Ciolkovszkij képlete

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A Ciolkovszkij-képlet azt a sebességet határozza meg, amelyet a repülőgép egy rakétahajtómű tolóereje hatására fejleszt , irányváltoztatás nélkül, minden más erő hiányában. Ezt a sebességet karakterisztikus sebességnek nevezzük :

V=I\cdot \ln {\frac {M_{1}}{M_{2}}},

ahol - a repülőgép végsebessége , amelyet az űrben végzett manőverek esetében orbitális manőverek és bolygóközi repülések során gyakran ΔV -nek jelölnek, amelyet jellemző sebességnek is neveznek;

V

én

- a rakétahajtómű fajlagos impulzusa (a motor tolóerejének és a második üzemanyagtömeg-fogyasztás aránya);

M_{{1}}

- a repülőgép kezdeti tömege (hasznos teher + repülőgép kialakítása + üzemanyag);

M_{{2}}

a repülőgép végső tömege (hasznos teher + repülőgép kialakítása).

Történelem

Ezt a képletet K. E. Ciolkovszkij származtatta a „Rakéta” című kéziratában 1897. május 10 -én ( 22 ), [1] és 1903-ban a „ Scientific Review ” folyóirat májusi számában tette közzé a következő formában [2] :53 [3 ] ] [4] :

{V \over V_{1}}=\ln \left(1+{M_{2} \over M_{1}}\right),

hol van a rakéta végsebessége;

V

V_{1}

- a kiszökő elemek sebessége a rakétához képest;

M_{1}

- a rakéta tömege robbanóanyag nélkül (vagyis üzemanyag nélkül);

M_{2}

- robbanóanyagok tömege.

A változó tömegű test mozgásegyenletét elsőként azonban W. Moore angol kutatók oldották meg 1810-1811-ben [5] , aki 1813-ban publikálta a megoldást is könyvében [6] . mint P. G. Tate 1861-ben és W. J. Steele, a Cambridge -i Egyetemről 1856-ban .

A Ciolkovszkij-képletet a Mescserszkij-differenciálegyenlet integrálásával kaphatjuk meg egy változó tömegű anyagpontra :

m\cdot {\frac {d{\vec {V}}}{dt}}+{\vec {u}}\cdot {\frac {dm}{dt}}=0,

hol a ponttömeg;

m

V

a pont sebessége;

u

- az a relatív sebesség, amellyel tömegének a ponttól elváló része elmozdul.

Rakétahajtómű esetén ez az érték a fajlagos impulzusa [7] . $én$

Egy többfokozatú rakéta esetében a végsebességet a Ciolkovszkij-képlettel kapott sebességek összegeként számítják ki minden fokozatra külön-külön, és az egyes fokozatok jellemző sebességének kiszámításakor az összes következő fokozat teljes kezdeti tömegét hozzáadják a rakétához. kezdeti és végső tömeg.

Bemutatjuk a jelölést:

$M_{{1i}}$ a rakéta megtankolt harmadik fokozatának tömege ; $én$
$M_{{2i}}$ a harmadik fokozat tömege üzemanyag nélkül; $én$
$én_{{i}}$ a harmadik fokozatú motor fajlagos impulzusa ; $én$
$M_{{0}}$ - hasznos teher tömege;
$N$ a rakéta fokozatok száma.

Ezután a többlépcsős rakéta Tsiolkovsky képlete a következő formában írható fel:

V=\sum _{i=1}^{N}I_{i}\cdot \ln \left({\frac {M_{0}+{\sum _{j=i}^{N} }M_{1j}}{M_{0}+M_{2i}-M_{1i}+{\sum _{j=i}^{N}}M_{1j}}}\jobbra).

A rakéta valós sebessége és a jellemző közötti különbség

Mivel valós repülési körülmények között a hajtómű tolóerején kívül más erők is hatnak a rakétára, a gravitációs erők, a környezeti ellenállás és egyéb tényezők okozta veszteségek miatt a rakéták ilyen körülmények között kialakuló sebessége általában kisebb a jellemzőnél.

