Eloszlási függvény (statisztikai fizika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. május 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A statisztikai eloszlásfüggvény ( a statisztikai fizikában eloszlási függvény ) a valószínűségi sűrűség a fázistérben . A statisztikai fizika egyik alapfogalma . Az eloszlásfüggvény ismerete teljes mértékben meghatározza a vizsgált rendszer valószínűségi tulajdonságait.

Bármely rendszer mechanikai állapotát egyértelműen a részecskéinek koordinátái és momentumai határozzák meg ( i=1,2,…, d ; d a rendszer szabadságfokainak száma ). A mennyiségek halmaza és a fázistér formája . $q_{i}$ ${\displaystyle p_{i))$ $q\equiv \left\{q_{i}\right\}$ ${\displaystyle p\equiv \left\{p_{i}\right\))$

Teljes statisztikai eloszlási függvény

Annak valószínűségét , hogy a fázistér egy elemében olyan rendszert találunk , amelyben egy (q, p) pont van, a következő képlet adja meg: ${\displaystyle \mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\equiv \prod \limits _{i}\mathrm {d} q_{i}\,\mathrm {d} p_{i))$

\mathrm {d} \omega =\rho \!\left(t,q,p\right)\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\qquad (1)

A függvényt teljes statisztikai eloszlásfüggvénynek (vagy egyszerűen eloszlásfüggvénynek) nevezzük . Valójában a fázistérben lévő pontok ábrázolásának sűrűségét jelenti. A függvény kielégíti a normalizálási feltételt : $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$

\int {\rho \!\left(t,q,p\right)\,\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p}=1,\qquad (2)

és az integrál átveszi a teljes fázisteret. A mechanikának megfelelő esetben a rendszer egy bizonyos mikroszkopikus állapotban van, azaz adott és -t, majd ${q}^{(0)}\equiv \left\{{q_{i}}^{(0)}\right\}$ ${p}^{(0)}\equiv \left\{{p_{i}}^{(0)}\right\}$

\rho \!\left(q,p\right)=\delta \!\left(qq^{(0)}\right)\,\delta \!\left(pp^{(0)} \jobb),

ahol (δ a Dirac-függvény ). A különféle mikroszkopikus állapotok valószínűsége mellett a függvény lehetővé teszi bármely fizikai mennyiség átlagos statisztikai értékének meghatározását - a q és p fázisváltozók függvényében : $\delta \!\left(qq^{(0)}\right)\delta \!\left(pp^{(0)}\right)\equiv \prod \limits _{i}\delta \ !\left(q_{i}-{q_{i}}^{(0)}\jobbra)\delta \!\left(p_{i}-{p_{i}}^{(0)}\jobbra )$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $F\!\left(t,q,p\right)$

\left\langle {\hat {F}}\right\rangle =\int ({\hat {F}}\,{\hat {\rho }}\,\mathrm {d} q\,\ matematika {d}p},

ahol a „cap” a fázisváltozóktól való függést jelenti, a zárójel pedig a statisztikai átlagolást jelenti.

Bontsuk fel a rendszert kicsi, de makroszkopikus alrendszerekre. Elmondható, hogy az ilyen alrendszerek statisztikailag függetlenek a környezettel való gyenge kölcsönhatásuk miatt (csak az alrendszer határához közel eső részecskék vesznek részt a környezettel való kölcsönhatásban, makroszkopikus alrendszer esetén számuk csekély a környezettel való kölcsönhatásban). részecskéinek teljes száma). Az alrendszerek statisztikai függetlensége az eloszlásfüggvényre a következő eredményhez vezet

\rho \!\left(t,q,p\right)=\prod \limits _{n}\rho ^{(n)}\!\!\left(t,q^{(n) },p^{(n)}\jobbra)\qquad(3)

