Egész rész

A matematikában a valós szám egész részét lefelé kerekítik a legközelebbi egész számra . A szám egész részét antiernek ( francia entier ) vagy floornak ( angol floor ) is nevezik . A padló mellett van egy páros funkció - a mennyezet ( angolul plafon ) - , amely a legközelebbi egész számra kerekít . $x$ $x$ $x$

Jelölések és példák

Először Gauss használt szögletes zárójelet ( ) a szám egész részének jelölésére 1808 -ban a másodfokú reciprocitás törvényének bizonyításakor [1] . Ezt a jelölést standardnak tekintették [2] egészen addig, amíg Kenneth Iverson 1962 -ben megjelent A Programming Language című könyvében azt javasolta [3] [4] [5] , hogy egy számot a legközelebbi egész számra kerekítsenek felfelé és lefelé, hogy a "floor" és a " mennyezet" és jelöli , illetve. $[x]$ $x$ $x$ $x$ $\lfloor x\rfloor$ $\lceil x\rceil$

A modern matematika mindkét jelölést alkalmazza [6] , és , de egyre inkább Iverson terminológiáját és jelölését alkalmazzák: ennek egyik oka, hogy negatív számoknál a „szám egész része” fogalma már nem egyértelmű [5] . Például a 2,7 szám egész része egyenlő 2-vel, de már két nézőpont lehetséges a −2,7 szám egész részének meghatározásában: a jelen cikkben megadott definíció szerint azonban egyes számológépekben a Az INT egész részének függvénye negatív számok esetén INT(– x ) = –INT( x ), tehát INT(–2,7) = –2. Iverson terminológiája mentes a következő hiányosságoktól: $[x]$ $\lfloor x\rfloor$ $[x]\equiv \lfloor x\rfloor =-3$

{\begin{mátrix}\lfloor 2{,}7\rfloor =2,&\lfloor -2{,}7\rfloor =-3,\\\lceil 2{,}7\rceil =3, &\lceil -2{,}7\rceil =-2.\end{mátrix}}

Definíciók

A "gender" függvény a legnagyobb egész szám , amely kisebb vagy egyenlő, mint: $\lfloor \cdot \rfloor \colon x\mapsto \lfloor x\rfloor$ $x$

\lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leqslant x\}.

A plafonfüggvény a legkisebb egész szám, amely nagyobb vagy egyenlő, mint : $\lceil \,\cdot \,\rceil \colon x\mapsto \lceil x\rceil$ $x$

\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geqslant x\}.

Ezek a definíciók ekvivalensek a következő egyenlőtlenségekkel (ahol n egész szám): [7]

{\begin{matrix}\lfloor x\rfloor =n&\Longleftrightarrow &n\leqslant x<n+1&\Longleftrightarrow &x-1<n\leqslant x,\\\lceil x\rceil =n&\Longleftrightarrow &n- 1<x\leqslant n&\Longbalrightarrow &x\leqslant n<x+1.\end{mátrix}}

Tulajdonságok

Az alább írt képletekben a és betűk valós számokat , a és betűk pedig egész számokat jelölnek . $x$ $y$ $n$ $m$

Padló és mennyezet, mint egy valós változó függvényei

A padló és a mennyezet függvények valós számokat képeznek le egész számok halmazára:

\lfloor \,\cdot \,\rfloor \colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {Z}},\quad \lceil \,\cdot \,\rceil \colon {\mathbb {R}} \to {\mathbb {Z)),\quad

A padló és a mennyezet darabonként állandó funkciók .

A padló és a mennyezet függvényei nem folytonosak : minden egész pontban az első típusú folytonossági zavarokat szenvedik el, eggyel egyenlő ugrással.

Ebben az esetben a padló funkciója:

A mennyezet funkciója:

alulról félig folyamatos és
folyamatos bal .

A padló és a mennyezet funkciói közötti kapcsolat

Tetszőleges számra a következő egyenlőtlenség igaz [8] $x$

\lfloor x\rfloor \leqslant x\leqslant \lceil x\rceil

Az egész padló és a mennyezet ugyanaz: $x$

\lfloor x\rfloor =x\quad \Longleftrightarrow \quad x\in {\mathbb {Z))\quad \Longleftrightarrow \quad \lceil x\rceil =x

Ha nem egész szám, akkor a plafonfüggvény értéke eggyel több, mint a padlófüggvény értéke: $x$

\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}1,&x\notin {\mathbb {Z}}\\0,&x\in {\mathbb {Z}}\end{cases}}

