Lebegőpontos szám
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzésekhez 10 szerkesztés szükséges .A lebegőpontos szám (vagy lebegőpontos szám ) a valós (valós) számok exponenciális ábrázolásának formája , amelyben a szám mantisszaként és kitevőként ( exponens ) van tárolva. Ebben az esetben a lebegőpontos számnak fix relatív pontossága és változó abszolút pontossága van. A leggyakrabban használt ábrázolást az IEEE 754 szabvány határozza meg . A lebegőpontos számokkal végzett matematikai műveletek megvalósítása számítástechnikai rendszerekben lehet hardveres és szoftveres is.
"Lebegőpontos" és "lebegőpontos"
Mivel egyes, túlnyomórészt angol és angol nyelvű országokban a számok írásakor az egész részt elválasztják a törtponttól, ezeknek az országoknak a terminológiájában megjelenik a „lebegőpont” kifejezés . Mivel Oroszországban a szám egész részét hagyományosan vessző választja el a tört résztől, a „lebegőpont” kifejezést történelmileg ugyanarra a fogalomra használják, azonban jelenleg mindkét lehetőség megtalálható az orosz nyelvben. szakirodalmat és műszaki dokumentációt.
A név eredete
A „lebegőpont” elnevezés onnan ered, hogy a számok helyzeti ábrázolásában szereplő vessző (tizedesvessző, számítógépeknél bináris vessző – a továbbiakban egyszerűen vessző) a karakterlánc számjegyeihez képest bárhol elhelyezhető. Ez a vesszőhely külön van megadva a belső ábrázolásban. Így egy szám lebegőpontos formában történő ábrázolása a számok exponenciális jelölésének számítógépes megvalósításaként fogható fel .
A számok lebegőpontos ábrázolásának előnye a fixpontos (és egész számok ) ábrázolással szemben, hogy sokkal nagyobb értéktartomány használható, miközben ugyanaz a relatív pontosság . Például fixpontos formában egy 6 egész számjegyből és 2 tizedesjegyből álló szám 123 456,78 -ként ábrázolható . Viszont a lebegőpontos formátumban ugyanabban a 8 számjegyben írhatja be a számokat 1,2345678 ; 1,234,567,8 ; 0,000012345678 ; 12 345 678 000 000 000 és így tovább, de ehhez szükség van egy további kétjegyű mezőre a 10-es bázis kitevőinek 0-tól 16-ig történő rögzítéséhez, miközben a számjegyek teljes száma 8 + 2 = 10 .
Azt a sebességet, amellyel a számítógép lebegőpontos formában ábrázolt számokkal műveleteket hajt végre, FLOPS -ban mérik (az angol lebegőpontos műveletek másodpercenként - „[szám] lebegőpontos műveletek másodpercenkénti száma”), és ez az egyik fő számítási rendszerek sebességének mérésére szolgáló egységek .
Számszerkezet
A lebegőpontos szám a következő részekből áll:
- a mantissza jele (jelzi, hogy a szám negatív vagy pozitív),
- mantissza (egy szám értékét a sorrendtől függetlenül fejezi ki ),
- parancsjel,
- sorrend (az a szám alapjának mértékét fejezi ki, amellyel a mantisszát szorozzák).
Normál és normalizált formák
A lebegőpontos szám normálalakja olyan alak, amelyben a mantissza (az előjel figyelembe vétele nélkül) a félintervallumon van, azaz .
Ennek a jelölési formának van egy hátránya: egyes számokat félreérthetően írnak fel (például a 0,0001 felírható így : 0,000001⋅10 2 , 0,00001⋅10 1 , 0,0001⋅10 0 , 0,001⋅10 -1011 , 0,001⋅10 . on), ezért egy másik jelölési forma is elterjedt (különösen az informatikában) - normalizált , amelyben egy decimális szám mantisszája 1-től (beleértve) 10-ig (kizárólag) értéket vesz fel, azaz (hasonlóan a egy bináris szám mantisszája 1 és 2 közötti értékeket vesz fel). Ebben a formában bármely szám (kivéve ) egyedi módon van írva. Hátránya, hogy a 0-t ebben a formában lehetetlen ábrázolni, így a számítástechnikában a számok ábrázolása speciális előjelet ( bit ) ad a 0 számhoz.