Az n index az n - edik alrendszerre utal . A függvények mindegyike normalizáltnak tekinthető a (2) feltételnek megfelelően. Ebben az esetben a funkció is automatikusan normalizálódik . A statisztikai függetlenség fogalma hozzávetőleges. A (3) egyenlőség pedig szintén közelítő: nem veszi figyelembe a különböző alrendszerekhez tartozó részecskék korrelációit . Lényeges azonban, hogy hétköznapi fizikai körülmények között a korrelációk gyorsan gyengülnek, ahogy a részecskék (vagy részecskecsoportok) távolodnak egymástól. A rendszernek van egy jellemző paramétere, a korrelációs sugár , amelyen kívül a részecskék statisztikailag egymástól függetlenül viselkednek. A makroszkopikus dimenziójú alrendszerekben az egyik alrendszer részecskéinek túlnyomó többsége kívül esik a másik részecskéivel való korrelációs sugarakon, és ezekre a részecskékre érvényes a (3) egyenlőség. $\rho ^{(n)}\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\jobbra)$ $\rho$

Matematikailag a teljes eloszlási függvény beállítása egyenértékű végtelen számú független mennyiség beállításával - értékei a 2d kolosszális dimenziójú fázistér pontjainak kontinuumán (makroszkópikus rendszerek esetén d ~ , ahol az Avogadro-szám ). $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $N_A$ $N_A$

Hiányos leírás

Reálisabb esetben a hiányos mérésnél csak egyes fizikai mennyiségek értékeinek valószínűsége vagy akár átlagértéke válik ismertté . Számuk általában jóval kisebb, mint a rendszer fázisterének mérete. Az értékek valószínűségi eloszlási függvényét az egyenlőség adja meg ${\hat {A}}\equiv \left\{{\hat {A}}_{m}\right\}$ $\rho \!\left(A\right)$ $A$

\rho \!\left(A\right)=\int {\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\,\delta \!\left(A-{\hat {A)) \jobbra)\rho \!\left(q,p\jobbra)},

ahol . Az eloszlásfüggvényt nevezhetjük hiányosnak. Nyilvánvalóan csak olyan fizikai mennyiségek értékeinek valószínűségét teszi lehetővé , amelyeknek a fázisváltozóktól való függése a -n keresztül valósul meg . Ugyanazon értékek esetén lehetővé teszi az átlagos értékek megtalálását: $\delta \!\left(A-{\hat {A}}\right)\equiv \prod \limits _{m}\delta \!\left(A_{m}-{\hat {A} }_{m}\right)$ $\rho \!\left(A\right)$ ${\hat {f}}\equiv f\!\left({\hat {A}}\right)$ ${\kalap {A}}$

\left\langle {\hat {f}}\right\rangle =\int {\mathrm {d} A\,f\!\left(A\right)\,\rho \!\left(A \jobb)},

ahol és az integráció az összes lehetséges értéken keresztül történik . Természetesen a mennyiségek átlagértékeit a teljes eloszlásfüggvény segítségével is meg lehetne találni , ha ismert lenne. A függvényre és a teljes eloszlási függvényre is igaz a normalizálási feltétel: ${\displaystyle \mathrm {d} A\equiv \prod \limits _{m}\mathrm {d} A_{m))$ $A$ $\left\langle {\hat {f}}\right\rangle$ ${\kalap {f))$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $\rho \!\left(A\right)$

\int {\mathrm {d} A\,\rho \!\left(A\right)}=1

Egy rendszer függvényt használó leírását hiányos leírásnak nevezzük. Konkrét példák erre a leírás a rendszer egyes részecskéinek koordinátáinak és momentumainak eloszlási függvényével, vagy a leírás a teljes rendszer egyes alrendszereinek tömegeinek , nyomatékainak és energiáinak átlagértékeivel . $\rho \!\left(A\right)$

Az eloszlási függvény időbeli alakulása

Az eloszlási függvény időbeli alakulása megfelel a Liouville-egyenletnek :

{\frac {\partial {\hat {\rho ))\!\left(t\right)}{\partial t))+i\,L_{t}\,{\hat {\rho } }\!\left(t\right)=0,\qquad(4)

hol van a fázisfüggvények terében működő Liouville operátor : ${\displaystyle L_{t))$

