Earnshaw tétele

Az Earnshaw  -tétel az elektrosztatikus térről szóló tétel, amelyet a 19. században Earnshaw angol fizikus fogalmazott meg 1842-ben [1] .

Ez a Gauss-tétel következménye .

Earnshaw tétele egy tisztán klasszikus (nem kvantum) tétel , és nincs kvantumanalógja .

Megfogalmazás

A ponttöltések bármely egyensúlyi konfigurációja instabil, ha a Coulomb -vonzó- és taszítóerőn kívül semmilyen más erő nem hat rájuk.

• Magától értetődik, hogy a ponttöltések „áthatolhatatlanok”, vagyis nem foglalhatnak el egybeeső helyet a térben (azaz érthető, hogy ebben az esetben, mielőtt a ponttöltések ilyen helyzetbe kerülnének, nem Coulomb-jellegű erők lépnek fel. kezdenek hatni köztük például a felületek rugalmas erői - ha egy ponttöltést egy véges méretű kis test határesetének tekintünk [2] ); más szóval, a térbeli pozícióban egybeeső pozitív és negatív töltésekkel fennálló egyensúly nyilvánvaló eseteit a tétel feltétele kizárja a számításból. Ezt az "áthatolhatatlanság" alternatívájaként motiválhatja az a tény, hogy az ilyen esetek triviálisak, ezért nem érdekesek, és fizikailag is kétségesek (ilyen helyzetben a töltések végtelen kölcsönhatási energiáját jelentik).
• A tétel megfogalmazásához "külső" elektrosztatikus mezők is hozzáadhatók (fix források által létrehozott).
• Maga a tétel nem állítja, hogy az egyensúly egyáltalán lehetséges. Nem nehéz azonban példákat találni arra vonatkozóan, hogy a ponttöltések instabil stacionárius konfigurációi is létezhetnek. Itt az instabilitás alatt azt értjük, hogy az álló konfigurációtól való bármilyen kis eltérés az instabilitás növekedéséhez és a rendszerkonfiguráció összeomlásához vezet.

Bizonyítás

A bizonyításnak két változata létezik, amelyek teljesen egyenértékűek az elektrosztatika keretében, és elvileg ugyanazon a fizikai (matematikai) elgondoláson alapulnak, kissé eltérő kifejezésekkel kifejezve .

Az elsőt a térerősség szempontjából valósítjuk meg, és a Gauss-tételen alapul , a másodikat a potenciál szempontjából, és a Laplace (vagy Poisson ) egyenletre épül.

Az első módszer előnye, hogy nem csak potenciálterek esetén alkalmazható , azaz nem igényli, hogy a térerősséget teljesen skalárpotenciálon keresztül fejezzük ki . Ebben az esetben elég, ha betartja a Gauss -törvényt [3] .

A potenciál tekintetében a bizonyíték valamivel egyszerűbb és geometriailag egyértelműbb.

Bizonyítás térerősség szempontjából

Vegyünk egy pozitív ponttöltést. A rá ható erő az elektrosztatikus tér vektora mentén irányul. A tér bármely pontján kialakuló stabil egyensúlyhoz az szükséges, hogy az attól való (kis) eltéréssel helyreállító erő kezdjen hatni rá. Azaz elektrosztatika esetén egy ilyen pont létezéséhez szükséges, hogy ennek a pontnak egy kis szomszédságában az összes többi töltés által létrehozott térvektor felé (az irányába) irányuljon. Vagyis a mezővonalaknak egy ilyen ponthoz kell konvergálniuk, ha létezik. Ez azt jelenti ( a Gauss-tétel miatt ), hogy negatív töltést is tartalmaznia kell. De az egyensúly ilyen változata nem elégíti ki a tétel feltételét (ha például a ponttöltéseket nagyon kicsi tömör golyóknak tekintjük, akkor a leírt egyensúlyi helyzet elérése előtt felületekkel ütköznek, azaz valós egyensúlyban ott nem elektrosztatikus jellegű erők lesznek, ha ezeket matematikai pontoknak tekintjük, ez a megoldás végtelen kölcsönhatási energiát fog tartalmazni, ami fizikailag nem elfogadható, és ha kicsit más szemszögből nézzük, akkor ez meghaladja az alkalmazhatóságot. a klasszikus elektrosztatika).

