még akkor sem, ha az irigység hiányát a dominancia hiányára redukáljuk – egyik ügynök sem kap többet az egyes jószágokból, mint a másik ügynök.

8. tézis ( Maniquet ) [12] : Vannak gazdaságok 2 termékkel és 3 ágenssel, szigorúan monoton, folyamatos, sőt differenciálható hasznossági függvényekkel, amelyekben bármely Pareto-hatékony eloszlás dominanciája van.

Az EPBZ eloszlás megkeresése

Két ügynök esetében a „ hangolási győztes ” eljárás egy egyszerű eljárás, amely két további tulajdonsággal rendelkező EPBZ-eloszlást talál – ez szintén elfogulatlan, és legfeljebb egy erőforráson osztozik két ügynök.

Három vagy több, lineáris hasznossági függvényekkel rendelkező ügynök esetén bármely Nash-optimális eloszlás EPBZ. A Nash optimális eloszlása az az eloszlás, amely maximalizálja az ügynökök segédprogramjainak szorzatát , vagy ezzel egyenértékűen a segédprogramok logaritmusainak összegét. Az ilyen eloszlások megtalálása konvex optimalizálási probléma

${\text{maximize}}\sum _{i=1}^{n}\log(u_{i}(X_{i}))~~~$ , ha egy disztribúció, $(X_{1},\ldots ,X_{n})$

és ezért hatékonyan megtalálhatók. Az a tény, hogy bármely Nash-optimális eloszlás EPBZ, még az igazságos tortavágás általánosabb feltételei mellett is igaz [13] .

Bizonyítás : Tekintsünk egy végtelenül kicsi tortadarabot Z. Minden i ágens esetén Z infinitezimális hozzájárulása a következőhöz $\log(u_{i}(X_{i}))$

$u_{i}(Z)\cdot {d\log(u_{i}(X_{i})) \over d(u_{i}(X_{i}))}={u_{i} (Z) \u_{i}(X_{i})}$ .

Így a Nash optimalitási szabály Z minden egyes darabját megadja annak a j ügynöknek , amelyre ez a kifejezés a legnagyobb:

$\forall j\in [n]:Z\subseteq X_{j}\iff \forall i\in [n]:{u_{j}(Z) \over u_{j}(X_{j}) }\geqslant {u_{i}(Z) \over u_{i}(X_{i})}$

Az X j halmaz összes infinitezimális részhalmazának összegzése megadja nekünk

$\forall i,j\in [n]:{u_{j}(X_{j}) \over u_{j}(X_{j})}\geqslant {u_{i}(X_{j} ) \u_{i}(X_{i})}$

Ebből következik az irigységmentes terjesztés meghatározása:

${\displaystyle \forall i,j\in [n]:{u_{i}(X_{i})}\geqslant {u_{i}(X_{j)))))$

Lásd még

Weller tétele az irigységmentes Pareto-effektív eloszlás (EPBZ-eloszlás) létezéséről a torta felvágására.
Hal Varian egyéb kapcsolódó tételei Varian cikkében [14] találhatók .
Az eloszlási EFSP tételei egy termelő gazdaságban megtalálhatók Piketty cikkében [15] .

Jegyzetek

↑ Schmeidler, Yaari, 1971 .
↑ Varian, 1974 , p. 79.
↑ Varian, 1974 , p. 68.
↑ Vegye figyelembe, hogy az 1974-es cikkben egy hasonló gazdaság szerepel példaként, amelyben a STEP eloszlás nem létezik. Talán csak elírás volt – a „min” helyett „max”-nak kellett volna lennie, mint az alábbi C példában. Lásd a közgazdasági veremcsere szálat
↑ Varian, 1974 , p. 69.
↑ Svensson, 1983 , p. 301–308.
↑ Diamantaras, 1992 , p. 141–157.
↑ Eilenberg, Montgomery, 1946 , p. 214–222.
↑ Svensson, 1994 , p. 528.
↑ Svensson, 1994 , p. 531.
↑ 1 2 Vohra, 1992 , p. 185–202.
↑ Maniquet, 1999 , p. 467–474.
↑ Segal-Halevi, Sziklai, 2018 .
↑ Varian, 1976 , p. 249–260.
↑ Piketty, 1994 , p. 391–405.

Irodalom

David Schmeidler, Menahem Yaari. igazságos kiosztások. — 1971. Kiadatlan cikk, szóbeli előadás - CORE (1969), Stanford, 1970
Hal Varian. Méltányosság, irigység és hatékonyság // Journal of Economic Theory. - 1974. - T. 9 . - doi : 10.1016/0022-0531(74)90075-1 .
Lars-Gunnar Svensson. A fair allokációk létezéséről (angol) // Zeitschrift für Nationalökonomie. - 1983. - szeptember ( 43. kötet , 3. szám ). - P. 301-308. — ISSN 0044-3158 . - doi : 10.1007/BF01283577 .
Dimitrios Diamantaras. A közjavakkal való egyenlőségről // Társadalmi választás és jólét. - 1992. - június ( 9. kötet , 2. szám ). — ISSN 0176-1714 . - doi : 10.1007/BF00187239 .
Rajiv Vohra. Méltányosság és hatékonyság a nem konvex gazdaságokban // Társadalmi választás és jólét. - 1992. - július ( 9. kötet , 3. szám ). – S. 185–202 . — ISSN 0176-1714 . - doi : 10.1007/BF00192877 .

Samuel Eilenberg, Deane Montgomery. Fixpont tételek többértékű transzformációkhoz // American Journal of Mathematics. - 1946. - T. 68 , sz. 2 . - doi : 10.2307/2371832 . — .
Lars-Gunnar Svensson. σ-Optimalitás és méltányosság // International Economic Review. - 1994. - T. 35 , sz. 2 . - doi : 10.2307/2527068 . — .
Francois maniquet. Erős összeférhetetlenség a hatékonyság és a méltányosság között nem konvex gazdaságokban // Journal of Mathematical Economics. - 1999. - December ( 32. évf. , 4. szám ). — ISSN 0304-4068 . - doi : 10.1016/S0304-4068(98)00067-6 .
Segal-Halevi Erel, Sziklai R. Balázs. Monotonitás és versenyegyensúly a tortavágásban // Gazdaságelmélet. - 2018. - május. — ISSN 1432-0479 . - doi : 10.1007/s00199-018-1128-6 . - arXiv : 1510.05229 .
Hal R Varian. Két probléma a méltányosság elméletében // Journal of Public Economics. - 1976. - V. 5 , sz. 3–4 . - doi : 10.1016/0047-2727(76)90018-9 .
Thomas Piketty. A méltányos allokációk megléte a termelést biztosító gazdaságokban // Közgazdasági folyóirat. - 1994. - november ( 55. évf. , 3. szám ). — ISSN 0047-2727 . - doi : 10.1016/0047-2727(93)01406-Z .