Egy bináris szám mantisszának (a 0 kivételével) normalizált formában a legmagasabb bitje (a szám egész része) egyenlő 1-gyel (az ún. implicit egység ), ezért ha egy szám mantisszáját egy számítógépen a magas bit elhagyható, amelyet az IEEE 754 szabvány használ . A 2-nél nagyobb bázisú helyzetszámrendszerekben ( terner , negyedleges stb. esetén) ez a tulajdonság nem létezik.
Rögzítési módok
Korlátozott tervezési lehetőségekkel (például szám megjelenítése egy hétszegmenses jelzőn ), és szükség esetén gyors és kényelmes számbevitelt biztosít az m b e forma írása helyett ( m a mantissza; b a bázis , leggyakrabban 10; e a kitevő), csak a mantisszát és a kitevőt írja be, és válassza el őket "E" betűvel (az angol kitevőből ). Ebben az esetben a bázist implicit módon 10-nek tételezzük fel. Például az 1,528535047⋅10 −25 számot ebben az esetben 1,528535047E-25-ként írjuk fel.
Áttekintés
Számos módja van annak, hogy a számjegysorozatok számokat ábrázoljanak:
- A legáltalánosabb módja annak, hogy egy szám értékét egy számsorból egész számként ábrázoljuk – az alapértelmezett gyökpont a karakterlánc végén található.
- Az általános matematikai ábrázolásban egy számsor tetszőlegesen hosszú lehet, és a vessző helyzetét egy vessző (vagy pont) kifejezett beírása jelzi a megfelelő helyre.
- A fixpontos rendszerekben van egy bizonyos feltétel a vessző helyzetére vonatkozóan. Például egy 8 számjegyű karakterláncban a feltétel megkövetelheti, hogy vesszőt tegyen a bejegyzés közepére (a 4. és 5. számjegy közé). Így a "00012345" karakterlánc az 1,2345 számot jelenti (a bal oldali nullákat mindig el lehet hagyni).
- Az exponenciális jelölés a számok szabványos ( normalizált ) ábrázolását használja. Egy számot szabványos (normalizált) formában írtnak tekintünk, ha a mantisszának nevezett alakban van írva, így , egész szám, kitevőnek nevezzük, és egész szám, a számrendszer alapja. (írásban általában 10). Vagyis a mantisszában az első jelentős (nullal nem egyenlő) számjegy után közvetlenül vessző kerül, balról jobbra számolva, és a további rögzítés a szám tényleges értékéről ad információt. Például a Jupiter Io holdjának keringési periódusa (pályán) , amely 152 853,5047 s , szabványos formában felírható: 1,528535047⋅10 5 s . A mantissza értékek korlátozásának mellékhatása, hogy lehetetlen a 0-t ábrázolni egy ilyen jelölésben.
- A lebegőpontos jelölés hasonló a szabványos jelöléshez, de a mantisszát és a kitevőt külön kell írni. A mantisszát normalizált formátumban írják - az első jelentős számjegy után egy fix ponttal. Visszatérve az Io példához, a lebegőpontos jelölés mantisszája 1,528535047, kitevője pedig 5. Ez azt jelenti, hogy a szóban forgó szám 10 5 -szöröse az 1,528535047 számnak, tehát a tizedesvesszőt 5-tel eltoljuk, hogy megkapjuk az implikált számjegyeket. jobbra. A lebegőpontos jelölést azonban elsősorban a számok elektronikus ábrázolására használják, amely a 2-es alapot használ 10 helyett. A bináris jelöléseknél a mantisszát általában denormalizálják, ami azt jelenti, hogy a vessző az első számjegy előtt szerepel, nem utána. Az egész rész egyáltalán nem értendő - így lehetővé válik a 0 érték természetes módon történő megőrzése. Így a bináris lebegőpontos ábrázolásban a decimális 9 mantisszaként +1001000…0 és kitevőként +0…0100 lesz írva. Innen van például gond a számok bináris ábrázolásával, mint egy tized (0,1), amelyre a mantissza bináris reprezentációja periodikus bináris törtnek bizonyul - az 1/3 analógiájára, ami nem írható be. véges számú számjegy a decimális számrendszerben.
Egy szám lebegőpontos formában történő írása lehetővé teszi számok széles skáláján történő számítások elvégzését, fix számú számjegy és pontosság kombinálásával. Például a lebegőpontos számok (3 számjegyű) decimális ábrázolásánál a szorzási művelet, amit úgy írnánk
0,12 × 0,12 = 0,0144normál formában mint
(1,20⋅10 −1 ) × (1,20⋅10 −1 ) = (1,44⋅10 −2 ).Fixpontos formátumban kényszerített kerekítést kapnánk
0,120 × 0,120 = 0,014.Elveszítettük a szám jobb szélső számjegyét, mivel ez a formátum nem engedi, hogy a vessző „lebegjen” a számbevitel mellett.
