Fair Cake Cutting Challenge

A torta tisztességes felvágása egyfajta igazságos felosztási probléma . A probléma egy heterogén erőforrásról van szó, például egy különféle díszítéssel ( tejszínből , bogyós gyümölcsökből, csokoládéból ) , amelyekről feltételezzük, hogy oszthatóak – vagyis tetszőlegesen kis darabot lehet belőle levágni anélkül, hogy a teljes értéket rombolná. Az erőforrást fel kell osztani több partner között, akik eltérően preferálják a torta különböző részeit. Például van, aki a csokoládé dekorációt részesíti előnyben, van, aki a cseresznyét, míg mások csak egy nagyobb darabot. A felosztásnak szubjektívnek kell lennie vásár, minden résztvevőnek egy általa méltányosnak ítélt darabot kell kapnia.

A "torta" kifejezés csak metafora , a tortavágási eljárások felhasználhatók különféle erőforrások, például földtulajdon , reklámfelület vagy adásidő elkülönítésére.

A tortavágás problémáját Hugo Steinhaus javasolta a második világháború után [ 1] , és továbbra is intenzív kutatás tárgya maradt a matematikában , a számítástechnikában , a közgazdaságtanban és a politikatudományban [2] .

Feltételezések

Van egy torta , amelyet általában egy véges egydimenziós szakasznak, egy kétdimenziós sokszögnek vagy egy magasabb dimenziós euklideszi tér véges részhalmazának tekintenek . $C$ $\mathbb{R}^d$

Van egy személy, aki egyenlő jogokkal rendelkezik [3] . $n$ $C$

$C$ olyan diszjunkt részhalmazokra kell vágni, hogy minden résztvevő külön részhalmazt kapjon. A résztvevőnek szánt darab , és . $n$ $én$ $X_{i}$ ${\displaystyle C=X_{1}\sqcup \cdots \sqcup X_{n))$

Minden résztvevőnek egy „tisztességes” értékű darabot kell kapnia. A méltányosság meghatározása szubjektív értékfüggvények alapján történik . Minden arcnak van egy szubjektív értékfüggvénye, amely a részhalmazokat számokra képezi le. $én$ $V_i$ $C$

Feltételezzük, hogy a függvények hossza, területe vagy (általában) a Lebesgue mértéke abszolút folytonos [4] . Ez azt jelenti, hogy nincsenek "atomok", azaz olyan szinguláris pontok, amelyekhez egy vagy több ágens pozitív értéket rendel. Így a torta minden része osztható.

Ezenkívül bizonyos esetekben a kiértékelési függvények szigma-additívnak tekinthetők .

Példa egy tortára

Illusztrációként a következő tortát használjuk:

A torta két részből áll - csokoládéból és vaníliából.
Két résztvevő van - Alice és George.
Alice a csokoládé adagot 9 egységre, a vaníliás adagot 1 egységre értékeli.
George a csokoládéadagot 6 egységre, a vaníliás adagot 4-re értékeli.

Igazságossági igények

Az igazságosság eredeti és legáltalánosabb kritériuma az arányosság (PR, angol arányosság , PR). A torta arányos felosztásánál minden résztvevő kap egy darabot, melynek értékét legalább a teljes torta összértékére becsüli. A fenti példában az arányos felosztást úgy kaphatjuk meg, hogy a teljes vanília adagot és a csokoládéadag 4/9-ét George-nak adjuk (összesen 6,66 ponttal), a csokoládéadag maradék 5/9-ét pedig Alice (5-ös összpontszámmal). Szimbolikusan: $1/n$

\forall {i}:\ V_{i}(X_{i})\geqslant 1/n

Az arányosság kritériuma általánosítható olyan helyzetekre, amikor az emberek jogai nem egyenlőek. Például egy torta különböző részesedésű arányos felosztásakor a torta a részvényeseket illeti meg, így egyikük 20%-a, másikuk 80%-a a tortából. Ez a súlyozott arányosság kritériumához vezet :

\forall i:V_{i}(X_{i})\geqslant w_{i}

ahol w i olyan súlyok, amelyek összege 1.