A következő táblázat a Saturn V rakéta sebességének egyensúlyát mutatja, amikor az Apollo űrszondának a Hold felé történő repülési pályájára kell lépnie [8] .

lépés	Jellemző sebesség, m/s	Gravitációs veszteségek, m/s	Aerodinamikai veszteségek, m/s	Szabályozási veszteségek, m/s	Tényleges sebesség, m/s
Első (S-IC)	3660	1220	46	0	2394
Második (S-II)	4725	335	0	183	4207
Harmadik (S-IVB)	4120	122	0	4.5	3993,5
Összesen	12505	1677	46	187,5	10594,5 [9]

Amint az a táblázatból látható, a gravitációs komponens a legnagyobb a teljes veszteségben. A gravitációs veszteségek abból fakadnak, hogy a függőlegesen induló rakéta nemcsak felgyorsul, hanem a Föld gravitációját leküzdve magasságot is növel, és ez üzemanyagot is fogyaszt. Ezen veszteségek értékét a következő képlet alapján számítjuk ki: [10]

\Delta v_{g}\ =\int \limits _{0}^{t}g(t)\cdot \cos(\gamma (t))\,dt,

ahol a helyi gravitációs gyorsulás és a motor tolóerővektora és a helyi gravitációs vektor közötti szög , amelyek a repülési program szerint az idő függvényei.

g(t),

{\megjelenítési stílus \gamma (t)}

Amint a táblázatból látható, ezen veszteségek legnagyobb része az első szakasz repülési szakaszára esik. Ez azzal magyarázható, hogy ezen a szakaszon a pálya kisebb mértékben tér el a függőlegestől, mint a következő lépések szakaszaiban, és az érték közel van a maximális értékhez - 1. $\cos(\gamma (t))$

Az aerodinamikai veszteségeket a levegő ellenállása okozza, amikor a rakéta mozog benne, és a következő képlettel számítják ki:

\Delta v_{a}\ =\int \limits _{0}^{t}{\frac {A(t)}{m(t)))\,dt,

ahol a frontális aerodinamikai ellenállás ereje;

Nál nél)

m(t)

a rakéta jelenlegi tömege.

A légellenállásból származó fő veszteségek a rakéta 1. fokozatának működési területén is jelentkeznek, mivel ez a terület a légkör alsó, legsűrűbb rétegeiben található.

Az űrjárművet szigorúan meghatározott paraméterekkel kell pályára állítani, ehhez a repülés aktív fázisában lévő vezérlőrendszer meghatározott program szerint forgatja a rakétát, miközben a hajtómű tolóereje eltér a rakéta aktuális irányától, ill. ez sebességveszteséggel jár a vezérléshez, amelyeket a következő képlet szerint számítanak ki:

\Delta v_{u}\ =\int \limits _{0}^{t}{\frac {F(t)}{m(t)}}\cdot (1-\cos(\alpha ( t)))\,dt,

hol a motor aktuális tolóereje;

F(t)

m(t)

a rakéta aktuális tömege, és a rakéta tolóerő- és sebességvektora közötti szög.

\alpha (t)

A rakétavezérlési veszteségek legnagyobb része a 2. fokozatú repülési szakaszban jelentkezik, mivel ebben a szakaszban történik az átmenet a függőleges repülésből a vízszintesbe, és a hajtómű tolóereje tér el leginkább a rakéta sebességvektorától.

A Ciolkovszkij-képlet használata rakétatervezésben

A 19. század végén keletkezett Ciolkovszkij-képlet még mindig fontos részét képezi a rakéták tervezésénél használt matematikai apparátusnak, különösen a fő tömegjellemzőik meghatározásában.

