Bogomolov dekompozíciós tétele

Bogomolov dekompozíciós tétele a Kähler-sokaságok szerkezetét írja le egy triviális kanonikus köteggel (vagy általánosabban, amelynek valódi első Chern-osztálya a kanonikus köteg nullával egyenlő). Az ilyen típusú elosztókkal kapcsolatos információkért lásd a Calabi-Yau elosztó cikket .

Megfogalmazás

Legyen egy kompakt Kähler-elosztó, legyen annak kanonikus kötege, és . Ekkor van egy véges borítás , amelyre egy holomorf izomorfizmus érvényes , ahol: $x$ $K_{X}=\Lambda ^{\dim X}T^{*}X$ $c_{1}(K_{X})=0\in H^{2}(X,\mathbb {R} )$ ${\widetilde {X}}\to X$ ${\displaystyle {\widetilde {X}}=T\times \prod _{j}Y_{j}\times \prod _{k}Z_{k))$

$T$ egy összetett tórusz ,
${\displaystyle Y_{j))$ szigorú Calabi-Yau fajták , vagyis olyan triviális kanonikus osztályú fajták, amelyek és a számára . $h^{0,0}(Y_{j})=h^{\dim Y_{j},0}(Y_{j})=1$ $h^{p,0}(Y_{j})=0$ ${\displaystyle 0<p<\dim Y_{j))$
$Z_{k}$ irreducibilis , holomorf szimplektikus sokaságok , vagyis olyan sokaságok, amelyek beengednek egy sehol sem degenerálódott zárt holomorf 2-formát, így a páros és páratlan -re . $h^{q,0}(Z_{k})=1$ $q$ $h^{q,0}(Z_{k})=0$ ${\displaystyle 0\leqslant q\leqslant \dim Z_{k))$

Itt vannak a Hodge-számok , a de Rham-kohomológia osztályok Hodge-típusú formákkal ábrázolt tereinek méretei . $h^{r,s}$ $(r,s)$

Történelem

Bebizonyosodott a dekompozíciós tétel egy korai változata, amely nem tett különbséget a Calabi-Yau sokaságok és a holomorf szimplektikus sokaságok között, és csak egy véges burkolat létezését állította, amely egy összetett tórusz szorzatára hasad és egyszerűen összekapcsolja a sokaságokat triviális kanonikus kötegekkel. Calabi nevének feltételezése alapján 1957 -ben. [1] A Calabi-sejtést Yau igazolta 1977-1978-ban.

Bogomolov eredeti bizonyítása , amelyet 1973-ban és 1974-ben publikáltak egy cikksorozatban, [2] [3] [4] nem alkalmazta a Calabi-Yau tételt. Azonban a következő összetett kijelentésre támaszkodik:

Lemma. Legyen egy egyszerűen összekötött kompakt Kähler-elosztó egy triviális kanonikus köteggel, és legyen egy olyan rangsor, amelynek legmagasabb külső foka is egy triviális köteg. Ezután következik a dekompozíció , és . $M$ $E\subsetTM$ $m$ $\Lambda ^{m}E$ $M=Q\times R$ $TQ=E$

Anélkül, hogy feltételeznénk a szóban forgó részsor legmagasabb külső fokának triviálisságát, ez egy rendkívül nehéz kérdés, amely még nem teljesen megoldott. Hogy ez a feltevés pontosan hogyan segíti a bizonyítást, az nem teljesen világos (bár ezzel az állítás igazzá válik, már csak azért is, mert maga Bogomolov tételéből következik).

A Calabi-sejtés Yau-féle megoldása után Bogomolov tételének egy teljesen szigorú bizonyítása vált széles körben ismertté a szakemberek körében. Formálisan Beauville 1983 -as Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle című lapjában jelent meg , [5] ezért a tételt néha "Beauville-Bogomolov-tételnek" vagy "Beauville-Bogomolov-Calabi-tételnek" is nevezik. Emellett Beauville kijavította Bogomolov egy lényeges hibáját: az 1978-as Hamiltoni Kähleri sokaságok [6] című cikkében Bogomolov bemutatta a dekompozíciós tétel lényeges erősítését, amely szerint minden irreducibilis holomorf szimlektikus sokaság (ahogyan Bogomolov nevezi, primitív Hamiltoni sokaság ) ) egy K3-as felület . Beauville megjegyezte, hogy a nulldimenziós alsémák Hilbert -sémája egy K3-felületen ellenpéldaként szolgálhat erre az állításra. Ebből a megfigyelésből az összetett geometria hatalmas ága nőtt ki, amelyet holomorfikusan szimlektikusnak vagy hiperkähleri geometriának neveznek.

