Tétel egy lapos hiperboloid egyenes vonalú generátorairól

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2017. szeptember 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az egylapos hiperboloid minden pontján két különböző egyenes halad át , amelyek teljes egészében ezen a felületen találhatók.

Bizonyítás

Tekintsük az és egyeneseket, amelyek a síkok metszésvonalaként vannak megadva : $L_{1}$ $L_{2}$

$L_{1}:\quad \alpha \left({x \over a}-{z \over c}\right)=\beta \left(1-{y \over b}\right);\ ;\beta \left({x \over a}+{z \over c}\right)=\alpha \left(1+{y \over b}\right);\;\alpha ^{2}+\ béta ^{2}\neq 0$

$L_{2}:\quad \gamma \left({x \over a}-{z \over c}\right)=\delta \left(1+{y \over b}\right);\ ;\delta \left({x \over a}+{z \over c}\right)=\gamma \left(1-{y \over b}\right);\;\gamma ^{2}+\ delta ^{2}\neq 0$

A vonalak teljes egészében a felületen fekszenek (ennek megtekintéséhez elég a síkok egyenleteit tagonként megszorozni). Sőt, a felszín minden pontján áthalad az egyetlen vonal a családból és az egyetlen vonal a családból . Ezek a vonalak (vagyis számpárok és ) homogén lineáris algebrai egyenletrendszerekből származnak : $L_{1}$ $L_{2}$ $M_{0}(X_{0},Y_{0},Z_{0})$ $L_{1}$ $L_{2}$ $\alpha ,\beta$ $\gamma ,\delta$

$\alpha ,\beta :\quad \alpha \left({X_{0} \over a}-{Z_{0} \over c}\right)=\beta \left(1-{Y_{0 } \over b}\right);\;\beta \left({X_{0} \over a}+{Z_{0} \over c}\right)=\alpha \left(1+{Y_{0 }\fölött b}\jobbra)$

$\gamma ,\delta :\quad \gamma \left({X_{0} \over a}-{Z_{0} \over c}\right)=\delta \left(1+{Y_{0 } \over b}\right);\;\delta \left({X_{0} \over a}+{Z_{0} \over c}\right)=\gamma \left(1-{Y_{0 }\fölött b}\jobbra)$

amelyek mátrixai degeneráltak (azaz a rendszereknek nem triviális megoldásai vannak), és rangjuk 1-gyel egyenlő (azaz az egyes rendszerek összes megoldása arányos és egyetlen egyenest határoz meg). Hozzá kell tenni, hogy az egyenesek nem esnek egybe (elegendő ellenőrizni irányvektoraik nem-kollinearitását ).

Lásd még

Hiperboloid