A képlet egyszerű átalakításával a következő egyenletet kapjuk:

{\frac {M_{1}}{M_{2}}}=e^{V/I},

(egy)

Ez az egyenlet megadja a rakéta kezdeti tömegének és végső tömegének arányát a rakéta végső sebességének és fajlagos impulzusának adott értékéhez .

Vezessük be a következő jelölést:

$M_{{0}}$ - hasznos teher tömege;
$M_{{k}}$ - a rakétaszerkezet tömege;
$M_{{t}}$ - az üzemanyag tömege.

A rakétaszerkezet tömege széles értéktartományban szinte lineárisan függ az üzemanyag tömegétől: minél nagyobb az üzemanyag-ellátás, annál nagyobb a tárolására szolgáló tartályok mérete és tömege, annál nagyobb a tartó tömege. szerkezeti elemek, annál erősebb (és ezért masszívabb) a meghajtórendszer. Ezt a függőséget a következő formában fejezzük ki:

M_{k}={\frac {M_{t)){k)),

ahol egy együttható, amely megmutatja, hogy a szerkezet egységnyi tömegére mennyi üzemanyag van.

k

Racionális tervezésnél ez az együttható elsősorban a rakéta gyártása során használt szerkezeti anyagok jellemzőitől (sűrűségtől és szilárdságtól) függ. Minél erősebb és könnyebb a felhasznált anyagok, annál nagyobb az együttható értéke . Ez az együttható az üzemanyag átlagos sűrűségétől is függ (a kevésbé sűrű üzemanyaghoz nagyobb tartályok és tömegek szükségesek, ami értékének csökkenéséhez vezet ). $k$ $k$

Az előző egyenlet így írható fel:

{\frac {M_{0}+M_{t}+M_{t}/k}{M_{0}+M_{t}/k}}=e^{V/I},

amely elemi átalakításokkal a következő formára redukálódik:

M_{t}={\frac {M_{0}\cdot k\cdot (e^{V/I}-1)}{k+1-e^{V/I))}.

A Ciolkovszkij-egyenlet ezen formája lehetővé teszi egy egyfokozatú rakéta adott jellemző sebességének eléréséhez szükséges üzemanyag tömegének kiszámítását, figyelembe véve a hasznos teher tömegét, a fajlagos impulzus értékét és az együttható értékét . $k$

A képletnek csak akkor van értelme, ha a bemeneti adatok helyettesítéséből származó érték pozitív. Mivel a pozitív argumentum kitevője mindig nagyobb, mint 1, a képlet számlálója mindig pozitív, ezért ennek a képletnek a nevezőjének is pozitívnak kell lennie:

k+1-e^{V/I}>0

, más szavakkal,

k>e^{V/I}-1.

Ez az egyenlőtlenség egy adott sebesség elérésének kritériuma egyfokozatú rakétával a fajlagos impulzus és együttható adott értékei mellett . Ha az egyenlőtlenség nem teljesül, az adott sebesség semmilyen üzemanyag-fogyasztás mellett nem érhető el: az üzemanyag mennyiségének növekedésével a rakétaszerkezet tömege nő, és a rakéta kezdeti tömegének aránya a végső tömeghez soha nem fogja elérni azt az értéket, amelyet a Ciolkovszkij-képlet megkövetel az adott sebesség eléréséhez. $V$ $én$ $k$

Példa egy rakéta tömegének kiszámítására

Egy m tömegű mesterséges földi műholdat 250 km magas körpályára kell bocsátani. A rendelkezésre álló motor meghatározott m/s impulzussal rendelkezik. Az együttható azt jelenti, hogy a szerkezet tömege a tüzelésű rakéta (fokozat) tömegének 10%-a. Határozzuk meg a hordozórakéta tömegét . $M_{0}=10$ $I=2900$ $k=9$

