A mozgásegyenlet nem inerciális vonatkoztatási rendszerben

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. január 31-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 12 szerkesztést igényelnek .

A mozgásegyenletek egy nem inerciális vonatkoztatási rendszerben egy anyagi pont (1) mozgásegyenletei a konzervatív erők területén a klasszikus mechanikában , egy nem inerciális vonatkoztatási rendszerben (NFR) felírva, amely egy relatív mozgáshoz képest mozog . inerciális keret (ISR) a transzlációs mozgás sebességével és a forgómozgás szögsebességgel . ${\mathbf {V}}$ $\mathbf {\Omega }$

Az ISO -ban a mozgás Lagrange-egyenlete a következő alakú : [1] [2] :

m{\frac {d\mathbf {v} _{0}}{dt}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} )),

Az NSO-ban az egyenlet négy további tagot (az úgynevezett " Euler-féle tehetetlenségi erőket ") kap [3] :

m{\frac {d\mathbf {v} }{dt))=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}-m{\frac {d\mathbf {V } }{dt))+m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt))]+2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[\ mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]],

(egy)

ahol:

félkövér vektormennyiségeket jelöl, szögletes zárójelek - vektorszorzás ;
az index az ISO értékekre vonatkozik; $_{0}$
$t$ - idő;
$m$ a pont tömege;
$\mathbf{v}$ a pontsebességvektor;
$\mathbf {r}$ a pont sugárvektora ;
$U$ - potenciális energia .

A képlet származtatása

Bármely mozgás felbontható transzlációs és forgó mozgások kompozíciójára [4] . Ezért az IFR K 0 -ról az NSO K -ra való átmenetet két egymást követő lépés formájában tekinthetjük: először a K 0 -ból a közbenső K' referenciakeretbe való átmenetet, amely K 0 -hoz képest sebességgel halad előre , és majd K -re , amely K ' -hez képest szögsebességgel forog . ${\mathbf {V}}$ $\mathbf {\Omega }$

A legkisebb cselekvés elve nem függ a koordinátarendszertől, vele együtt a Lagrange-egyenletek is alkalmazhatók bármely koordinátarendszerben.

Lagrangian K' - ben ,

L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}+m\mathbf {v} '\mathbf {V} +{\frac {m\mathbf {V} ^{2}}{2}}-U,

(2)

úgy kapjuk meg, hogy a részecskesebesség transzlációs transzformációját behelyettesítjük az ISO-ban írt Lagrange-féle [5] -be : $\mathbf {v} _{0}=\mathbf {v} '+\mathbf {V}$

L_{0}={\frac {m\mathbf {v} _{0}^{2}}{2}}-U.

Mind az IFR, mind az NFR kifejezések leírják a részecske fejlődését a megfelelő vonatkoztatási rendszerben – az energiamegmaradás törvényében .

Mint ismeretes, azok a kifejezések, amelyek egyes függvények teljes időbeli származékai, kizárhatók a Lagrange-ból, mivel nem befolyásolják a mozgásegyenleteket (lásd Lagrange-mechanika ). A (2) képletben az idő függvénye, és így egy másik időfüggvény teljes deriváltja, a megfelelő tag elhagyható. óta , $\mathbf {V} ^{2}$ $\mathbf {v} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt))$

m\mathbf {v} '\mathbf {V} =m\mathbf {V} {\frac {d\mathbf {r} '}{dt))={\frac {d}{dt))( m\mathbf {V} \mathbf {r} ')-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} ',

ahol a teljes idő derivált ismét elhagyható. Ennek eredményeként Lagrange (2) átalakul $m\mathbf {V} \mathbf {r} '$

L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} '- U.

(3)

Amikor K'-ről K- ra haladunk (tiszta forgás), a sebesség -kal változik . A (3) egyenletbe behelyettesítéskor a Lagrange-t K -ben képezzük (figyelembe véve, hogy ): $[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]$ $\mathbf {v} '=\mathbf {v} +[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]$ $\mathbf {r} =\mathbf {r} '$

L={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+{\frac {m }{2}}[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]^{2}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} -U.

Ennek a Lagrange-nak a teljes differenciája így néz ki:

dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]+m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ][\mathbf {\Omega} d\mathbf {r} ]-m{\frac {d\mathbf {V} } {dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r}

A Lagrange-képlet alkalmazásával és a műveletek sorrendjének megváltoztatásával a vektorok vegyes szorzatában a Lagrange-differenciál a következőképpen írható át:

dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+md\mathbf {r} [\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]\mathbf {\Omega } ]d\mathbf {r} -m{\frac {d\mathbf {V} }{ dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r} .

A Lagrange részleges származékai a következőképpen alakulnak : $\mathbf{v}$ $\mathbf {r}$

{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=m\mathbf {v} +m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ],

{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r } ]\mathbf {\Omega } ]-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt))-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} )).

Miután a parciális deriváltokat behelyettesítettük a standard mozgásegyenletbe Euler-Lagrange formában

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }} ,

(1) képletet kapunk.

