Hasonlósági központ

Ha a körök sugara azonos (de különböző középpontokkal), akkor az affin síkban nincs külső hasonlósági középpont - az analitikus geometriában ez nullával való osztáshoz vezet, a klasszikus geometriában pedig a középpontok egyenesek és párhuzamosak (mindkettő metszővonalak és érintők), ezért nem metszik egymást. A külső hasonlóság középpontja a projektív síkban az egyenesek metszéspontjának megfelelő végtelen pontként határozható meg .

Ha a körök középpontja azonos, de sugara eltérő, akkor a külső és a belső hasonlóság középpontja egybeesik a körök közös középpontjával. Ez látható az analitikai képletből, és két hasonlósági középpont határaként is, amikor a középpontok egymás felé mozognak, miközben a sugarakat a középpontok egybeeséséig megtartják.

Ha az egyik sugár egyenlő nullával, a másik pedig nem nulla (pont és kör), akkor a hasonlóság külső és belső középpontja is egybeesik a ponttal (nulla sugarú kör középpontjával).

Ha két kör azonos (azonos középpontjuk és sugaruk van), akkor a belső hasonlósági középpont a közös középpontjuk, de nincs jól meghatározott külső középpont. A határértékben, amikor két egyenlő sugarú kör mozog egymás felé, amíg a középpontok egybe nem esnek, a külső hasonlóság középpontja a végtelenben van, ezért bárhol lehet, ezért az ilyen köröknek nincs külső hasonlósági középpontja.

Ha mindkét sugár nulla (két pont), de a pontok különbözőek, akkor a külső hasonlóság középpontja a középpontok egyenesén átmenő egyenesnek megfelelő végtelenben lévő pontként határozható meg, de ebben az esetben nincs belső középpont.

Homológ és antihomológ pontok

Általános esetben a hasonlóság középpontjából kiinduló sugár az egyes köröket két helyen metszi. Ebből a négy pontból kettő homológ , ha a belőlük húzott sugarak azonos szöget zárnak be a középpontok egyenesével, azaz. A 3. ábra A 1 és A 2 pontjai . Azokat a pontokat, amelyek a hasonlóság középpontjával egy egyenesen vannak, de nem homológok , antihomológnak nevezzük [1] , mint például a 4. ábra Q és P′ pontja.

Körön fekvő antihomológ pontpárok

Ha két, ugyanabból a hasonlósági középpontból származó sugár metszi a köröket, akkor a körön antihomológ pontok tetszőleges halmaza található.

Legyen adott az EQS és EQ′S′ háromszög (4. ábra).
Hasonlóak, mert közös szögük van ∠QES=∠Q′ES′ és , mivel E a hasonlóság középpontja. Ebből a hasonlóságból következik, hogy ∠ESQ=∠ES′Q′=α . A beírt szögtétel miatt ∠EP′R′=∠ES′Q′ . ∠QSR′=180°-α , mivel ez az ∠ESQ komplementer szöge . A QSR′P ′ ∠QSR′+∠QP′R′=180°-α+α=180° négyszögben, ami azt jelenti, hogy a négyszög be van írva . A szekant tételből következik, hogy EQ•EP′=ES•ER′.

Ugyanígy kimutatható, hogy a PRS′Q′ körbe írható és EP•EQ′=ER•ES′.

A bizonyítás hasonló az I belső hasonlósági középpont bizonyításához .
PIR~P′IR′ tehát ∠RPI=∠IP′R′=α . ∠RS′Q′=∠PP′R′=α (beírt szögtétel). Az RQ′ szakasz ugyanabban a szögben látható P és S′ irányból, ami azt jelenti, hogy R, P, S′ és Q′ a körön fekszik. Ekkor az IP•IQ′=IR•IS′ metsző akkordtételből . Hasonlóképpen kimutatható, hogy a QSP′R′ körbe írható és IQ•IP′=IS•IR′.