Ugyanakkor Yau megoldása a Calabi-sejtésre a parciális differenciálegyenletek elméletének nehéz technikáit alkalmazza, míg Bogomolov bizonyítása sokkal geometrikusabb.

A bizonyítás vázlata

Yau Calabi sejtése szerint egy kompakt Kähleri-féle sokaság, amelynek kanonikus kötegének valódi Chern-osztálya nulla, beenged egy Ricci-lapos Kähleri-metrikát. Holonómiája a speciális unitárius csoportban rejlik ; A de Rham-féle dekompozíciós tétel szerint ennek a sokaságnak az univerzális borítása szorzattá bomlik , ahol egyszerűen összekapcsolják a kompakt Kähler-csonkokat, amelyekben egy irreducibilis holonómiacsoport található . Különösen ezek az elosztók maguk Ricci-laposak; a Cheeger-Gromall tételből következik, hogy kompaktak, és mivel egy szimmetrikus Kähler-sokaság Ricci-görbülete szigorúan pozitív, ezek a sokaságok nem lokálisan szimmetrikusak, így holonómiacsoportjuk a Berger-tabló egyik csoportja . Ezen csoportok közül csak a és csoportok foglalhatók bele (egy kvaterniótér egységes transzformációinak csoportjába, vagy ezzel egyenértékűen a nem degenerált komplex ferde-szimmetrikus 2-formát megőrző hermiti transzformációk csoportjába); szigorú Calabi-Yau sokaságnak és irreducibilis, holomorf szimplektikus sokaságnak felelnek meg: valóban, a nulla Ricci-görbületű Kähleri-féle sokaságokon Bochner-elv szerint a holomorf tenzorok párhuzamosak, tehát a -ból származó szakaszok , holomorf -formák, párhuzamosak és invariáns vektorokkal vannak megadva. hogy a holonómiacsoport külső erőreprezentációja a kotangens téren, jelen esetben a csoport társautológikus reprezentációja vagy . Az első esetben az invariáns vektor csak akkor létezik , ha a külső hatvány triviális, és amikor az invariáns vektort a komplex térfogatforma adja. A másodikban minden invariáns vektor arányos -val , ahol a csoport által megőrzött komplex 2-forma . ${\mathrm {SU}}(n)$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}\times \prod X_{i))$ $X_{i}$ ${\mathrm {SU}}(n)$ ${\mathrm {SU}}(n)$ $\mathrm {SU} (m)$ $\mathrm {Sp} (2m)$ $H^{p,0}$ $p$ $p$ $\mathrm {SU} (m)$ $\mathrm {Sp} (2m)$ $p=0$ $p=m$ ${\displaystyle \Omega \wedge \Omega \dots \Omega =\Omega ^{\wedge p))$ $\Omega$ $\mathrm {Sp} (2m)$