Az első térsebesség a választott pályára 7759,4 m/s, amihez hozzáadódik a 600 m/s-os feltételezett gravitációs veszteség, a karakterisztikus sebesség így m/s (a többi veszteség az első közelítésnél figyelmen kívül hagyható). Ezekkel a paraméterekkel az érték . A (4) egyenlőtlenség nem teljesül, ezért ilyen feltételek mellett egyfokozatú rakétával lehetetlen elérni a kitűzött célt . $V=8359.4$ $e^{V/I}=17,86$

Ez a számítás leegyszerűsített, és nem veszi figyelembe a test potenciális energiájának megváltoztatásának költségeit, közvetlen alkalmazásával pedig az az illúzió keletkezik, hogy a költség a pályamagasság növekedésével csökken. A valóságban, a légköri ellenállásból és a gravitációs veszteségekből adódó veszteségek figyelembevétele nélkül a pályára indítás során, a szükséges sebesség (azonnal a testnek a felszín felett nulla magasságban adott) nagyobbnak bizonyul. Megközelítőleg meghatározható a mechanikai energia megmaradás törvényének alkalmazásával (egy hipotetikus elliptikus pálya, amelynek pericentere a Földdel való érintkezési pontban, apocentere pedig a célpálya magasságában van):

\left({\frac {mV^{2}}{2}}\right)-\left({\frac {GmM}{R}}\right)=\left({\frac {mV_{ 0}^{2}}{2}}\jobbra)-\balra({\frac {GmM}{r}}\jobbra),

hol van a Föld átlagos sugara;

r

R

- a körpálya magassága (figyelembe véve a Föld sugarát, azaz ); .

R=r+H

V_{0}^{2}=V^{2}-{\frac {2GM}{r))+{\frac {2GM}{R))

Ha a periapszis sebességét a Föld felszínének szintjén lévő kör alakú sebességgel egyenlőnek vesszük ( ), akkor: $V_{0}^{2}={\frac {GM}{r))$

V_{0}^{2}={\frac {2GM}{r}}-{\frac {GM}{R}}

, vagy

V_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}{\sqrt {1-{\frac {r}{2R}}}}.

Ez a közelítés nem veszi figyelembe a Föld körpályájáról elliptikusra és elliptikusról új körpályára való átmenet impulzusait, és csak a Hohmann-átmenetekre (vagyis a parabolikus és hiperbolikus átmenetekre) alkalmazható. nem működik), de sokkal pontosabb, mint egyszerűen a szükséges sebességgel végrehajtani az első űrküldetést a LEO magasságok széles skálájára.

Ekkor 250 km-es magasságban a kimenethez 8,063 m/s lesz a szükséges sebesség és nem 7,764, a geostacionárius pályán (35 786 km-rel a Föld felett) pedig már 10,762 m/s, és nem 3,077 m/s, mint ha a potenciális energia változtatásának költsége lenne.

Kétfokozatú rakéta számítása

A karakterisztikus sebességet felére osztjuk, ami a kétfokozatú rakéta minden egyes fokozatának jellemző sebessége lesz: m / s. Ezúttal , amely teljesíti a (4) elérhetőségi feltételt, és az értékeket behelyettesítve a (3) és (2) képletbe, a második lépéshez a következőt kapjuk: $V=4179.7$ $e^{V/I}=4,23$

M_{{t2}}={\frac {10\cdot 9\cdot (4,23-1)}{9+1-4,23}}=50,3

M_{{k2}}={\frac {50,3}{9}}=5,6

Így a második fokozat teljes tömege 55,9 tonna.

Az első szakaszban a második fokozat teljes tömegét hozzá kell adni a hasznos teher tömegéhez; megfelelő helyettesítés után a következőket kapjuk:

M_{{t1}}={\frac {(10+55,9)\cdot 9\cdot (4,23-1)}{9+1-4,23}}=331,3

M_{{k1}}={\frac {331,3}{9}}=36,8

Így az első fokozat össztömege 368,1 tonna, a hasznos teherbírású kétfokozatú rakéta össztömege pedig 10 + 55,9 + 368,1 = 434 tonna. A számításokat hasonló módon hajtják végre több fokozat esetében is. Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy egy háromfokozatú rakéta kilövési súlya 323,1 tonna, egy négyfokozatú rakéta - 294,2 tonna, egy ötfokozatú rakéta - 281 tonna lesz.