Csatlakozás radikális tengelyekkel

Két körnek radikális tengelye van , pontokból álló egyenesek, amelyeknek a ponttól az érintőpontig tartó szakaszai mindkét kör azonos hosszúságúak. Általánosabban, a gyöktengely bármely pontjának megvan az a tulajdonsága, hogy a körökhöz viszonyított foka egyenlő. A gyöktengely mindig merőleges a középpontok egyenesére, és ha két kör metszi egymást, akkor a gyöktengelyük átmegy a körök metszéspontjain. Három körhöz három gyöktengely definiálható, minden körpárhoz ( C 1 / C 2 , C 1 / C 3 és C 2 / C 3 ). A figyelemre méltó tény az, hogy ez a három gyöktengely egy pontban metszi egymást, a gyökközéppontban . A gyökközéppontból mindhárom körbe húzott érintőszegmensek azonos hosszúságúak lesznek.

Bármely két pár antihomológ pont használható egy pont megtalálására a gyöktengelyen. Vonjunk két sugarat az E hasonlóság külső középpontjából, mint a 4. ábrán. Ezek a sugarak két adott kört (a 4. ábrán zöld és kék) metszenek két antihomológ pontpárban, Q és P′ az első sugár, és S és R′ a második sugárhoz. Ez a négy pont ugyanazon a körön fekszik, amely mindkét adott kört metszi. Értelemszerűen a QS egyenes az új kör és a zöld kör gyöktengelye, míg a P′R′ egyenes az új kör és a kék kör gyöktengelye. Ez a két egyenes a G pontban metszi egymást , amely három kör – az új és a két eredeti kör – gyökközéppontja. Így a G pont is a két eredeti kör gyöktengelyén fekszik.

Érintőkörök és antihomológ pontok

Két körből álló bármely antihomológ pontpárhoz létezik egy harmadik kör, amely érinti az eredeti köröket az antihomológ pontokban.
Ennek a fordítottja is igaz – bármely kör, amely két másik kört érint, az antihomológ pontokon érinti azokat.

Legyen két körünk középpontja O 1 és O 2 (5. ábra). Legyen E a hasonlóságuk külső központja. Építünk egy tetszőleges sugarat az E pontból , amely két kört metsz a P, Q, P′ és Q′ pontokban . Hosszabbítsuk meg O 1 Q és O 2 P′ a metszéspontig (a T 1 pontban ). Könnyen kimutatható, hogy az O 1 PQ és az O 2 P′Q′ háromszögek hasonlóak. Ezek a háromszögek egyenlő szárúak, mivel O 1 P=O 1 Q ( sugár ), tehát ∠O 1 PQ=∠O 1 QP=∠O 2 P′Q′=∠O 2 Q′P′=∠T 1 QP′= ∠ T 1 P Q . De akkor T 1 P′Q is egyenlő szárú lesz, és meg lehet alkotni egy T 1 középpontú és T 1 P ′=T 1 Q sugarú kört . Ez a kör érinti a két eredeti kört a Q és P′ pontokban .

Az állítás hasonlóképpen igazolódik egy másik antihomológ pontpárra ( P és Q′ ), valamint egy belső hasonlósági centrum esetére is.

Ha minden lehetséges antihomológ pontpárhoz érintőköröket szerkesztünk, két körcsaládot kapunk - minden hasonlósági középpontra. A külső hasonlóság középpontjának körcsaládja olyan, hogy ennek a családnak a körei vagy mindkét eredeti kört tartalmazzák magukban, vagy egyiket sem (6. ábra). Másrészt a családból származó körök a belső központ számára mindig tartalmazzák az eredeti körök valamelyikét (7. ábra).

Az érintőkörök családjába tartozó összes körnek közös gyökközéppontja van, és ez egybeesik a hasonlóság középpontjával.