L_{t}\,\cdot \equiv -i\left\({\hat {H))_{t},\cdot \right\}\equiv -i\sum \limits _{j}\ left({\frac {\partial {\hat {H}}_{t}}{\partial p_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}-{\frac { \partial {\hat {H}}_{t}}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}\right)

${\hat {H}}_{t}$ a rendszer Hamilton-függvénye . Abban az esetben, ha a Liouville-operátor nem függ az időtől ( ), a (4) egyenlet megoldása a következő alakú $L_{t}=L$

{\hat {\rho }}\!\left(t\right)=e^{-itL}{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\qquad (5)

Ahhoz, hogy az (5)-et használjuk egy megoldás tényleges megalkotásához, ismerni kell az operátor sajátfüggvényeit és sajátértékeit . ${\displaystyle {\hat {\psi }}^{(n)))$ $L^{(n)}$ $L$

A teljesség és az ortonormalitás felhasználásával a következőket írjuk: ${\displaystyle {\hat {\psi }}^{(n)))$

{\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(0\right)=\sum \limits _{n}c_{n}{\hat {\psi }}^{(n)))

ahol ( a spektrumot diszkrétnek tételezzük fel). Ennek eredményeként azt kapjuk $c_{n}=\left({\hat {\psi }}^{(n)},{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\right)$

{\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(t\right)=\sum \limits _{n}e^{-i\cdot t\cdot L^{(n)))c_{n }\,{\hat {\psi }}^{(n)))

Lásd még

Részleges eloszlási függvény

Irodalom

Gibbs J. V. "A statisztikai mechanika alapelvei" - M. - L., 1946. // Reprinted: Publishing House "Regular and Chaotic Dynamics", 2002. - 204 p. ISBN 5-93972-127-3 .
Balescu R. Egyensúlyi és nem egyensúlyi statisztikai mechanika. Két kötetben. — M.: Mir, 1978.
Berezin F. A. Statisztikai fizika előadásai. - Moszkva - Izsevszk: Intézet. számítógépes kutatás, 2002. - 192p. (2. kiadás, Rev. Kiadó: MTSNMO, 2008. - 200 pp. ISBN 978-5-94057-352-4 )
Bogolyubov NN A dinamikaelmélet problémái a statisztikus fizikában. — M. — L.: OGIZ. Gostekhizdat , 1946.
Bogolyubov NN Válogatott statisztikai fizika művek . - M .: Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1979.
Bogolyubov N. N. Tudományos művek gyűjteménye. 12 kötetben. Vol. 5: Nonequilibrium Statistical Mechanics, 1939-1980. — M.: Nauka, 2006. ISBN 5020341428 .
Vlasov AA nem helyi statisztikai mechanika . - M.: Nauka, 1978.
Zubarev D. N. , Morozov V. G., Repke G. A nem egyensúlyi folyamatok statisztikai mechanikája. 1. kötet - M .: Fizmatlit , 2002. - 432 p. ISBN 5-9221-0211-7 , ISBN 5-9221-0210-9 .
Prigogine I. Nem egyensúlyi statisztikai mechanika . - Kiadó: Editorial URSS, 2005. - 312 p. ISBN 5-354-01004-7
Khinchin A. Ya : A statisztikai mechanika matematikai alapjai. - Kiadó: Szabályos és kaotikus dinamika, 2003. - 128s. ISBN 5-93972-273-3
Ruel D. Statisztikai mechanika. Szigorú eredmények . — M.: Mir, 1971. — 368s.
Krylov NS A statisztikai fizika alátámasztásával foglalkozik . - M.-L .: A Szovjetunió Tudományos Akadémiájától, 1950.
Kubo R. Statisztikai mechanika. — M.: Mir, 1967.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Statisztikai fizika. 1. rész – (" Elméleti fizika ", V. kötet).
Terletsky Ya. P. Statisztikai fizika. (2. kiadás). - M .: Felsőiskola, 1973.
Uhlenbeck J. , Ford J. Statisztikai mechanikai előadások. — M.: Mir, 1965.]
Huang K. Statisztikai mechanika . — M.: Mir, 1966.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online)