A padló és a mennyezet funkciói mindkét tengelyről tükrözik egymást:

\lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil ,\quad \lceil -x\rceil =-\lfloor x\rfloor

Padló/mennyezet: egyenlőtlenségek

A valós és az egész számok közötti bármely egyenlőtlenség egyenértékű az egész számok közötti padló és mennyezet közötti egyenlőtlenséggel [7] :

{\begin{matrix}n\leqslant x&\Longleftrightarrow &n\leqslant \lfloor x\rfloor &\qquad x\leqslant n&\Longleftrightarrow &\lceil x\rceil \leqslant right n\\n<x&\row x &le \rceil &\qquad x<n&\Longbalrightarrow &\lfloor x\rfloor <n\end{mátrix}}

A két felső egyenlőtlenség a padló és a mennyezet definíciójának közvetlen következménye, a két alsó pedig a felső egyenetlensége .

A padló/mennyezet funkciók monoton növekvő funkciók:

x\leqslant y\Rightarrow \lfloor x\rfloor \leqslant \lfloor y\rfloor ,\quad x\leqslant y\Rightarrow \lceil x\rceil \leqslant \lceil y\rceil

Padló/mennyezet: kiegészítés

Az egész kifejezés bevezethető / zárójelben padló / mennyezet [9] :

\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,\quad \lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n

Az előző egyenlőségek általában nem teljesülnek, ha mindkét tag valós szám. Ebben az esetben azonban a következő egyenlőtlenségek igazak:

\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leqslant \lfloor x+y\rfloor \leqslant \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\quad \lceil x\rceil +\rceil 1\leqslant \lceil x+y\rceil \leqslant \lceil x\rceil +\lceil y\rceil

Padló/mennyezet funkciótábla alatt

A következő javaslat érvényes: [10]

Legyen egy folytonos , monoton növekvő függvény, valamilyen intervallumon definiálva , amelynek a tulajdonsága: $f(x)$

f(x)\in {\mathbb {Z}}\Jobbra x\in {\mathbb {Z}}

Akkor

\lfloor f(x)\rfloor =\lfloor f(\lfloor x\rfloor )\rfloor ,\quad \lceil f(x)\rceil =\lceil f(\lceil x\rceil )\rceil

bármikor meghatározva . $f(x),f(\lfloor x\rfloor ),f(\lceil x\rceil )$

Különösen,

\left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\left\lfloor x\right\rfloor +m}{n}}\right\rfloor , \quad \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\left\lceil x\right\rceil +m}{n}}\jobbra\ rceil

ha és egész számok, és . $m$ $n$ $n>0$

Padló/mennyezet: összegek

Ha egész számok, akkor [11] $m,n$ $m>0$

n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor { \frac {n+m-1}{m}}\jobbra\rpadló

Általában ha egy tetszőleges valós szám és pozitív egész szám, akkor $x$ $m$

\lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m))\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m- 1}{m}}\jobbra\rpadló

Van egy általánosabb összefüggés [12] :

\sum _{{0\leqslant k<m}}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =d\left\lfloor {\frac {x}{d}}\ jobb\rpadló +{\frac {(m-1)(n-1)}{2}}+{\frac {d-1}{2}},\quad d=(m,n)

Mivel ennek az egyenlőségnek a jobb oldala szimmetrikus a és -hez képest, akkor a következő kölcsönösségi törvény érvényes : $m$ $n$

\sum _{{0\leqslant k<m}}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =\sum _{{0\leqslant k<n}}\left\ lfloor {\frac {mk+x}{n}}\right\rfloor ,\quad m,n>0

Felbonthatóság sorozatban

Triviális módon az antier függvény a Heaviside függvény segítségével sorozattá bővül :

[x]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }n\left(\theta (xn)-\theta (xn-1)\right),

ahol a sorozat minden tagja a függvény jellegzetes " lépéseit " hozza létre. Ez a sorozat teljesen konvergál , azonban a kifejezések hibás átalakítása "leegyszerűsített" sorozathoz vezethet

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\theta \left(xn\right),

amely eltér .

Alkalmazás

Az egész számú padló/mennyezet függvények széles körben alkalmazhatók a diszkrét matematikában és a számelméletben . Az alábbiakban néhány példa látható ezeknek a függvényeknek a használatára.