Ennek bemutatásához képzeljünk el két, a hasonlóság középpontjából kiinduló sugarat, amelyek metszik az adott köröket (8. ábra). Két T 1 és T 2 érintőkör van, amelyek érintik az eredeti köröket az antihomológ pontokban. Mint már bemutattuk, ezek a pontok a C körön helyezkednek el , ezért ez a két sugár a C / T 1 és C / T 2 gyöktengelye . Ezen gyöktengelyek metszéspontja szintén a T 1 / T 2 gyöktengelyen kell, hogy legyen . Ez a metszéspont az E hasonlósági középpont .

Ha két érintőkör egy hasonlósági ponton átmenő egyenesen fekvő antihomológ pontokban érintkezik, mint az 5. ábrán, akkor a hasonlóság miatt . De ekkor az E pont fokai a két érintőkörhöz képest egyenlőek, ami azt jelenti, hogy E a gyöktengelyhez tartozik.

Három kör hasonlósági középpontja

Bármely körpárnak két hasonlósági középpontja van, tehát három körnek hat hasonlósági középpontja lesz, kettő mindegyik (különböző) körpárhoz. Érdekes módon ez a hat pont négy vonalon fekszik, minden vonalon három pont. Íme egy módja annak, hogy megmutassa.

Képzeljünk el három kört a síkon (9. ábra). Adjunk hozzá a körök minden középpontjához egy olyan pontot a síkra merőlegesen, amely az eredeti középponttól a megfelelő sugárral egyenlő távolságra van. A pontokat a sík bármely oldaláról lehet hozzáadni. A kapott három pont határozza meg a síkot. Ebben a síkban három vonalat fogunk építeni minden egyes pontpáron keresztül. Ezek az egyenesek a H AB , H BC és H AC pontokban metszik a kör síkját . Mivel a két nem párhuzamos síkhoz tartozó pontok helye egy egyenes, ez a három pont ugyanazon az egyenesen lesz. A H AB AA′ és H AB BB′ háromszögek hasonlóságából azt látjuk, hogy (itt r A,B sugarak), ezért H AB a két megfelelő kör hasonlóságának középpontja. Ugyanezt megtehetjük H BC és H AC esetén is .

A folyamatot megismételve a hasonlósági középpontok különböző kombinációira (módszerünkben azokat az oldalak határozzák meg, amelyekről a síkhoz képest pontokat választunk), négy vonalat kapunk - minden vonalon három hasonlósági középpontot (10. ábra).

Van egy másik bizonyítási módszer is.

Legyen C 1 és C 2 konjugált körpár mindhárom eredeti körhöz (11. ábra). A konjugáció alatt itt azt értjük, hogy a körök ugyanabba a családba tartoznak az egyik eredeti körpár esetében. Mint már láttuk, bármely két azonos osztályba tartozó érintőkör gyöktengelye átmegy a két eredeti kör hasonlósági középpontján. Mivel az érintőkörök mindhárom eredeti körpárban közösek, hasonlóságuk középpontja a C 1 és C 2 gyöktengelyen van , azaz. egy egyenesen.

Ezt a tulajdonságot használják Joseph Diaz Gergonne Apollonius-probléma általános megoldásában . Adott három kör, megkereshetjük a kívánt körpárok hasonlósági középpontjait, majd a gyöktengelyeit. Természetesen végtelenül sok kör van azonos gyöktengelyekkel, ezért több munkára van szükség annak meghatározásához, hogy pontosan melyik körpár a megoldás.

Lásd még

• Hasonlóság
• Homotitás
• Két kör gyöktengelye , gyökközéppont
• Apollonius problémája

Jegyzetek

1. ↑ Weisstein .

Irodalom

• Johnson R.A. Fejlett euklideszi geometria: Egy elemi értekezés a háromszög és a kör geometriájáról. – New York: Dover Publications, 1960.
• Kunkel Pál. Apollonius érintési problémája: három pillantás. - 2007. - T. 22 , sz. 1 . – S. 34–46 . - doi : 10.1080/17498430601148911 .
• Eric W. Weisstein. Antihomológ pontok . MathWorld – Wolfram webes forrás. (határozatlan)