Fizikai jelentés

Az (1) vektoregyenlet egy anyagi pont mozgását írja le nem inerciális vonatkoztatási rendszerben (NRS), amely egy tehetetlenségi kerethez (ISR) képest mozog, transzlációs sebességgel és forgási szögsebességgel . Ebben az esetben a testre ható külső erőt, amely transzlációs mozgást biztosít, egy potenciálmező helyettesíti , amelyben konzervatív erők hatnak . [6]

Ugyanakkor az NFR IFR-hez viszonyított mozgását hordozhatónak nevezzük, aminek következtében az NFR-hez kapcsolódó sebességeket, gyorsulásokat és erőket is hordozhatónak nevezzük. [7] [8]

A kifejezés az (1) egyenlet [9] jobb oldalán lévő erők összegének eredő vektora . $m{\frac {d\mathbf {v} }{dt))$

Egy külső térben lévő részecske potenciális energiájának parciális deriváltja az erők "alkalmazási pontjának" sugárvektora mentén meghatározza a külső forrásokból ható összes erő összegét [9] , $U$ $\mathbf {r}$

-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}

Az egyenletes erőtérben ható hordozható erő kifejezése, amelyet viszont a rendszer felgyorsult transzlációs mozgása okoz, a következő formában van:

m{\frac {d\mathbf {V} }{dt))

ahol a referenciarendszer transzlációs mozgásának gyorsulása [9] . ${\frac {d\mathbf {V} }{dt))$ $K'$

Az (1) egyenletben szereplő "tehetetlenségi erők" a vonatkoztatási rendszer elfordulása miatt három részből állnak.

Az első rész egy hordozható erő, amely a referenciakeret egyenetlen forgásához kapcsolódik [9] :

m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt))]

A második rész

2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]

a Coriolis-erő kifejeződése . A klasszikus mechanikában figyelembe vett szinte minden nem disszipatív erőtől eltérően értéke a részecske sebességétől függ [9] .

A harmadik részt egy hordozható centrifugális erő képviseli

m[\mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]]

A és a -n átmenő síkban fekszik , és a HCO forgástengelyére (vagyis a ) irányára merőlegesen, a tengelytől távolodik. A centrifugális erő nagysága , ahol a részecske és a forgástengely közötti távolság. [9] $\mathbf {r}$ $\mathbf {\Omega }$ $\mathbf {\Omega }$ ${\displaystyle m\rho \Omega ^{2))$ $\rho$

Jegyzetek

↑ Landau, Lifshitz, 1988 , p. 163.
↑ Egy skaláris mennyiségnek egy vektorhoz viszonyított deriváltja itt és lent olyan vektorként értendő, amelynek komponensei ennek a skaláris mennyiségnek a származékai a vektor megfelelő komponenseihez képest.
↑ Landau, Lifshitz, 1988 , p. 165.
↑ Arnold, 1979 , p. 107.
↑ Landau, Lifshitz, 1988 , p. 164.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. 34. § Merev test mozgása. //T. I. Mechanika. Elméleti fizika. - 5. - M.: FIZMATLIT, 2004. - S. 166-168. — 222 p. — ISBN 5-9221-0055-6.
↑ Targ S. M. Az elméleti mechanika rövid kurzusa. - 20.- Moszkva "Felsőiskola", 2010, - S. 156 - 416 p. ISBN 978-5-06-006193-2
↑ Nikolaev V.I. Tehetetlenségi erők a fizika általános kurzusában. „Testnevelés az egyetemeken”, v.6, N 2, 2000. - ISSN 1609-3143 (nyomtatott), 1607-2340 (on-line).
↑ 1 2 3 4 5 6 Landau L. D., Lifshits E. M. § 34. Egy merev test mozgása. //T. I. Mechanika. Elméleti fizika. - 5. - M.: FIZMATLIT, 2004. - S. 168. - 222 p. — ISBN 5-9221-0055-6.

Irodalom

L. D. Landau, E. M. Lifshits. 39. § Mozgás nem inerciális vonatkoztatási rendszerben // Elméleti fizika . - M . : Nauka, 1988. - T. I. Mechanika. - S. 163-167. — 216 p. — ISBN 5-02-013850-9 . (Orosz)
V. I. Arnold. 26. § Mozgás mozgó koordinátarendszerben // A klasszikus mechanika matematikai módszerei . - M . : Nauka, 1979. - S. 106-110. — 432 p. (Orosz)

mechanikus mozgás
referenciarendszer	inerciális vonatkoztatási rendszer Nem inerciális vonatkoztatási rendszer Összetett mozgás A relativitás elve
Anyagi pont	Egységes mozgás Egyenes vonalú mozgás Mozgásegyenlet Mozgásegyenletek nem inerciális vonatkoztatási rendszerben Pálya (útvonal) mozgó Sebesség Gyorsulás ( centripetális gyorsulás érintőleges gyorsulás ) bunkó
Fizikai test	transzlációs mozgás Sík-párhuzamos mozgás ( Párhuzamos fordítás ) Gömb alakú mozgás ( Forgó mozgás Körkörös mozgás Precesszió nutáció )
folytonosság	lamináris áramlás turbulens áramlás
Kapcsolódó fogalmak	Sebesség terv A vonat vontatása Hat szabadságfok