A Gauss-tétel szempontjából egy (minden oldalról egy bizonyos pontra irányított) helyreállító erő fellépése azt jelenti, hogy a külső erők intenzitásának vektora negatív áramlást hoz létre az állítólagos pontot körülvevő kis felületen keresztül. egyensúlyi. A Gauss-tétel azonban kimondja, hogy a külső erők felületen keresztüli áramlása nulla, ha ezen a felületen belül nincs töltés [4] . Ellentmondást kapunk.

Negatív töltés esetén a mérlegelés teljesen analóg.

Bizonyítás a potenciál tekintetében

Tekintsük az egyik ponttöltést a többi mezőjében, és mutassuk meg, hogy ha egyensúlyban van, akkor csak instabilban van. (Ezt a díjat megkülönböztetettnek fogjuk nevezni).

Tegyük fel, hogy a felszabaduló töltés egyensúlyban van (az ellenkező eset nem érdekes).

A többi töltés által a kiválasztottunk környezetében keltett potenciál engedelmeskedik a Laplace-egyenletnek (kivéve, ha ezen töltések egyike egybeesik a kiválasztott töltés helyzetével, amit a tétel megfogalmazása kizár [5] ), mivel ez egy elektrosztatikus mező, és ezen a területen a térnek hiányzik a forrása (egyéb töltések).

Laplace-egyenlet:

ennek következménye a következő kijelentés:

• vagy a potenciál egy második deriváltja néhány koordinátához képest - vagy (vagyis a bal oldalon lévő három tag egyike) kisebb, mint nulla,
• vagy mindhárom derivált egyenlő nullával.

Az első esetben nyilvánvaló, hogy a potenciálnak egy adott pontban nincs minimuma , ami azt jelenti, hogy a kérdéses töltés potenciális energiája ezen a ponton nem rendelkezik vele, azaz egyensúlya instabil.

A második eset két lehetőségre oszlik:

1. Ha a potenciál mindhárom második deriváltja nullával egyenlő nemcsak a pontban, hanem annak véges szomszédságában is (és magának a pontnak az első deriváltja az egyensúlyi feltételezés alapján nullával egyenlő), akkor a potenciál ez a szomszédság állandó, és nyilvánvalóan közömbös egyensúlyról van szó, vagyis nem stabil egyensúlyról van szó. Kimutatható, hogy véges számú pontforrás esetén ez a változat egyáltalán nem valósul meg. [6]

2. Ha a potenciál mindhárom második deriváltja csak egyetlen pontban egyenlő nullával (az úgynevezett lapítási pontban ), akkor kimutatható, hogy [7] :

• a figyelembe vett pont még mindig nem szélsőséges pont;
• ez az eset maga egyik választott töltésre sem valósítható meg, például nem valósul meg a szélső töltéseknél, amelyeknél a potenciál második deriváltja mindig nem nulla [8] .

A fenti bizonyítás tehát az első esetre (az általános helyzetre) elég teljes, és csak az egyes speciális esetekben felmerülő kérdéseket és az azokra adott válaszokat vázolja fel.

E kérdések megválaszolásának legegyszerűbb módja a Gauss-tételen alapuló megközelítés.

