Bernoulli-séma

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. július 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Kísérleteket végeznek , amelyek mindegyikében előfordulhat egy bizonyos esemény ("siker") valószínűséggel (vagy nem történik meg - "kudarc" - valószínűséggel ). A feladat az, hogy megtaláljuk a valószínűségét, hogy ezekben a kísérletekben pontosan sikerüljön. $n$ $p$ $q=1-p$ $m$ $n$

Megoldás:

P_{n}(m)=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{{nm}}

( Bernoulli-képlet ).

A sikerek száma egy véletlenszerű érték, amelynek binomiális eloszlása van .

Definíció

A Bernoulli-séma alkalmazásához a következő feltételeknek kell teljesülniük:

Minden kísérletnek pontosan két eredménye van, amelyeket hagyományosan sikernek és kudarcnak neveznek.
A tesztek függetlensége: a következő kísérlet eredménye nem függhet az előző kísérletek eredményeitől.
A siker valószínűségének állandónak (rögzítettnek) kell lennie minden kísérletnél.

Tekintsünk egy sztochasztikus kísérletet elemi események kételemes terével . Az egyiket „sikernek” nevezzük, „1-et”, a másikat „kudarcnak”, „0-t” fogunk kijelölni. Legyen a siker valószínűsége , majd a kudarc valószínűsége . $0<p<1$ $1-p=q$

Tekintsünk egy új sztochasztikus kísérletet, amely ennek a legegyszerűbb sztochasztikus kísérletnek a többszöri megismétléséből áll. $n$

Nyilvánvaló, hogy az elemi események tere , amely ennek az új sztochasztikus kísérletnek felel meg, (1), . Vegyük az elemi események terének (2) logikai értékét az események -algebrájaként . Minden elemi eseményhez egy szám tartozik . Ha egy elemi eseményben a sikert egyszer, a kudarcot pedig egyszer figyeljük meg , akkor . Akkor hagyd . Az is nyilvánvaló, hogy a valószínűség normalizált: . $\Omega$ $\left\{\Omega =(a_{1},...,a_{n})|a_{i}=\overline {0,1},i=\overline {1,n}\right\rbrace$ $N(\Omega )=2^{n}$ $\sigma$ $\mathcal{A}$ $P(\Omega)$ $\omega \az \Omegában$ $p(\omega )=p^{{\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}}}q^{{n-\sum _{{i=1}}^{n} a_{i}}}$ $\omega$ $k$ $(nk)$ $p(\omega )=p^{k}q^{{nk}}$ $A_{k}=\{\omega \in \Omega |\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}=k\},k=\overline {0,n}$ $P(A_{k})=\sum _{{\omega \in A_{k))}P(\omega )=C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk))$ $\sum _{{\omega \in \Omega }}P(\omega )=\sum _{{k=0}}^{n}\sum _{{\omega \in A_{k}}}P( \omega )=\sum _{{k=0}}^{n}C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk}}=(p+q)^{n}=1 ^{n}=1$

Ha minden eseményhez számértéket (3) rendelünk , meg fogjuk találni a valószínűséget . A konstruált tér , ahol az (1) egyenlőséggel meghatározott elemi események tere, a ( 2) egyenlőséggel definiált -algebra, P a (3) egyenlőséggel definiált valószínűség , Bernoulli tesztsémának nevezzük . $A\in {\mathcal {A}}$ $P(A)=\sum _{{\omega \in A}}P(\omega )$ $P:{\mathcal {A}}\to {\mathbb {R}}$ $(\Omega ,{\mathcal {A}),P)$ $\Omega$ $\mathcal{A}$ $\sigma$ $n$

A számok halmazát binomiális eloszlásnak nevezzük. $P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk}},k=\overline {0,n},n\in {\mathbb {N}}$

Általánosítás (polinomiális séma)

A szokásos Bernoulli-képlet arra az esetre vonatkozik, amikor két esemény egyike lehetséges minden kísérletben. A Bernoulli-képlet általánosítható arra az esetre, amikor az események közül csak egy következik be valószínűséggel , ahol . Az első esemény és - a második és a k-edik időpont bekövetkezésének valószínűségét a következő képlet határozza meg: $k>2$ $p_{i}(i=1,2,...,k)$ $p_{1}+...+p_{k}=1$ $m_{1}$ $m_{2}$ $m_{k}$

P_{n}(m_{1},m_{2},...,m_{k})={\frac {n!}{m_{1}!m_{2}!...m_{k} !}}{p_{1}}^{{m_{1}}}{p_{2}}^{{m_{2}}}...{p_{k}}^{{m_{k}} }

ahol $n=m_{1}+m_{2}+...+m_{k}.$

Tételek

Speciális körülmények között (kellően nagy vagy kellően kicsi paraméterek esetén) a határeloszlástételekből származó közelítő képleteket használjuk a Bernoulli-sémához : Poisson-tétel , lokális Moivre-Laplace-tétel, Moivre-Laplace - tétel .

Linkek

Tesztsorozat (Bernoulli-séma)

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz
Bibliográfiai katalógusokban	J9U : 987007283266105171 LCCN : sh85013374