Egy másik jellemző kritérium az irigység hiánya (OZ, angol envy-freeness , EF). Irigy felosztással [5] minden ember kap egy darabot, amelynek értéke e személy szerint nem kisebb, mint a többi darab értéke. Hivatalos nyelv:

\forall i,j:\ V_{i}(X_{i})\geqslant V_{i}(X_{j})

Egyes esetekben az arányosság és az irigységtől való mentesség között implikációs (következmény) kapcsolat van, amelyet a következő táblázat tükröz:

Ügynökök	Értékelések	az OZ-tól követi a PR-t?	PR-ból OZ követi?
2	adalékanyag	Igen	Igen
2	Tábornok	Nem	Igen
3+	adalékanyag	Igen	Nem
3+	Tábornok	Nem	Nem

A harmadik, kevésbé használt kritérium a pártatlanság ( angolul equitability , EQ). Az elfogulatlan felosztásban minden ember pontosan azonos értékelési értékű darabot eszik meg. A torta példájában elfogulatlan vágás érhető el, ha minden résztvevőnek odaadjuk a csokoládé felét és a vaníliadarabok felét, így minden résztvevő 5-ös értéket élvez. Szimbolikusan:

\forall i,j:\ V_{i}(X_{i})=V_{j}(X_{j})

A negyedik kritérium a pontosság . Ha az egyes i partnerek részesedése egyenlő w i -vel , akkor pontos osztás az az osztás, amelyben:

\forall {i,j}:\ V_{i}(X_{j})=w_{j}

Ha minden súly egyenlő (1/ n ), akkor a vágást tökéletesnek nevezzük és

\forall i,j:\ V_{i}(X_{j})=1/n

Geometriai követelmények

Egyes esetekben a résztvevőknek szánt daraboknak a méltányosság mellett bizonyos geometriai megkötéseknek is meg kell felelniük.

A leggyakoribb korlátozás a csatlakoztathatóság . Egydimenziós torta esetén ez a követelmény azt jelenti, hogy a darabok intervallumok legyenek. Abban az esetben, ha a torta egydimenziós kör („pite”), ez azt jelenti, hogy minden darabnak ívnek kell lennie. Lásd a " A pite tisztességes vágásának problémája " című cikket .
Egy másik korlátozás a szomszédság . Ez a korlátozás arra az esetre vonatkozik, amikor a "torta" egy vitatott terület, amelyet fel kell osztani a határos országok között. Ebben az esetben megkövetelhető, hogy az országnak adott darabok az ország mindenkori területével határosak legyenek. Ezt a kényszert a Hill-Beck földosztási probléma kezeli .
A föld felosztása során gyakran vannak kétdimenziós kényszerek, például minden darab négyzet vagy (általánosabb) kövér tárgy [6] [7] .

További követelmények

A joggyakorlatban gyakran figyelembe veszik a particionálás költséghatékonyságát. Lásd a " Hatékony tortavágás " című cikket.

A véges vágások kívánatos tulajdonságai mellett az osztási folyamatnak is vannak kívánatos tulajdonságai. Az egyik ilyen tulajdonság az igazságosság (más néven ingerkompatibilitás ), amely kétszintű lehet.

A gyenge igazmondás azt jelenti, hogy ha egy partner felfedi valódi értékét az algoritmus előtt, akkor garantáltan méltányos részesedést kap (például arányos felosztás esetén a teljes torta értékeit), függetlenül attól, hogy a többi partner mit csinál. . Még ha az összes többi partner koalíciót köt is, hogy maximális kárt okozzon neki, akkor is megkapja garantált részét. A legtöbb tortavágási algoritmus igaz ebben az értelemben [1] . $1/n$
Az erős igazmondás azt jelenti, hogy egyik partner sem szerezhet előnyt a hazugsággal. Vagyis az őszinte viselkedés a domináns stratégia . A legtöbb tortavágási protokoll nem szigorúan igaz. Egy szigorúan igaz osztási protokoll felépítése nehéz feladat [8] .

Eredmények

2 fő – arányos és irigységmentes felosztás

Emberek esetében az OD-felosztás mindig létezik, és az oszd meg és válassz protokoll segítségével található meg . Ha az értékelési függvények additívak, akkor ez a vágás is PR lesz, különben az arányosság nem garantált. $n=2$

Arányos osztás

Az összeadódó pontszámú n embernél mindig van arányos vágás. Leggyakrabban használt protokollok:

Last-Minimum Procedure , egy protokoll, amely biztosítja a darabok összekapcsolását (azaz egyetlen résztvevő sem kap két vagy több különálló darabot). Különösen, ha a torta egydimenziós intervallum, minden résztvevő kap egy intervallumot. A protokoll diszkrét és körökben is végrehajtható. Ez cselekvést igényel. $n$ $O(n^{2})$
A Dubins-Spenier Moving Knife eljárás a Last Decreasing protokoll [9] időfolyamatos változata .
A Fink protokoll (más néven egymást követő párok vagy egyválasztó ) egy diszkrét protokoll, amellyel online lehet vágni – ha ismert a partnerek arányos vágása, új partner belépésekor a protokoll módosítja a meglévő vágást úgy, hogy a bejövő résztvevő és a megosztásban már résztvevők kapnak . A protokoll hátránya, hogy minden partner nagyszámú egyedi darabot kap. $n-1$ $1/n$
Az Even-Paz protokoll , amely egy torta és egy ágenscsoport folyamatos felezésén alapul, és mindenintézkedést megkövetel. Ez a lehető leggyorsabb determinisztikus protokoll az arányos osztáshoz, és a lehető leggyorsabb arányos osztás protokoll, amely garantálja, hogy minden darab össze van kötve. $O(n\log n)$
Az Edmonds-Prus protokoll egy véletlenszerű protokoll, amely minden műveletet megkövetel, de csak részben garantálja az arányos vágást (minden résztvevő kap legalább , ahol néhány állandó), és minden résztvevőnek egy-egy morzsakészletet adhat koherens darab helyett. $Tovább)$ $1/an$ $a$
A Beck földfelosztási jegyzőkönyv a vitatott terület arányos felosztását adhatja több szomszédos ország között. Ebben az esetben minden ország kap egy részesedést, amely egyszerre kapcsolódik és határos az ország jelenlegi területével.
Woodall szuperarányos osztási protokollja olyan felosztást eredményez, amelyben minden résztvevő szigorúan többet kap, mint , mivel legalább két résztvevőnek eltérő véleménye van legalább egy darab értékéről. $1/n$

A részletekért és a teljes bibliográfiáért lásd a " Egy torta arányos felosztása különböző arányokkal

A fenti algoritmusok főként azokra az ágensekre koncentrálnak, akiknek az erőforrásigénye egyenlő arányban van. Azonban általánosíthatja őket, és megkaphatja a torta arányos felosztását különböző megosztásokkal .

Irigy megosztás

Egy személy PO-megosztása akkor is létezik, ha az értékelések nem összeadódnak, mindaddig, amíg azokat konzisztens preferenciakészletek képviselik. Külön tanulmányoztam az OD felosztást arra az esetre, amikor a darabokat össze kell kötni, illetve arra az esetre, amikor a darabok külön szétkapcsolt részekből állhatnak. $n$

Összekötött daraboknál a fő eredmények a következők:

A Stromquist "Moving Knife" eljárása irigységmentes felosztást hoz létre 3 főre úgy, hogy mindegyikükhöz rendel egy kést, és megkéri őket, hogy az előírt eljárás szerint folyamatosan mozgassák késeiket a tortán.
A Simmons Protokoll tetszőleges pontossággal irigységmentes szeletelési közelítést tud adni az emberek számára. Ha az értékelési függvények additívak, akkor az osztás is arányos lesz. Ellenkező esetben a felosztás mentes marad az irigységtől, de nem feltétlenül arányos. Az algoritmus gyors és praktikus módot biztosít néhány igazságos osztási probléma megoldására [10] [11] . $n$

Mindkét algoritmus végtelen: az első folyamatos, míg a második végtelen időbe telhet, amíg konvergál. Valójában egyetlen véges protokoll sem találja meg az irigységmentes vágásokat 3 vagy több ember összekapcsolt intervallumaira.

Az (esetleg) leválasztott darabok esetében a fő eredmények a következők:

A diszkrét Selfridge-Conway eljárás irigységmentes vágást eredményez három résztvevő számára, legfeljebb 5 vágásban.
A Brahms-Taylor-Zwicker „Moving Knife” eljárás négy résztvevőnél irigységmentes vágást eredményez, legfeljebb 11 vágásban.
Az " Utolsó reduktor " protokoll egy változata újrafelhasználással additív közelítést talál az irigység nélküli vágáshoz korlátozott időn belül. Pontosabban, bármely konstans esetén a protokoll olyan szeletelést ad, amelyben az egyes tagok értéke legalább nagyobb, mint a legnagyobb érték mínusz idővel . $\epsilon >0$ $\epsilon$ $O(n^{2}/\epsilon )$
Három különböző eljárás, az egyik Brahms és Taylor (1995) , a másik Robertson és Webb (1998) , és egy másik, a Pikurko eljárás (2000) irigységmentes vágást biztosít az emberek számára. Mindkét algoritmus véges, de korlátlan számú vágást igényel. $n$
Aziz és McKenzie (2016) eljárása irigységmentes megoldást talál az emberek számára korlátozott számú lekérdezés esetén. $n$

