Picard-tétel (komplex elemzés)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2018. november 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az összetett változó függvények elméletében két tételt neveznek el S. E. Picard tiszteletére , amelyeket hagyományosan Picard nagy és kicsi tételének neveznek.

Picard kis tétele

Megfogalmazás

Egy teljes függvény tartománya , kivéve az állandót, a teljes komplex sík , talán csak egy pont kivételével.

Bizonyítás

Picard kis tétele Landau tételének egy speciális esete . Mutassuk meg, hogy feltéve, hogy egy egész függvény két különböző véges értéket ad , és és és nem azonosan állandó, akkor Landau tétele alapján azonnal ellentmondáshoz jutunk. $F z)$ $a$ $b$

Tekintsünk egy függvényt . Az egész síkban holomorf, nem vesz fel értékeket , és nem azonosan állandó. Ezért van egy ilyen pont - a koordináták origójának vesszük, ahol a derivált nem egyenlő nullával. Legyen függvényünk kiterjesztése egy hatványsorban . $F(z)={\frac {f(z)-a}{ba}}$ $0$ $egy$ $\backprime F'(0)=\béta$ $F(z)=\alpha +\beta z+a_{{2}}z^{{2}}+...$

Mivel a függvény holomorf, és nem vesz fel értékeket egy tetszőleges sugarú körön belül : , akkor Landau tétele szerint . $F z)$ $0$ $egy$ $R$ $|z|<R$ $R<\Omega (\alpha ,\beta )$

Ennek az egyenlőtlenségnek a következetlensége nyilvánvaló, mivel a bal oldalon tetszőlegesen nagy szám található, a jobb oldalon pedig egy állandó szám . $R$ $\omega (\alpha,\beta)$

Picard nagy tétele

Legyen egy függvény holomorf egy pont szúrt környezetében , és legyen lényeges szingularitása a pontban . Ezután az összes értéket felveszi, talán egy kivételével, végtelen számú alkalommal. $f$ $U(z_{0})$ $z_{0}\in \mathbb {C}$ $z_{0}$ $f$ $U(z_{0})$

Ez bizonyos értelemben Sochocki tételének általánosítása . A bizonyítás a Schottky-egyenlőtlenséget használja .

Jegyzetek

Valójában Picard kis tétele a nagy tétel következménye, mivel Liouville tétele szerint egy egész függvény vagy polinom, vagy lényegi szingularitása van a végtelenben.
Picard nagy tétele megenged egy általánosítást a meromorf függvények esetére . Legyen egy Riemann-felület , egy Riemann-gömb , és egy holomorf függvény, amelynek lényegi szingularitása van egy pontban. Ezután a pont bármely környezetében a függvény szinte minden értéket felvesz , kivéve kettőt. $M$ $\mathbf {P} ^{1}\mathbb {C}$ $f\colon M\setminus {w}\to \mathbf {P} ^{1}\mathbb {C}$ $w$ $U(w)\M részhalmaz$ $w$ $f$ $\mathbf {P} ^{1}\mathbb {C}$

Például a meromorf függvény

f(z)={\frac {1}{1-\exp {1/z}}}

a pontban esszenciális szingularitása van, és eléri a bármely szomszédságát , de sehol sem egyenlő 0-val vagy 1-gyel.

z=0

\infty

U(0)

Irodalom

Polovinkin E. S. Előadások egy komplex változó függvényelméletéről, - M . : Fizmatkniga, 2003. - M. , MIPT Kiadó, 2003. - 203 s - ISBN 5-89155-115-9
Shabat B. V. Bevezetés a komplex elemzésbe, - Szentpétervár. : Doe, 2004. - 336 s - ISBN 5-8114-0568-5 ( ISBN 5-8114-0567-7 )
Privalov II. Bevezetés az összetett változó függvényeinek elméletébe. - 12-én. - M. , 1977.