Be kell bizonyítani egy véges burkolat létezését, amely után ezek a tömör, egyszerűen összefüggő tényezők szétválnak. A terméküket a -val jelöljük , ami azt jelenti, hogy az alapcsoport a -ra hat . Vegyük észre, hogy az automorfizmus csoport diszkrét: különben egy holomorf vektormezőn történne művelet, amelynek a fent említett Bochner-elv értelmében párhuzamosnak kell lennie. Így a csoportok tautologikus ábrázolásában vagy invariáns vektor lenne, ami abszurd. A de Rham dekompozíció egyediségéből következik, hogy az alapcsoport univerzális borításra gyakorolt hatása megőrzi a dekompozícióját , vagyis minden elem megfelel az átalakulásoknak és a . Legyen egy leképező kernel ; szabadon hat, miközben megőrzi a hermitikus metrikát, és ennek a cselekvésnek a hányadosa kompakt. A krisztallográfiai csoportokra vonatkozó Bieberbach-tétel szerint ennek párhuzamos fordításokból álló alcsoportja véges indexű. Ezért van egy affin térnek egy kompakt tényezője egy párhuzamos fordításokból álló csoportnak, azaz egy komplex tórusznak ; a termék takarja , ami szükséges. $M$ $\pi _{1}(X)$ $\mathbb {C} ^{k}\times M$ $M$ $M$ $\mathrm {SU} (m)$ $\mathrm {Sp} (2m)$ $\mathbb {C} ^{k}\times M$ $u\in \pi _{1}(X)$ ${\displaystyle u_{1}\colon \mathbb {C} ^{k}\to \mathbb {C} ^{k))$ $u_{2}\colon M\to M$ $\Gamma \subset \pi _{1}(X)$ $u\mapsto u_{2}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k))$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k))$ $\Gamma '\subset \Gamma$ $\Gamma$ $\mathbb {C} ^{k}/\Gamma '$ $T$ ${\displaystyle T\times M=T\times \prod Y_{i}\times \prod Z_{j))$ $x$

Következmények és általánosítások

A Bogomolov-bővítésből egyenesen következik, hogy egy lapos kanonikus köteggel rendelkező kompakt Kähleri-sokató alapcsoportja nagyon egyszerű szerkezetű, nevezetesen egy véges kernellel rendelkező szabad Abeli-csoportra képeződik le. A tetszőleges kompakt Kähler elosztók alapvető csoportjai sokkal bonyolultabbak lehetnek.

Campana , Dumai és Peternel a Bogomolov-féle dekompozíciós tétel általánosítását vizsgálták hermitikus félpozitív antikanonikus köteggel rendelkező sokaságok esetére (vagyis olyanra, amely sima hermiti kapcsolatot enged meg, amelynek görbülete félpozitív forma). A Bogomolov-tétel blokkjaihoz hozzáadjuk a racionálisan összefüggő változatok néhány osztályát a tételükben. [7]

A Bogomolov-tételnek is vannak részleges általánosításai szinguláris sokaságra, például klt-szingularitásúakra . [8] Az algebrai fóliázással rendelkező fajták tanulmányozásának alapját képezve megmutatják a Bogomolov-féle bizonyítást megalapozó geometriai elképzelések fontosságát.

Jegyzetek

↑ E. Calabi. Kähler sokaságon eltűnő kanonikus osztállyal , algebrai geometriával és topológiával. Szimpózium S. Lefschetz tiszteletére, pp. 78–89. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1957.
↑ F. A. Bogomolov. A triviális kanonikus osztályú fajtákról : Uspekhi Mat . Nauk , 1973, 28. kötet, 6. szám (174), 193–194.
↑ F. A. Bogomolov. Kählerian elosztók triviális kanonikus osztállyal Archiválva : 2022. június 21. itt: Wayback Machine , Izv. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. Ser. matematika. , 1974, 38. kötet, 1. szám, 11–21. oldal
↑ F. A. Bogomolov. On the decomposition of Kähler elosztók egy triviális kanonikus osztállyal Archiválva : 2013. július 27., a Wayback Machine , Mat. Ült. , 1974, 93. kötet (135), 4. szám, 573-575.
↑ A. Beauville. Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle Archivált : 2019. december 21., a Wayback Machine , J. Differential Geom., 18. kötet, 4. szám (1983), 755-782.
↑ F. A. Bogomolov. Hamiltoni Kähler elosztók , Dokl. Szovjetunió Tudományos Akadémia , 1978, 243. kötet, 5. szám, 1101–1104. oldal
↑ F. Campana, J.-P. Demailly, Th. Peternell. Racionálisan összekapcsolt sokaság és a Ricci görbület félpozitivitása Archiválva : 2022. február 21., a Wayback Machine , 2012
↑ F. Campana. A Bogomolov-Beauville-Yau dekompozíció Klt projektív fajtákhoz triviális első Chern osztályú - könnyek nélkül - Archiválva : 2020. szeptember 2., a Wayback Machine , 2020