A negatív eredmény általános esetben sokkal gyengébb, mint az összekapcsoltság esetében. Csak annyit tudunk, hogy minden irigységmentes szeletelő algoritmusnak legalább lekérdezéseket kell használnia. Ez az eredmény és az ismert eljárások számítási bonyolultsága között nagy a szakadék. $\Omega (n^{2})$

A részletekért és a teljes bibliográfiáért lásd az irigységmentes tortavágást [ 5 ] .

Hatékony felosztás

Ha a kiértékelő függvények additívak, akkor van egy segédprogram ( Utilitarian-maximal , UM) . Intuitív módon egy RP vágás létrehozásához minden résztvevőnek adnunk kell egy szelet tortát, amelynek értéke a számára maximális. Az RP torta példájában a vágás az összes csokoládét Alice-nek, a vaníliát pedig George-nak adja, ami hasznosságot eredményez . $9+4=13$

Ez a folyamat könnyen megvalósítható, ha az értékelési függvények darabonként állandóak, vagyis a torta darabokra osztható úgy, hogy az egyes darabokon az ársűrűség minden résztvevő számára állandó legyen. Ha a becslőfüggvények nem darabonként állandók, az RP-vágások létezése ennek az eljárásnak a becslési függvényekre vonatkozó általánosításán alapul, a Radon-Nikodim tétel segítségével, lásd Dubins és Spanier [9] 2. tételét .

Ha a torta egydimenziós, és a darabokat össze kell kötni (azaz folytonos szegmenseket), akkor az egyszerű algoritmus, amellyel a darabot a legjelentősebb szerhez rendeli, nem működik. Ebben az esetben a vágás RP-jének megtalálása NP-nehéz, ráadásul FPTAS séma nem lehetséges, hacsak nem P = NP. Létezik egy 8-szoros közelítő algoritmus és egy paraméterezett komplexitási algoritmus , amely exponenciális a játékosok számában [12] .

Bármely pozitív súlykészlethez hasonló módszerekkel megtalálhatja a súlyozott RP partíciót. Ezért Pareto hatékony ( PE) partíciók mindig léteznek .

Eljárási igazságszolgáltatás

Az utóbbi időben nemcsak a végső felosztás tisztességessége iránt volt érdeklődés, hanem a felosztási eljárás tisztessége iránt is - az eljárásban nem szabad különbséget tenni a különböző szerepek között. Néhány eljárási méltányosságot tanulmányoztak:

Az anonimitás megköveteli, hogy az ágensek permutációja és az eljárás megismétlése esetén minden ügynök pontosan ugyanazt a darabot kapja, mint az eredeti felosztásban. Ez szigorú feltétel. Jelenleg az anonim eljárást csak 2 ügynök ismeri.
A szimmetria megköveteli, hogy abban az esetben, ha az ágensek permutáltak, és az eljárást megismételjük a permutált ágensekre, minden ágens ugyanazt az értéket kapja , mint az eredeti felosztásban. Ez gyengébb feltétel, mint az anonimitás. Jelenleg tetszőleges számú ügynökre ismertek szimmetrikus és arányos eljárások, amelyek lekérdezést igényelnek. A szimmetrikus és irigységmentes eljárás tetszőleges számú ügynökre ismert, de sokkal hosszabb végrehajtási időt igényel - a meglévő irigységmentes eljárás végrehajtását igényli. $O(n^{3})$ $n!$
Az arisztotelianitás megköveteli, hogy ha két ágensnek azonos a szignifikancia mértéke, akkor ugyanazt az értéket kapják. Ez gyengébb, mint a szimmetria, és minden irigységmentes eljárással kielégíthető. Ezenkívül az arisztotelészi és arányos eljárások tetszőleges számú ágensre ismertek, és lekérdezést igényelnek. $O(n^{3})$

Részletekért és linkekért lásd a " Szimmetrikus tisztességes tortavágás " című cikket .

