Jones formalizmus

A Jones-formalizmus egy fényhullám polarizációjának elemzésére szolgáló matematikai apparátus, amelyben a polarizációt az úgynevezett Jones-vektorok, a lineáris optikai elemeket pedig a Jones - mátrixok [1] adják meg . A formalizmust Robert Clark Jones javasolta 1941-ben. A Jones-formalizmus teljesen polarizált fényre alkalmazható, nem polarizált vagy részlegesen polarizált fényre pedig a Muller-féle formalizmust kell használni .

Jones Vector

A Jones-vektor a fény polarizációját írja le vákuumban vagy más homogén izotróp közegben abszorpció hiányában, ahol a fény keresztirányú elektromágneses hullámmal írható le. Terjedjen egy síkhullám pozitív irányban a z tengely mentén , legyen ω ciklikus frekvenciája és k = (0,0, k ) hullámvektora , ahol a hullámszám k = ω / c . Ekkor az elektromos és mágneses mezők ( E és H ) minden pontban merőlegesek k -ra; vagyis a mozgás irányára keresztirányú síkban fekszenek. Sőt, a H -t úgy határozzuk meg, hogy E -t 90 fokkal elforgatjuk, és megszorozzuk egy bizonyos tényezővel, az egységrendszertől és a közeg hullámimpedanciájától függően. Ezért a polarizáció tanulmányozásakor elegendő az E -re összpontosítani . Az E komplex amplitúdó fel van írva

{\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i( kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin {pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz -\omega t)}

E fizikai értékét ennek a vektornak a valós része határozza meg, a komplex tényező pedig a hullám fázisát írja le.

Ekkor a Jones-vektort a következőképpen definiáljuk:

{\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}\;.

Tehát a Jones-vektor információkat tárol a mező x és y összetevőinek amplitúdójáról és fázisáról.

A Jones-vektor két komponense abszolút értékének négyzetösszege arányos a fény intenzitásával. Általában egyre normalizálódik azon a ponton, ahol a számítás kezdődik. Általában azt is feltételezik, hogy a Jones-vektor első komponense egy valós szám . Ebben az esetben az illesztési fázisra vonatkozó információ elvetődik, amely azonban szükséges a többi nyaláb interferenciájának kiszámításához.

A Jones vektorokat és mátrixokat úgy jelöljük, hogy a hullám fázisát . Ezzel a definícióval a növekedés (vagy ) fáziskésésnek, a csökkenés pedig előrelépésnek felel meg. Például a Jones vektorkomponens ( ) késést (vagy 90 fokkal) jelez 1 mögött. Egy másik konvenció ( ) is érvényes, ezért az olvasónak óvatosnak kell lennie. $\phi =kz-\omega t$ $\phi _{x}$ ${\displaystyle \phi _{y))$ $én$ $=e^{i\pi /2}$ $\pi /2$ $\phi =\omega t-kz$

Az alábbi táblázat 6 népszerű példát tartalmaz a Jones-vektorra:

Fénypolarizáció	Jones vektor	Tipikus ket megjelölés
Lineárisan polarizált x köznévben - vízszintes	${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$	$\|H\rangle$
Lineárisan polarizált y -ben a szokásos név függőleges	${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix))$	$\|V\rangle$
Az x tengellyel 45°-os szögben lineárisan polarizált, a szokásos név átlós L+45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$	$\|D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(\|H\rangle +\|V\rangle )$
Az x-tengellyel -45°-os szögben lineárisan polarizált, szokásos neve anti-diagonális L-45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$	$\|A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(\|H\rangle -\|V\rangle )$
Körkörös polarizáció az óramutató járásával ellentétes általános név - RCP vagy RHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}$	$\|R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(\|H\rangle -i\|V\rangle )$
Az óramutató járásával megegyező irányú körpolarizáció , közismert nevén LCP vagy LHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}$	$\|L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle +i\|V\rangle )$

Általában bármely vektor felírható ket jelöléssel , mint . A Poincaré-gömböt (más néven Bloch-gömböt ) használva az alap ket vektoroknak ( és ) a felsorolt párok ellentétes ket vektorait kell jelölniük. Például írhat = és = . A választás itt önkényes. Ellentétes párok: $|\psi\rangle$ $|0\tartomány$ $|1\tartomány$ $|0\tartomány$ $|H\rangle$ $|1\tartomány$ $|V\rangle$

$|H\rangle$ hogy $|V\rangle$
$|D\rangle$ hogy $|A\rangle$
$|R\rangle$ hogy $|L\rangle$

Jones mátrixok

A Jones-mátrixokat Jones-vektorokra ható operátoroknak nevezzük. Különféle optikai elemekhez vannak meghatározva: lencsék, sugárosztók, tükrök stb. Mindegyik mátrix egy vetület a Jones-vektorok egydimenziós komplex terére. Az alábbi táblázat példákat mutat be Jones-mátrixokra polarizátorokhoz:

Optikai elem	Jones mátrix
Lineáris [[]]polarizátor vízszintes átviteli tengellyel [1]	${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
Lineáris polarizátor függőleges átviteli tengellyel [1]	${\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Lineáris polarizátor a vízszinteshez képest ±45°-os szöget bezáró átviteli tengellyel [1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
Jobbkezes körpolarizátor [1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}$
Balkezes körkörös polarizátor [1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}$

Fázismanipuláció

A fázisátalakítók megváltoztatják a fáziskülönbséget a függőleges és vízszintes polarizáció között, így szabályozzák a nyaláb polarizációját. Általában egytengelyű kettőstörő kristályokból , például kalcitból , MgF2- ből vagy kvarcból készülnek . Az egytengelyű kristályok egyik kristálytengelye eltér a másik kettőtől (azaz n i ≠ n j = n k ). Ezt a tengelyt szokatlannak vagy optikainak nevezik. Az optikai tengely lehet gyors vagy lassú, a kristálytól függően. A fény nagy fázissebességgel halad a legalacsonyabb törésmutatójú tengely mentén , és ezt a tengelyt gyors tengelynek nevezzük. Hasonlóképpen a legnagyobb törésmutatóval rendelkező tengelyt lassú tengelynek nevezzük. A "negatív" egytengelyű kristályok (pl. kalcit CaCO 3, zafír Al 2 O 3 ) ne < n o , így ezeknél a kristályoknál a szokatlan (optikai) tengely gyors, míg a "pozitív" egytengelyű kristályoknál (például kvarc SiO ) 2 , magnézium-fluorid MgF 2 , rutil TiO 2 ) ne > n o , és szokatlan tengelyük lassú .

Az x vagy y tengellyel egybeeső gyors tengelyű fázisátalakító nulla átlón kívüli taggal rendelkezik, ezért a mátrix megjeleníthető

{\begin{pmatrix}e^{i\phi _{x}}&0\\0&e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}

ahol és az elektromos tér fázisai x , illetve y irányban . Ebben a jelölésben a két hullám közötti relatív fázist adja meg . Ekkor a pozitív érték (azaz > ) azt jelenti, hogy még egy ideig nem lesz ugyanaz az értéke, mint amilyen lesz , azaz előre . Hasonlóképpen, ha , akkor megelőzi a . Például, ha egy negyedhullámú lemez gyorstengelye vízszintes, akkor a vízszintes polarizáció fázissebessége megelőzi a függőleges polarizáció fázissebességét, azaz előre . Ha , ami negyedhullámú lemeznél ad . $\phi _{x}$ ${\displaystyle \phi _{y))$ $\phi =kz-\omega t$ ${\displaystyle \epsilon =\phi _{y}-\phi _{x))$ $\epsilon$ ${\displaystyle \phi _{y))$ $\phi _{x}$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$ $\epsilon <0$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\displaystyle \phi _{x}<\phi _{y))$ $\phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2$

A fázis alternatív jelölése: , a relatív fázist a következőképpen határozza meg . Akkor azt jelenti, hogy egy ideig nem lesz ugyanaz az érték , majd megelőzi a . $\phi =\omega t-kz$ ${\displaystyle \epsilon =\phi _{x}-\phi _{y))$ $\epsilon >0$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$

Elem	Jones mátrix
Negyedhullámú lemez függőleges gyorstengellyel [2] [3]	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}$
Negyedhullámú lemez vízszintes gyorstengellyel	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}$
Negyedhullámú lemez gyorstengellyel, amely a vízszintes tengellyel szöget zár be $\theta$	$e^{-i\pi /4}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \ theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$
Félhullámú lemez gyorstengellyel, amely a vízszintes tengellyel szöget zár be [4] $\theta$	$e^{-i\pi /2}{\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix))$
Tetszőleges anyag kettős fénytöréssel (fázisátalakítóként) [5]	${\begin{pmatrix}e^{i\eta /2}\cos ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\sin ^{2}\theta &(e^{ i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\(e^{i\eta /2}-e^{ -i\eta /2})e^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &e^{i\eta /2}\sin ^{2}\theta +e^{-i\eta /2 }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Fowles, G. Bevezetés a modern optikába (határozatlan idejű) . — 2. - Dover, 1989. - S. 35 .
↑ 1 2 Hecht, E. Optika (határozatlan) . — 4. - 2001. - S. 378. - ISBN 0805385665 .
↑ A szorzó csak akkor jelenik meg, ha a fázisok szimmetrikusan vannak beállítva, azaz . A [2] könyv ezt a meghatározást használja , de a könyv [1] nem . $e^{i\pi /4}$ $\phi _{x}=-\phi _{y}=\pi /4$
↑ Gerald, A. Bevezetés a mátrixmódszerekbe az optikában (meghatározatlan) . — 1. - 1975. - ISBN 0471296856 .
↑ Egy nem depolarizáló optikai rendszer polarizációs és késleltetési paramétereinek megszerzése Mueller-mátrixának poláris lebontásából , Optik, Jose Jorge Gill és Eusebio Bernabeu, 76 , 67-71 (1987).