Általánosítások

• Triviális lesz megjegyezni, hogy a tétel nem csak az elektrosztatikára igaz, hanem a Coulomb-törvény szerint csökkenőnek írt erők mezejére is [9] (például a newtoni gravitációs erőkre [10] ).
• A tétel a magnetosztatikára is igaz fix dipólusok és áramok esetén (indukált mágneses momentumok jelenlétében ez megsérülhet - lásd az alábbi példát). A bizonyítás kulcsa itt Gauss-tétel a mágneses térre vonatkozóan . A magnetosztatika bizonyítása elvileg az elektrosztatikus esetre redukálható az Ampère-féle mágneses laptételek segítségével , de ekkor a tétel elektrosztatikus megfogalmazását nem pontrészecskékre, hanem kiterjesztett szilárdtestekre kell használni (lásd a következő bekezdést).
• A tétel igaz (ebben az esetben a megfogalmazást kissé módosítani kell [11] ) ponttöltések merev rendszereire és rögzített [12] töltött szilárd (abszolút szilárd) testekre (egymás számára áthatolhatatlan - bizonyos értelemben hasonló a ponttöltésekre vonatkozó megfogalmazásban feltüntetetteket – vagyis legalább a szilárd anyagok töltött tartományait). A bizonyítás lényege, hogy egy merev test kis transzlációs elmozdulásait vegyük figyelembe (elfordulások nélkül). Ekkor egy merev töltésrendszer potenciális energiája [13] egyszerűen az egyes töltések összege, szorozva a közelében lévő potenciállal, a test teljes elmozdulása miatt minden alkalommal egy pontban:

Mivel az egyes pontok közelében lévő potenciál kielégíti a Laplace-egyenletet (érthető, hogy egy másik test töltései végtelen közelségben hiányoznak az adott töltésétől, áthatolhatatlanságuk miatt), így ezek lineáris kombinációja (együtthatós összeg) is kielégíti, vagyis  kielégíti a Laplace-egyenletet is [14] , ami azt jelenti, hogy nem lehet minimuma.

• Nyilvánvalóan igaz a tétel a rugalmasság esetére is, a Hooke-törvény értelmében töltési kapcsolatokra.
• A tétel igaz az indukált dipólusmomentumok esetére (elektrostatikában és magnetosztatikában) , feltéve , hogy az indukált dipólusok polarizálhatósági együtthatója pozitív.
• A tétel nem igaz a negatív polarizálhatóságú külső tér által indukált dipólusokra. Egy ilyen eset láthatóan nem valósul meg természetesen elektromos dipólusoknál (a dipólusmomentum mesterséges szabályozásának esetét itt nem értjük, az alábbiakban tárgyaljuk).

Az indukált mágneses dipólusok esetében azonban a negatív polarizálhatóság esete meglehetősen gyakran előfordul, például diamágneses vagy szupravezető testeknél, amelyekre ezért az Earnshaw-tétel általánosítása nem állja meg a helyét , vagyis számukra a stabil egyensúly nagyon lehetséges. ( W. Braunbeck , 1939 ) [15] .

• Teljesen nyilvánvaló, hogy az Earnshaw-tétel nem alkalmazható kölcsönösen áteresztő szilárd anyagok esetére. Például két egyenletes töltésű (azonos előjelű, azonos vagy eltérő nagyságú) golyó (azonos vagy eltérő átmérőjű, beleértve az egyik golyó helyett ponttöltést is) kölcsönhatásában, ott stabil egyensúly lesz olyan helyzetben, ahol középpontjuk egybeesik. Igaz, egy ilyen elméleti modell gyakorlati értéke, mint a kölcsönösen áteresztő szilárd anyagok, nem egészen világos.

Alkalmazási határok

A tétel alkalmazhatóságának alapvető-elméleti korlátai

Earnshaw tétele önmagában (és a cikkben leírtak szerint) tisztán klasszikus (nem kvantum) tétel. Ez határozza meg az alkalmazási terület fő alapvető határát.

Sőt, bár egyes konkrét esetekben meg lehet fogalmazni egy bizonyos kvantumanalógot, általánosságban és sok konkrét kulcs- és alapvető esetben azonban lehetetlen egy ilyen általánosítás (kivéve persze az ellenkezőjét tartalmazó tételt). általánosításnak minősül).

Dióhéjban a lényeg az, hogy kvantumesetben (vagyis amikor nem lehet a klasszikus közelítésre szorítkozni) általában véve nincs kölcsönös áthatolhatatlanság (például egy elektron és egy proton is elfoglalhatja a ugyanazon a helyen, áthaladnak egymáson, sőt ilyenkor "figyelmen kívül hagyják" egymást, kivéve az elektromágneses [16] kölcsönhatást. Ráadásul maga a klasszikus pontrészecske fogalma kvantumesetben - vagyis pl. ha figyelembe vesszük a proton és az elektron egyensúlyát, akkor az atomátmérő nagyságrendjének térbeli skáláján a pontrészecske fogalma eltűnik [17] .

