Gömb alakú szegmens

A gömbszelvény egy felület , a gömb egy bizonyos sík által levágott része . A sík két szakaszt vág le: a kisebbik szakaszt gömbkörnek is nevezik [ 1] . Ha a vágási sík áthalad a gömb középpontján, akkor mindkét szegmens magassága megegyezik a gömb sugarával, és mindegyik gömbszeletet félgömbnek nevezünk .

A gömbszelvény egy geometriai test , a golyó egy bizonyos sík által levágott része. A gömbszakasz felülete egy gömbszakasz és egy kör (a gömbszakasz alapja) egyesülése, amelynek határai egybeesnek.

Térfogat és felület

Ha a szakasz alapjának sugara , a szakasz magassága , akkor a gömbszelvény térfogata [2] $a$ $h$

V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),

a szegmens felülete

A=2\pi rh

vagy

A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta ).

Paraméterek és relációk kapcsolódnak egymáshoz $a$ $h$ $r$

r^{2}=(rh)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},

r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}.

Ha az utolsó kifejezést behelyettesítjük a terület számítására szolgáló első képletbe, az egyenlőséghez vezet

A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2}).

Vegye figyelembe, hogy a gömb felső részén (az ábrán a kék szegmensben) a gömb alsó részében , ezért a kifejezés mindkét szegmensre érvényes, és a térfogatra egy másik kifejezés is megadható: $h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2))},$ $h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2))},$ $a={\sqrt {h(2r-h)))$

V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h).

A térfogat meghatározására szolgáló képlet a forgásfelület integrálásával is megkapható:

V=\int _{x}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi \left({\frac {2}{3} }r^{3}-r^{2}x+{\frac {1}{3}}x^{3}\right)={\frac {\pi }{3}}r^{3}(\ cos \theta +2)(\cos \theta -1)^{2}.

Alkalmazás

Két egymást metsző gömb egyesülésének és metszéspontjának térfogata

Két r 1 és r 2 sugarú gömb egyesülési térfogata [ 3]

{\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)))

ahol

V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{ 3}

a két gömb térfogatának összege külön-külön, és

V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{ 2}^{2}}{3}}(3r_{2}-ó_{2})

a két gömb alakú szakasz térfogatának összege, amelyek e gömbök metszéspontját alkotják. Legyen d < r 1 + r 2 a gömbök középpontjai közötti távolság, ekkor a h 1 és h 2 értékek kiiktatása a [4] [5] kifejezéshez vezet.

V^{(2)}={\frac {\pi }{12d))(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d( r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\jobbra).

Különböző szélességi körök által határolt felület

A különböző szélességi körök által határolt felület a két megfelelő gömbszelvény felületének különbsége. Az r sugarú és φ 1 és φ 2 szélességi körök esetén ez a terület [6]

A=2\pi r^{2}|\sin \varphi _{1}-\sin \varphi _{2}|.

Egy gömb felületének négyzetes területének területe

Egy r sugarú gömbön négy azonos θ szöghosszúságú és páronként merőleges nagykörök ívével metszett szakasznak (egy gömb négyzet, amely egy sík négyzetével analóg) van területe

A=8r^{2}(1-\cos \theta /2).

Ha a θ szög kicsi (1 radiánhoz képest ), akkor a közelítő egyenlőség érvényes, a közelítés alapján $\cos x\to 1-x^{2}/2$ $x\to 0:$

A\approx 8r^{2}{\frac {\theta ^{2}}{8}}=r^{2}\theta ^{2}.

Például a Föld felszínének négyzetes területének területe ( R ⊕ = 6378 km) , amelynek oldalai 1 fokkal egyenlők

A(1^{\circ })=8\cdot R_{\oplus }^{2}(1-\cos 0{,}5^{\circ })\approx R_{\oplus }^{ 2}\cdot \left({\frac {\pi }{180}}\right)^{2}\approx 12\,391\,{\text{km}}^{2}.

A Föld felszínének 1 négyzetmásodpercének területe 3600 kétszer kisebb: A (1 ′′) ≈ 12 391 km 2 / (60 60) 2 ≈ 956 m 2 .