Ez a példa bemutatja, hogy a többlépcsős létjogosultság a rakétatudományban: azonos végsebesség mellett egy nagyobb fokozatszámú rakéta tömege kisebb.

Ezeket az eredményeket azzal a feltételezéssel kapjuk, hogy a rakéta szerkezeti tökéletességi együtthatója állandó marad, függetlenül a fokozatok számától. A közelebbi vizsgálat azt mutatja, hogy ez erős leegyszerűsítés. A fokozatokat speciális adapterszakaszok – tartószerkezetek – kapcsolják egymáshoz, amelyek mindegyikének ki kell bírnia az összes következő fokozat össztömegét, megszorozva a rakéta által tapasztalt maximális túlterhelési értékkel minden olyan repülési szakaszban, amelyben az adapter része a repülési szakasznak. rakéta. A fokozatok számának növekedésével a teljes tömegük csökken, míg az adapterek száma és össztömege nő, ami az együttható csökkenéséhez vezet , és ezzel együtt a többlépcsős pozitív hatáshoz . A modern rakétatudományi gyakorlatban általában négynél több szakaszt nem végeznek el. $k$ $k$

Az ilyen számításokat nemcsak a tervezés első szakaszában végzik el - a rakétaelrendezési lehetőség kiválasztásakor, hanem a tervezés későbbi szakaszaiban is, mivel a tervezés részletes, a Ciolkovszkij-képletet folyamatosan használják az ellenőrzési számításokban, amikor a jellemző sebességeket újraszámítják. , figyelembe véve a rakéta (fokozat) kezdeti és végső tömegének arányát, a meghajtórendszer sajátos jellemzőit, a sebességveszteségek tisztázását a repülési program kiszámítása után az aktív helyszínen stb., a teljesítés ellenőrzése érdekében a rakéta meghatározott sebességét.

Ciolkovszkij általánosított formulája

A fénysebességhez közeli sebességgel repülő rakétára az általánosított Ciolkovszkij-képlet érvényes:

{\frac {M_{2}}{M_{1}}}=\left({\frac {1-{\frac {V}{c}}}{1+{\frac {V}{ c))))\jobbra)^{\frac {c}{2I)),

hol a fénysebesség [11] .

c

Egy foton rakétánál a képlet a következő: $I=c$

{\frac {M_{2}}{M_{1}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {V}{c}}}{1+{\frac {V}{ c}}}}}.

A foton rakéta sebességét a következő képlettel számítjuk ki:

{\frac {V}{c}}={\frac {1-\left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\jobb)^{2}}{1+ \left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\jobb)^{2}}}.