Mindebből a helyzet radikális változása következik a töltött részecskék stabil egyensúlyának lehetőségével kvantumesetben.

Lényegében azt mondhatjuk, hogy a hidrogénatom a proton és az elektron stabil egyensúlya, amely csak elektrosztatikusan kölcsönhatásba lép [18] .

Alkalmazott szempont

A mérnöki tudományban az Irnshaw-tétel bizonyos megszorításokhoz kapcsolódik egy bizonyos test stabil elszigetelésének (vagy felfüggesztésének) mérnöki problémájának megoldására mezők (elektromos, mágneses, gyakran természetes gravitációs mezővel kombinálva), azaz közvetlen érintkezés nélkül. szilárd és általában anyagtartó szerkezetek.

Ezek a korlátozások azonban megkerülhetők.

Az ehhez használt fő módszerek a következők:

1. Mágneses mező és negatív mágneses szuszceptibilitású test (diamágnes) vagy szupravezető alkalmazása - ideális diamágnes. Ebben az esetben lehetséges a természetes stabilitás elérése további mezők használata nélkül (és energiaköltségek nélkül). Elegendő a térforrások konfigurációját és a diamágneses test alakját helyesen kiválasztani.
2. További nem potenciális erők alkalmazása. Érdekes eszköz például a Levitron , amely egy forgó tetejét használja a levitációhoz . Ebben az esetben a felső alakú mágnes egy potenciálkútban van, és a giroszkóp hatást használják a dőlés instabilitás leküzdésére.
3. Rendszerek használata a visszatartott test tartómezőjének és/vagy elektromos vagy mágneses paramétereinek (töltés, elektromos vagy mágneses dipólusmomentum stb.) automatikus vezérlésére .

Alkalmazás

Earnshaw tétele történelmileg fontos szerepet játszott az atom szerkezetének elméletében – az atommal, mint statikus töltésrendszerrel kapcsolatos feltételezéseket ennek alapján elvetették, és az atom bolygómodelljét vezették be az atom stabilitásának magyarázatára. . Azonban lásd fent .

Alkalmazott értéket kapott a technológiában ( lásd fent ).