Lebegőpontos formátumban ábrázolható számok tartománya
Az így felírható számok tartománya a mantisszát és a kitevőt ábrázoló bitek számától függ. Egy tipikus 32 bites, dupla pontosságot (64 bitet) használó számítógépen a mantissza 1 bit előjel + 52 bit, a kitevő 1 bit előjel + 10 bit. Így körülbelül 4,94⋅10 -324 és 1,79⋅10 308 közötti pontossági tartományt kapunk (2 -52 × 2 -1022 és ~1 × 2 1024 között ). (vagy 3,7⋅10 -1126 és 9,99⋅10 1091 között ). Az IEEE 754 szabványban több ilyen típusú érték van fenntartva, hogy speciális értékeket lehessen megjeleníteni. Ide tartoznak a NaN (Not a Number) és a +/-INF (Infinity ) értékek , amelyek a nullával való osztásból vagy a numerikus tartomány túllépéséből adódnak. Ide tartoznak a denormalizált számok is, amelyek mantisszája kisebb, mint egy. A speciális eszközök (például a GPU -k ) gyakran nem támogatják a speciális számokat. Vannak olyan szoftvercsomagok, amelyekben a mantissza és a kitevő számára lefoglalt memória mennyisége programozottan van beállítva, és csak a rendelkezésre álló számítógépmemória mennyisége korlátozza (lásd: Tetszőleges precíziós aritmetika ).
| Pontosság | Egyetlen | Kettős | Kiterjedt |
|---|---|---|---|
| Méret (bájt) | négy | nyolc | tíz |
| Tizedesjegyek száma | ~7.2 | ~15.9 | ~19.2 |
| Legkisebb érték (>0), denorm | 1,4⋅10 −45 | 4,9⋅10 −324 | 3,7⋅10 −1126 |
| Legalacsonyabb érték (>0), normál | 1,2⋅10 −38 | 2,3⋅10 −308 | 1⋅10 −1091 |
| Legmagasabb érték | 3,4×10 +38 | 1,7×10 +308 | 9,9×10 +1091 |
| mezőket | SEF | SEF | SEIF |
| Margóméretek | 1-8-23 | 1-11-52 | 1-15-1-63 |
- S - előjel, E - kitevő, I - egész rész, F - tört rész
- Az egész számokhoz hasonlóan az előjelbit a legjelentősebb bit.
Machine epsilon
A fixpontos számokkal ellentétben a lebegőpontos aritmetika által megjeleníthető számrács nem egységes: sűrűbb a kis kitevővel rendelkező számok, és ritkább a nagy kitevőkkel rendelkező számok esetében. De a számírás relatív hibája kicsi és nagy számok esetén ugyanaz. A gépi epszilon a legkisebb ε pozitív szám, amelyre (az előjel a gépi összeadást jelöli). Durván szólva, az a és b számok úgy korreláltak, hogy a gép nem tesz különbséget.
Egyszeri pontosság esetén, azaz körülbelül 7 jelentős számjegyből áll . Dupla pontosság esetén: , 15 jelentős számjegy [1] .
Lásd még
- Számítási stabilitás
- Fix pont
- Fél pontosságú szám
- Egyetlen pontosságú szám
- Dupla pontosságú szám
- Négyszeres szám
- Tizedes elválasztó
Jegyzetek
- ↑ E. Cheney, David Kincaid. Numerikus matematika és számítástechnika. — Cengage Learning, 2012. — 43– p. — ISBN 1-133-71235-5 .
Irodalom
- Krinitsky N. A., Mironov G. A., Frolov G. D. Programozás. - M. : Állami Fizikai és Matematikai Irodalmi Kiadó, 1963. - 384 p.
- Henry S. Warren, Jr. 15. fejezet Lebegőpontos számok // Algoritmikus trükkök programozóknak = Hacker's Delight. - M .: Williams , 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4 .
Linkek
| Adattípusok | |
|---|---|
| Értelmezhetetlen | |
| Numerikus | |
| Szöveg | |
| Referencia | |
| Összetett | |
| absztrakt | |
| Egyéb | |
| Kapcsolódó témák | |