A filatéliában

Ciolkovszkij képlete egy 1963 -as lengyel postai bélyeg ( Sc #1178) , egy 1971-es nicaraguai bélyeg a "10 matematikai képlet, amely megváltoztatta a Föld arcát" sorozatból ( Sc #880) és egy 2002-es fehérorosz bélyeg margóján látható. blokk , amelyet a 45. évfordulós űrkutatásnak szenteltek ( Sc #454) .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Az Orosz Tudományos Akadémia (ARAS) archívuma. F. 555. Op. 1. D. 32. Ll. 1-2, 5, 11, 20. Lásd az elektronikus másolatokat Ezen oldalak 2019. január 20-i archív másolata a Wayback Machine -n a RAS archívum honlapján.
↑ Ciolkovszkij K. Világterek feltárása reaktív eszközökkel // Tudományos Szemle . - 1903. - 5. sz . - S. 44-75 .
↑ Ciolkovszkij K. E. Proceedings on rakétatechnológia / Szerk.: M. K. Tikhonravov . - M . : Oborongiz, 1947. - S. 33.
↑ K. Ciolkovszkij, Exploring World Spaces with Reactive Instruments, 1903 (online elérhető itt Archivált 2011. augusztus 15. RARed PDF -ben )
↑ Moore, William; a woolwichi Királyi Katonai Akadémia tagja . A Journal of Natural Philosophy, Chemistry and the Arts Vol. XXVII, 1810. december, IV. cikk: A rakéták mozgásának elmélete . – London: W. Nichelson, 1810.
↑ Moore, William; a woolwichi Királyi Katonai Akadémia tagja . Értekezés a rakéták mozgásáról. Amihez hozzáadódik: An Essay on Naval Gunnery . - London: G. és S. Robinson, 1813.
↑ Termikus rakétamotorra ez akkor igaz, ha a nyomás a fúvóka kimeneténél és a környezetben egyenlő. Ciolkovszkij képlete megőrzi érvényességét, függetlenül attól, hogy ez a feltétel teljesül-e.
↑ Manned Moon Missions, Design and Performance of the SATURN V APOLLO Archiválva : 2017. november 14. a Wayback Machine -nél . VINITI absztrakt. - M., 1973.
↑ Ehhez az értékhez hozzáadódik a Föld forgási sebessége a Canaveral -fok szélességi fokán , ahonnan az Apollo program keretében kilövéseket hajtottak végre - 406 m/s. Így az Apollo űrszonda 11 000 m/s sebességgel indult a Holdra. 500 km-es magasságban, (a Föld-közeli pálya apogeuma, ahonnan a hajó áttért a Holdra tartó repülési útvonalra) a második szökési sebesség 10 772 m/s.
↑ Feodosyev V., Szinyarev G. Bevezetés a rakétatechnikába. 2. kiadás, átdolgozva. és további - M.: Oborongiz, 1961.
↑ Levantovsky, 1980 , p. 444.

Irodalom

Levantovsky VI. Az űrrepülés mechanikája elemi előadásban. — M .: Nauka, 1980. — 512 p.

Égi mechanika

Törvények és feladatok	Newton törvényei A gravitáció törvénye Kepler törvényei Két test probléma Három test probléma Gravitációs N-test probléma Bertrand problémája Kepler-egyenlet
Éggömb	Égi koordináta-rendszer galaktikus vízszintes egyenlítői ekliptika Nemzetközi égi koordináta-rendszer Gömbös koordinátarendszer világtengely Égi egyenlítő jobb felemelkedés deklináció Ekliptika Napéjegyenlőség Napforduló alapsík
Pályaparaméterek _	A pálya Kepleri elemei különcség fél-nagy tengely anomáliát jelent növekvő csomóponti hosszúság periapszis érv Apocenter és periapsis Keringési sebesség Keringési csomópont Korszak
Az égitestek mozgása	A Nap és a bolygók mozgása az égi szférában Ephemeris Bolygó konfigurációk szembesítés összetett kvadratúra megnyúlás bolygók felvonulása Fogyatkozás Napfogyatkozás holdfogyatkozás saros Metonikus ciklus Bevonat Végigjátszás csúcspontja sziderikus időszak zsinati időszak Forgatási időszak orbitális rezonancia Equinox Prelude Közeledés libráció A gravitáció hatóköre Kozai hatás Yarkovsky-effektus Dzsanibekov hatás

Asztrodinamika

Űrrepülés	térsebesség első (kör alakú) második (parabola) harmadik negyedik Ciolkovszkij képlete Gravitációs manőver Hohmann pálya Az elemek oszkulációjának módszere Árapálygyorsulás Orbitális dőlésváltozás Bolygóközi közlekedési hálózat Dokkolás Lagrange pontok Úttörő hatás
SC kering	geostacionárius pálya Heliocentrikus pálya geoszinkron pálya geocentrikus pálya geotranszfer pálya Alacsony földpálya sarki pálya "Tundra" pálya Napszinkron pálya Keringő "villám" Oszkuláló pálya