Renormalizációs csoportegyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2014. július 6-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A renormalizációs csoportegyenlet ( Callan-Simanchik egyenlet, Ovsyannikov-Callan-Simanchik egyenlet ) a korrelációs függvények ( propagátorok ) differenciálegyenlete , amely megmutatja függetlenségüket a mérlegelési skálától. Ez történik például, ha egy rendszer dinamikáját a kritikus pont közelében vesszük figyelembe .

Az egyenlet típusa

Az egyenlet így néz ki:

({\mathcal {D}}_{P\Gamma }+\gamma _{W}(g))W=0

{\mathcal {D}}_{P\Gamma }=\mu {\partial \over \partial \mu }+\beta (g){\partial \over \partial g}-\sum _{i }\gamma _{i}(g)e_{i}{\partial \over \partial e_{i}}

ahol

$W$ a korrelációs függvény,
$g$ - töltés (csatolási állandó),
$\mu$ egy segéddimenziós paraméter, az úgynevezett renormalizációs tömeg,
$e_{i}$ — a kritikus ponttól való eltérést jellemző egyéb paraméterek,
${\mathcal {D}}_{P\Gamma }$ mindenkinek ugyanaz
együttható a — - függvénynél , , ${\displaystyle {\partial \over \partial g))$ $\beta$ ${\displaystyle \beta (g)=\mu {\partial g \over \partial \mu ))$
${\displaystyle \gamma _{i))$ - rendellenes méretek,
$\gamma _{W}$ a függvény rendellenes dimenziója . $W$

Általános esetben az egyenlet bármely renormalizációs változóra kiterjeszthető - azokra a mennyiségekre, amelyek csak a kezdeti paraméterektől függenek . Ilyen mennyiségek például a Green függvényei és a felette lévő különféle funkcionálisok (a kapcsolt Green függvények generáló függvénye , az 1-re redukálhatatlan Green függvények generáló függvénye ). $e_{i}$ $W$ $\Gamma$

Renormalizált és nem renormalizált generáló funkciókat összekötő kapcsolatok :

töltse ki Green függvényeket , ahol ; $G_{R}(A)=G(Z_{\varphi }^{-1}A)$ ${\displaystyle G(A)=\langle \exp(A\varphi )\rangle _{\varphi ))$
összekötött Green függvények , ahol . $W_{R}(A)=W(Z_{\varphi }^{-1}A)$ $W=\ln(G(A))$
1-irreducibilis Green- függvények , ahol . $\Gamma _{R}(\alpha )=\Gamma (Z_{\varphi }\alpha )$ ${\displaystyle \Gamma (\alpha )=W(A(\alpha ))-A\cdot \alpha ,\alpha ={\delta W \over \delta A))$

Ekkor az egyenlet a következő formában lesz felírva:

A renormalizált csatlakoztatott funkcióhoz : $W_{R}(A)$ $({\mathcal {D}}_{P\Gamma }+\gamma _{\varphi }{\mathcal {D}}_{A})W_{R}(A;e,\mu )= 0$ , hol , ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}=\int dxA(x){\delta \over \delta A(x)))$

Renormalizált 1-irreducibilis funkcióhoz : $\Gamma _{R}(\alpha )$ $({\mathcal {D}}_{P\Gamma }-\gamma _{\varphi }{\mathcal {D}}_{A})\Gamma _{R}(\alpha ;e,\ mu )=0$ , ahol ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}=\int dx\alpha (x){\delta \over \delta \alpha (x)))$

mindkét egyenletben . Az operátorban szereplő deriváltak együtthatóit és az értéket RG függvényeknek nevezzük . $\gamma _{\varphi }={\mathcal {D}}_{P\Gamma }\ln(Z_{\varphi })$ ${\mathcal {D}}_{P\Gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{\varphi ))$

Fizikai jelentés

Ha sok részecske rendszerét vizsgáljuk, például a kvantumtérelméletben vagy a kritikus viselkedés és a sztochasztikus dinamika elméletében, gyakran kiderül, hogy egy bizonyos mennyiség átlagolását leíró funkcionális integrál a rendszer különböző konfigurációiban eltér . A rendszerről azonban különböző szabályzási és renormalizálási módszerekkel különböző információkat nyerhetünk. Az egyik széles körben használt technika a multiplikatív renormalizáció . A módszer lényege, hogy a Green-függvények a modellparaméterek általánosított homogén függvényei . Már a Zöldek függvényeinek ebből a tulajdonságából is sokat el lehet mondani a kritikus pontok közelében való viselkedésükről, például a kritikus kitevőkről, ha sok részecskerendszer kritikus viselkedéséről beszélünk, vagy arról, hogy hogyan alakul a kapcsolási állandó A modell megváltozik a részecskék kölcsönhatási energiájának változásával, ha kvantumelektrodinamikáról beszélünk . Ugyanakkor a renormalizációs csoportegyenlet lehetővé teszi, hogy a modell Green-függvényeinek közvetlen elemzésétől közvetlenül a paraméterek és megfigyelések elemzése felé mozduljunk el.

Az egyenlet levezetése

A renormalizációs csoportegyenlet levezetése az általánosított homogenitás tulajdonságán és a hasonlósági hipotézisen alapul.

Jelölje és a vetőmag és a renormalizált mezőket, ill. Ekkor a nem renormalizált mezők párkorrelátora, a renormalizált mezőké pedig: . Az általánosított-homogén (lambda-homogén) függvény definíciója szerint megfigyelhető rendszerparaméterek halmaza. Most kicsit változtassuk meg a rendszer paramétereit, de hagyjuk változatlanul a vágási momentumot és a csupasz konstansokat. Nyilvánvaló, hogy a nem renormalizált Green függvények ebben az esetben nem változnak, mivel csak a vágási impulzustól és a csupasz állandóktól függenek. Ezért mindkét rész \mu paraméterének teljes deriváltja 0. A részecskék koordinátái nem függnek kifejezetten a léptéktől . Ezért rendelkezünk: $\phi _{0}$ $\phi$ $W_{0}=\langle \phi _{0}(x_{1})\phi _{0}(x_{2})\rangle$ $W=\langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\rangle$ $Z^{n/2}W(x_{1},x_{2},\mu ,g(\mu ),\{e_{i}(\mu )\})=W_{0}( x_{1},x_{2}),\{e_{i}(\mu )\}-$ $\mu$

({\mathcal {D}}_{P\Gamma }+\gamma _{W}(g))W=0,{\mathcal {D}}_{P\Gamma }=\mu {\ részleges \over \partial \mu }+\beta (g){\partial \over \partial g}-\sum _{i}\gamma _{i}(g)e_{i}{\partial \over \partial e_{i}}

Megjegyzés

Egyes forrásokban a renormalizációs csoportegyenlet nem a fenti egyenletet, hanem annak egyik következményeként értelmezi:

{\partial g \over \partial \ln(\mu )}=\psi (g)=\beta (g)

A renormalizációs csoportegyenlet mindkét formájának megvannak a maga pozitívumai és hátrányai. Ennek a jelölési formának az előnyei közé tartozik a csatolási állandó energiaskálától való függésének explicit formája, hátránya, hogy nem egyértelmű, hogyan néznek ki a modell anomális méretei. Ennek ellenére ez a fajta egyenlet jelentős szerepet játszott a kvantumelektrodinamika kialakulásában és az erős kölcsönhatás elméleti megalapozásában.

Lásd még

renormalizációs csoport

Irodalom

Vasziljev AN Kvantumtér renormalizációs csoport a kritikus viselkedés és a sztochasztikus dinamika elméletében. - Szentpétervár: PIYaF kiadó, 1998.