Hatékony tisztességes felosztás

Az additív értékű függvényekkel rendelkező n embernél mindig létezik EPOS felosztás [13] .

Ha a torta egydimenziós intervallum , és minden résztvevőnek összefüggő intervallumot kell kapnia, akkor a következő általános eredmény érvényesül: ha az értékelési függvények szigorúan monotonok (minden résztvevő egy darabot preferál, nem pedig a saját részhalmazait), akkor bármely OZ részleg egyben EP is lesz [14] . Ezért a Simons-protokoll ebben az esetben EPOS felosztást ad.

Ha a torta egydimenziós kör (például egy intervallum, amelyben két végpont topológiailag azonosítva van), és minden lapnak össze kell kapcsolnia az ívet, akkor az előző eredmény nem helyes - az OD felosztás nem feltétlenül EP lesz. Ezenkívül vannak olyan (nem additív) becslő függvénypárok, amelyekhez nincs EPOS megosztás. Ha azonban 2 ágens van, és legalább az egyiknek additív kiértékelő funkciója van, akkor létezik az EPOS felosztás [15] .

Ha a torta egydimenziós, de bárki kaphat belőle egy nem folytonos részhalmazt, akkor az OD felosztás nem feltétlenül EP lesz. Ebben az esetben bonyolultabb algoritmusokra van szükség az osztás EPOS-jának megtalálásához.

Ha a kiértékelő függvények additívak és darabonként állandóak, akkor létezik egy algoritmus, amely megtalálja az EPOS felosztást [16] . Ha a becslő sűrűségfüggvényei additív és Lipschitz-folytonosak , akkor darabonkénti konstans függvényekkel közelíthetők „olyan közel, amennyire csak akarjuk”, tehát ez az algoritmus az EPOS felosztást „olyan közel, amennyire csak akarjuk” közelíti [16] .

Az OD felosztás nem feltétlenül az RP [17] [18] . Ennek a nehézségnek az egyik megoldása az, hogy megkeressük a maximális hasznosságértékű felosztást az összes lehetséges OC között. Ezt a problémát egy tortára vizsgáltuk, ami egy egydimenziós intervallum, amelyből mindenki kaphat nem folytonos részeket, és az értékelési függvények additívak [19] .

Nem additív eljárások

A fent vázolt létező méltányos megosztási eljárások többsége additív hasznosságot feltételez a játékosok számára. Más szóval, ha egy játékos 25 g csokitortából némi haszonra tesz szert, akkor azt feltételezzük, hogy pontosan dupláját kapja 50 g ugyanabból a csokitortából.

2013-ban Rishi S. Mirchandani kimutatta, hogy a legtöbb létező tisztességes osztási algoritmus nem kompatibilis a nem additív hasznossági függvényekkel [20] . Azt is bebizonyította, hogy a méltányos felosztás probléma speciális esete, amelyben a játékosok nem additív hasznossági függvényekkel rendelkeznek, nem lehetnek arányos megoldások.

Mirchandani azt javasolta, hogy a tisztességes osztás problémáját meg lehetne oldani nemlineáris optimalizálási technikákkal. A kérdés azonban továbbra is fennáll, hogy vannak-e jobb algoritmusok a nem additív hasznossági függvények bizonyos részhalmazaihoz.

Lásd még

Hasonló probléma az objektumok igazságos elosztásának problémája, ahol a felosztás tárgyai oszthatatlanok.

Jegyzetek

↑ 1 2 Steinhaus, 1948 , p. 101–4.
↑ Procaccia, 2016 .
↑ Az emberi jogokról itt nem esik szó, a feladat az, hogy úgy osszuk el a tortát, hogy mindenki méltányos részt kapjon.
↑ Hill, Morrison, 2010 , p. 281.
↑ 1 2 Gyakran fordítják "division without envy" (angol nyelvű pauszpapír), bár ebben a felosztásban az irigység jelenléte játssza a főszerepet.
↑ Vagyis úgy, hogy hossza és szélessége közel legyen.
↑ Segal-Halevi, Nitzan, Hassidim, Aumann, 2017 , p. 1–28.
↑ Chen, Lai, Parkes, Procaccia, 2013 , p. 284–297.
↑ 1 2 Dubins, Spanier, 1961 , p. 1–17.
↑ A Fair Division Calculator (lefelé) . Letöltve: 2019. október 12. Az eredetiből archiválva : 2010. február 28.. (határozatlan)
↑ Ivars Peterson. Tisztességes ajánlat a háziaknak . MathTrek (2000. március 13.). Letöltve: 2019. október 12. Az eredetiből archiválva : 2012. szeptember 20. (határozatlan)
↑ Aumann, Dombb, Hassidim, 2013 .
↑ Weller, 1985 , p. 5–17.
↑ Berliant, Thomson, Dunz, 1992 , p. 201.
↑ Thomson, 2006 , p. 501–521.
↑ 1 2 Reijnierse, Potters, 1998 , p. 291–311.
↑ Caragiannis, Kaklamanis, Kanellopoulos, Kyropoulou, 2011 , p. 589.
↑ Aumann, Dombb, 2010 , p. 26.
↑ Cohler, Lai, Parkes, Procaccia, 2011 .
↑ Mirchandani, 2013 , p. 78–91.