Általánosítások

Egyéb szervek szakaszai

Szferoid szegmentumot úgy kapunk, hogy a gömb egy részét úgy levágjuk, hogy annak körszimmetriája legyen (forgástengelye van). Hasonló módon határozzuk meg az ellipszoid szakaszt.

Hiperszféra szegmens

Egy hipergömb magasságú és sugarú -dimenziós szakaszának térfogatát a -dimenziós euklideszi térben a [7] képlet határozza meg. $n$ $h$ $r$ $n$

V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2 }}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {rh}{r}}\right)}\sin ^{n}t\,\mathrm {d} t,

ahol ( gamma függvény ) adva van $\Gamma$ $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t.$

A térfogat kifejezése átírható az egységdimenziós golyó térfogatára és a hipergeometrikus függvényre vagy a szabályos nem teljes béta függvényre . $V$ $n$ $C_{n}={\pi ^{n/2}/\Gamma \left[1+{\frac {n}{2}}\right]}$ ${}_{2}F_{1}$ $I_{x}(a,b)$

V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {rh}{r}}\,{\frac { \Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\ ,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1-n}{2));{\tfrac {3}{2));\left ({\tfrac {rh}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh -h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right).

A felület képlete felírható egy egységdimenziós golyó felületével, mint $A$ $n$ $A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma \left[{\frac {n}{2}}\right]}$

A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({ \frac {n-1}{2)),{\frac {1}{2}}\right),

ahol $0\leq h\leq r.$

A következő képletek is érvényesek [8] : ahol $A=A_{n}p_{n-2}(q),\quad V=V_{n}p_{n}(q),$ $q=1-h/r(0\leq q\leq 1),\quad p_{n}(q)={\frac {1-G_{n}(q)/G_{n}(1 )}{2}},$

G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.

Nál nél $n=2k+1:$

G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+ 1 }}{2i+1}}.

Megmutatták [9] , hogy for és hol van a standard normális eloszlás . $n\to \infty$ $q{\sqrt {n}}={\text{const }}$ $p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}}),$ $F()$

Irodalom

A. I. Markusevics, A. Ya. Khinchin, P. S. Alekszandrov. A gömbgeometria alapfogalmai // Az elemi matematika enciklopédiája. 4. könyv - Geometria . - Moszkva: GIFML, 1963.

Jegyzetek

↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , p. 519-520.
↑ Polyanin AD, Manzhirov AV Matematikai kézikönyv mérnököknek és tudósoknak (angol) . - Chapman & Hall/CRC, 2007. - 69. o. - ISBN 9781584885023 . Archivált 2017. február 2-án a Wayback Machine -nél
↑ Connolly ML A molekulatérfogat számítása // J. Am. Chem. szoc. - 1985. - 1. évf. 107 . - P. 1118-1124 . - doi : 10.1021/ja00291a006 .
↑ Pavani R., Ranghino G. Módszer egy molekula térfogatának kiszámítására // Comput . Chem. - 1982. - 1. évf. 6 . - 133-135 . o . - doi : 10.1016/0097-8485(82)80006-5 .
↑ Bondi A. Van der Waals térfogatok és sugarak // J. Phys . Chem.. - 1964. - 1. évf. 68 . - P. 441-451 . - doi : 10.1021/j100785a001 .
↑ Donaldson SE, Siegel SG Sikeres szoftverfejlesztés . - 2. kiadás .. - Upper Saddle River: Prentice Hall, Inc., 2001. - P. 354. - ISBN 0-13-086826-4 .
↑ Li S. Tömör képletek egy hipergömb alakú sapka területének és térfogatához // Asian J. Math. statisztika. - 2011. - 20. évf. 4 , sz. 1 . - 66-70 . o . - doi : 10.3923/ajms.2011.66.70 .
↑ Chudnov A. M. A jelek generálására és fogadására szolgáló minimax algoritmusokról // Probl. információ továbbítása - 1986. - T. 22 . - S. 49-54 . (Orosz)
↑ Chudnov A. M. A jelek generálására és fogadására szolgáló algoritmusok szintézisének játékelméleti problémái // Probl. információ továbbítása - 1991. - T. 27 . - S. 57-65 . (Orosz)