A statisztikai eloszlásfüggvény ( a statisztikai fizikában eloszlási függvény ) a valószínűségi sűrűség a fázistérben . A statisztikai fizika egyik alapfogalma . Az eloszlásfüggvény ismerete teljes mértékben meghatározza a vizsgált rendszer valószínűségi tulajdonságait.
Bármely rendszer mechanikai állapotát egyértelműen a részecskéinek koordinátái és momentumai határozzák meg ( i=1,2,…, d ; d a rendszer szabadságfokainak száma ). A mennyiségek halmaza és a fázistér formája .
Annak valószínűségét , hogy a fázistér egy elemében olyan rendszert találunk , amelyben egy (q, p) pont van, a következő képlet adja meg:
A függvényt teljes statisztikai eloszlásfüggvénynek (vagy egyszerűen eloszlásfüggvénynek) nevezzük . Valójában a fázistérben lévő pontok ábrázolásának sűrűségét jelenti. A függvény kielégíti a normalizálási feltételt :
és az integrál átveszi a teljes fázisteret. A mechanikának megfelelő esetben a rendszer egy bizonyos mikroszkopikus állapotban van, azaz adott és -t, majd
ahol (δ a Dirac-függvény ). A különféle mikroszkopikus állapotok valószínűsége mellett a függvény lehetővé teszi bármely fizikai mennyiség átlagos statisztikai értékének meghatározását - a q és p fázisváltozók függvényében :
ahol a „cap” a fázisváltozóktól való függést jelenti, a zárójel pedig a statisztikai átlagolást jelenti.
Bontsuk fel a rendszert kicsi, de makroszkopikus alrendszerekre. Elmondható, hogy az ilyen alrendszerek statisztikailag függetlenek a környezettel való gyenge kölcsönhatásuk miatt (csak az alrendszer határához közel eső részecskék vesznek részt a környezettel való kölcsönhatásban, makroszkopikus alrendszer esetén számuk csekély a környezettel való kölcsönhatásban). részecskéinek teljes száma). Az alrendszerek statisztikai függetlensége az eloszlásfüggvényre a következő eredményhez vezet
Az n index az n - edik alrendszerre utal . A függvények mindegyike normalizáltnak tekinthető a (2) feltételnek megfelelően. Ebben az esetben a funkció is automatikusan normalizálódik . A statisztikai függetlenség fogalma hozzávetőleges. A (3) egyenlőség pedig szintén közelítő: nem veszi figyelembe a különböző alrendszerekhez tartozó részecskék korrelációit . Lényeges azonban, hogy hétköznapi fizikai körülmények között a korrelációk gyorsan gyengülnek, ahogy a részecskék (vagy részecskecsoportok) távolodnak egymástól. A rendszernek van egy jellemző paramétere, a korrelációs sugár , amelyen kívül a részecskék statisztikailag egymástól függetlenül viselkednek. A makroszkopikus dimenziójú alrendszerekben az egyik alrendszer részecskéinek túlnyomó többsége kívül esik a másik részecskéivel való korrelációs sugarakon, és ezekre a részecskékre érvényes a (3) egyenlőség.
Matematikailag a teljes eloszlási függvény beállítása egyenértékű végtelen számú független mennyiség beállításával - értékei a 2d kolosszális dimenziójú fázistér pontjainak kontinuumán (makroszkópikus rendszerek esetén d ~ , ahol az Avogadro-szám ).
Reálisabb esetben a hiányos mérésnél csak egyes fizikai mennyiségek értékeinek valószínűsége vagy akár átlagértéke válik ismertté . Számuk általában jóval kisebb, mint a rendszer fázisterének mérete. Az értékek valószínűségi eloszlási függvényét az egyenlőség adja meg
ahol . Az eloszlásfüggvényt nevezhetjük hiányosnak. Nyilvánvalóan csak olyan fizikai mennyiségek értékeinek valószínűségét teszi lehetővé , amelyeknek a fázisváltozóktól való függése a -n keresztül valósul meg . Ugyanazon értékek esetén lehetővé teszi az átlagos értékek megtalálását:
ahol és az integráció az összes lehetséges értéken keresztül történik . Természetesen a mennyiségek átlagértékeit a teljes eloszlásfüggvény segítségével is meg lehetne találni , ha ismert lenne. A függvényre és a teljes eloszlási függvényre is igaz a normalizálási feltétel:
Egy rendszer függvényt használó leírását hiányos leírásnak nevezzük. Konkrét példák erre a leírás a rendszer egyes részecskéinek koordinátáinak és momentumainak eloszlási függvényével, vagy a leírás a teljes rendszer egyes alrendszereinek tömegeinek , nyomatékainak és energiáinak átlagértékeivel .
Az eloszlási függvény időbeli alakulása megfelel a Liouville-egyenletnek :
hol van a fázisfüggvények terében működő Liouville operátor :
,a rendszer Hamilton-függvénye . Abban az esetben, ha a Liouville-operátor nem függ az időtől ( ), a (4) egyenlet megoldása a következő alakú
Ahhoz, hogy az (5)-et használjuk egy megoldás tényleges megalkotásához, ismerni kell az operátor sajátfüggvényeit és sajátértékeit .
A teljesség és az ortonormalitás felhasználásával a következőket írjuk:
,ahol ( a spektrumot diszkrétnek tételezzük fel). Ennek eredményeként azt kapjuk
![]() |
---|