Számjegyek száma egy számban

A számjegyek száma a pozitív egész szám jelölésében a b bázisú pozíciószámrendszerben [ 13]

\lfloor \log _{{b}}n\rfloor +1

Kerekítés

Az egész számhoz legközelebb eső egész szám meghatározható a képlettel $x$

(x)=\lfloor x+0{,}5\rfloor

Bináris művelet mod

A modulo maradék művelet, jelöléssel , a padlófüggvénnyel definiálható az alábbiak szerint. Ha tetszőleges valós számok, és , akkor az osztás nem teljes hányadosa az $x{\bmod {y))$ $x,y$ $y\neq 0$ $x$ $y$

\lfloor x/y\rfloor

és a maradék

x\,{\bmod \,}y=xy\lfloor x/y\rfloor

Törtrész

A valós szám tört része definíció szerint egyenlő $x$

\{x\}=x\,{\bmod \,}1=x-\lfloor x\rfloor

Egész intervallumpontok száma

Meg kell találni az egész pontok számát egy zárt végű intervallumban, és azt, hogy hány egész szám teljesíti az egyenlőtlenséget $\alpha$ $\beta$ $n$

\alpha \leqslant n\leqslant \beta

A padló/mennyezet tulajdonságai miatt ez az egyenlőtlenség egyenértékű a

\lceil \alpha \rceil \leqslant n\leqslant \lfloor \beta \rfloor

Ez a pontok száma egy zárt intervallumban, amelynek vége és egyenlő . $\lceil \alpha \rceil$ $\lfloor \beta \rfloor$ $\lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1$

Hasonlóképpen megszámolhatja az egész pontok számát más típusú hézagokban is . Az eredmények összefoglalását alább közöljük [14] .

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha \leqslant n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha \leqslant n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lceil \alpha \rceil

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha <n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lfloor \alpha \rfloor

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha <n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lfloor \alpha \rfloor -1

(A halmaz számosságát jelöli ) $\#M$ $M$ .

Az első három eredmény mindenkire érvényes , a negyedik pedig csak a -ra . $\alpha \leqslant \beta$ $\alpha <\beta$

Rayleigh-féle spektrumtétel

Legyenek és pozitív irracionális számok , amelyeket a [15] összefüggés kapcsol össze. $\alpha$ $\beta$

{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}=1.

Aztán a számok sorában

\lfloor \alpha \rfloor ,\lfloor \beta \rfloor ,\lfloor 2\alpha \rfloor ,\lfloor 2\beta \rfloor ,\ldots ,\lfloor m\alpha \rfloor ,\floor ,\lfloor ldots

minden természetes pontosan egyszer fordul elő. Más szóval a sorozatok $n\in \mathbb {N}$

\{m\alpha \mid m\in {\mathbb {N}}\}

és ,

\{m\beta \mid m\in {\mathbb {N}}\}

Az úgynevezett Beatty-szekvenciák a természetes sorozat partícióját alkotják. [16]

Az informatikában

Programozási nyelveken

Sok programozási nyelv rendelkezik beépített padló/plafon függvényekkel floor(), ceil() .

Elrendezési rendszerekben

A TeX (és a LaTeX ) speciális parancsokkal rendelkezik a padló/mennyezet szimbólumokhoz : , , \ lfloor , \ rfloor , \lceil , \rceil . Mivel a wiki a LaTeX-et használja a matematikai képletek beírásához, ez a cikk is ezeket a parancsokat használja. $\lpadló$ $\rpadló$ $\lceil$ $\rceil$

Jegyzetek

↑ Lemmermeyer, pp. 10, 23.
↑ Cassels, Hardy & Wright és Ribenboim Gauss-jelölése. Graham, Knuth & Patashnik és Crandall & Pomerance Iverson jelölését használta.
↑ Iverson, p. 12.
↑ Highham, p. 25.
↑ 1 2 R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrét matematika. - S. 88.
↑ Weisstein, Eric W. Floor Function a Wolfram MathWorld webhelyen .
↑ 1 2 R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrét matematika. - S. 90.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrét matematika. - S. 89.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrét matematika. - S. 90-91.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrét matematika. - S. 93.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrét matematika. - S. 108.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrét matematika. — S. 112-117.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrét matematika. - S. 91.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrét matematika. - S. 95-96.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrét matematika. — S. 99-100.
↑ A. Baababov. A "Pentium" jó, de az elme jobb // Kvant . - 1999. - 4. sz . - S. 36-38 .

Lásd még

Irodalom

R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrét matematika. - M . : "Mir", 1998. - 703 p. — ISBN 5-03-001793-3 .
M. K. Potapov, V. V. Alekszandrov, P. I. Pasicsenko. Az algebra és az elemzés kezdetei. - AO Century, 1996.