Jegyzetek

1. ↑ Earnshaw, Samuel (1842). A fényes éter felépítését szabályozó molekuláris erők természetéről. Trans. Camb. Phil. szoc. 7: pp. 97-112.
2. ↑ Megjegyzendő, hogy ha a ponttöltéseket tekintjük a szilárd, de egymásnak abszolút áteresztő testek határesetének, akkor lehetségesnek bizonyul egy ilyen egyensúly (részleges) semlegesítéssel, azonban a ponttöltés ilyen modellje elvetették a tétel megfogalmazásakor, mint fizikailag irreális (és mindenesetre végtelen kölcsönhatási energiákat ad a ponthatárhoz).
3. ↑ Például egy ilyen bizonyítás érvényben marad, ha az elektrosztatikus mezőkhöz külső örvényes elektromos mezőt adunk (ami az elektrodinamikában bizonyos ideig változás nélkül is előfordulhat).
4. ↑ Nem azt a töltést értjük, amelynek egyensúlyát vizsgáljuk, hanem néhány egyéb töltést, amelyek egy olyan mezőt hoznak létre, amelyben ennek a töltésnek az egyensúlyát figyelembe vesszük.
5. ↑ Az összes fenntartás megvitatásához lásd a szövegezési bekezdést .
6. ↑ Ahhoz azonban, hogy a tételt a folytonos töltéseloszlású szilárd testekre általánosítsuk, elég gyakran előfordul az indifferens egyensúly esete (Lásd Általánosítások ). Ha azonban egy szuperponált kötés nélküli ponttöltések rendszerét tekintjük, végtelen számú töltést feltételezve, akár folyamatos töltéseloszlást, akkor a töltések egy része közömbös egyensúlyban lehet (például diszkrét ponttöltés üreges töltött gömb középpontja, de a többi töltés egyensúlya (extrém) nem lehet közömbös (ezt itt nem bizonyítjuk).
7. ↑ Itt nincs megadva mindkettő bizonyítása. Elvileg ezeknek a finom jellemzőknek a figyelembe vétele némileg sérti a megközelítés egyszerűségét a szigorú bizonyítási lehetőség felhasználásával. Bár a „szigorúság fizikai szintjén” minden bizonnyal világos és egyszerű.
8. ↑ Legalábbis a tétel véges számú diszkrét töltéses változatában. A folytonos (végtelen számú) töltéseloszlást feltételező változat esetében ezt az állítást tovább kell finomítani.
9. ↑ Mivel az Earnshaw-tétel gravitációra való alkalmazása (ha nem vesszük figyelembe az antigravitációt) nem érdekes - lásd a következő megjegyzést, akkor az ismert alapvető erők között egyszerűen nincs más jelölt az alkalmazására, kivéve az elektromos és a mágneses erőket. Alkalmazható azonban minden olyan esetben, amikor ilyen erőket pusztán elméletileg vezetnek be, valamint olyan esetekben, amikor a Coulomb-féle erők valamilyen fenomenológiai elméletben (például a hidrodinamikában) megjelennek.
10. ↑ A newtoni gravitáció példája, bár formailag teljesen helyes, nem túl értelmes. Az a helyzet, hogy nemcsak a newtoni, hanem bármely más gravitációs elméletben is, ha csak vonzást implikál, az Earnshaw-tétel nélkül is teljesen nyilvánvaló, hogy a vonzó tárgyak ütközésén kívül nincs más (statikus) egyensúly.
11. ↑ Az eredeti tétel szigorú instabilitását fel kell cserélni egy nem szigorúra, vagyis a közömbös egyensúly esete elfogadhatóvá válik (és elvileg nem is túl ritka).
12. ↑ Itt azt az esetet vesszük figyelembe, amikor a töltések nem lényegesek, pontszerűek vagy elosztottak, mereven rögzítettek a szilárd testek térfogatában vagy felületén (vagy így vagy úgy, merev kötésekkel összekötve).
13. ↑ A bizonyítás egy változatát az erők és a térerősség szempontjából is megfontolhatjuk, ahogy a cikk főtételének bizonyításakor is megtették, nem pedig a potenciális energia és potenciál tekintetében, ami teljesen egyenértékű lenne. Itt azonban a rövidség és az egyszerűség kedvéért a második lehetőségre szorítkozunk.
14. ↑ Valójában ezen a ponton a merev testre vonatkozó tételt ponttöltések tételére redukáltuk.
15. ↑ Fizikai enciklopédia, "Earnshaw tétele" cikk.
16. ↑ És az egyensúly vizsgálatával összefüggésben beszélünk - főleg az elektrosztatikusról.
17. ↑ Vagy ha úgy tetszik, a felismerhetetlenségig megváltozik. Már maga a pontrészecske kifejezés is , ahogyan a kvantumfizikában általában használják, lényegében teljesen mást jelent, mint a klasszikusban, nagyjából nem lenne túl nagy túlzás azt állítani, hogy a pontrészecske kifejezés használata kvantumesetben pusztán önkényes, és szinte véletlenül egybecseng a kifejezés klasszikus értelmezésével.
18. ↑ Érvelhetnénk (a kvantumelmélet születésének idejéből származó fizikusokkal együtt), hogy ez az egyensúly nem teljesen statikus. Valójában egy hidrogénatomban lévő elektronnak van kinetikus energiája és a lendület négyzete. A kvantummechanikában azonban az elektron egyszerűen nem tud teljesen megállni, legalábbis ahhoz, hogy megálljon, az egész végtelen teret el kell foglalnia. Tehát azt mondhatjuk, hogy vagy a statikus egyensúly fogalma kvantum esetben teljesen eltűnik (alkalmazhatatlanná válik), vagy abban kell egyetérteni, hogy a hidrogénatom alapállapotban (nem gerjesztett) egy proton és egy elektron egyensúlya statikusként. ahogy ez általában kvantumesetben lehetséges.