Irodalom

Ariel Procaccia. 13. fejezet: Tortavágási algoritmusok // A számítástechnikai társadalmi választás kézikönyve / Felix Brandt, Vincent Conitzer, Ulle Endriss, Jérôme Lang, Ariel D. Procaccia. - Cambridge University Press, 2016. - ISBN 9781107060432 .
Hugo Steinhaus. Az igazságos felosztás problémája // Econometrica. - 1948. - T. 16 , sz. 1 . — .
Hill TP, Morrison KE Cutting Cakes Carefully // The College Mathematics Journal. - 2010. - T. 41 , sz. 4 . doi : 10.4169 / 074683410x510272 .
Erel Segal-Halevi, Shmuel Nitzan, Avinatan Hassidim, Yonatan Aumann. Fair and square: Tortavágás két dimenzióban // Journal of Mathematical Economics. - 2017. - T. 70 . - doi : 10.1016/j.jmateco.2017.01.007 . - arXiv : 1409.4511 .
Yiling Chen, John K. Lai, David C. Parkes, Ariel D. Procaccia. Igazság, igazságosság és tortavágás // Játékok és gazdasági viselkedés. - 2013. - T. 77 , sz. 1 . - doi : 10.1016/j.geb.2012.10.009 .
Lester Dubins. Hogyan vágjunk tisztességesen egy tortát // Az amerikai matematikai havilap. - 1961. - T. 68 , sz. 1 . - doi : 10.2307/2311357 . — .
Yonatan Aumann, Yair Dombb, Avinatan Hassidim. Társadalmilag hatékony tortaosztályok számítása . — 2013.
Weller D. Egy mérhető tér méltányos felosztása // Journal of Mathematical Economics. - 1985. - T. 14 . - doi : 10.1016/0304-4068(85)90023-0 .
Berliant M., Thomson W., Dunz K. Egy heterogén áru tisztességes felosztásáról // Journal of Mathematical Economics. - 1992. - T. 21 , sz. 3 . - doi : 10.1016/0304-4068(92)90001-n .
Thomson W. Síró gyerekek a születésnapi bulikon. Miért? // Gazdaságelmélet. - 2006. - T. 31 , sz. 3 . - doi : 10.1007/s00199-006-0109-3 .
Reijnierse JH, Potters JAM Egy irigységmentes Pareto-optimális felosztás megtalálásáról // Matematikai programozás. - 1998. - T. 83 , sz. 1–3 . - doi : 10.1007/bf02680564 .
Caragiannis I., Kaklamanis C., Kanellopoulos P., Kyropoulou M. The Efficiency of Fair Division // Számítástechnikai rendszerek elmélete. - 2011. - T. 50 , sz. 4 . - doi : 10.1007/s00224-011-9359-y .
Aumann Y., Dombb Y. A tisztességes felosztás hatékonysága összekapcsolt darabokkal // Internet és hálózati gazdaságtan . - 2010. - T. 6484. - (Számítástechnikai előadásjegyzetek). — ISBN 978-3-642-17571-8 . - doi : 10.1007/978-3-642-17572-5_3 . A letöltéshez regisztráció szükséges
Yuga Julian Cohler, John Kwang Lai, David C. Parkes, Ariel Procaccia. Optimális irigységmentes tortavágás, konferencia AAAI . – 2011.
Rishi Mirchandani. Szuperadditivitás és szubadditivitás a tisztességes felosztásban // Journal of Mathematics Research. - 2013. - augusztus ( 5. köt. 3. szám ). doi : 10.5539 / jmr.v5n3p78 .