Lorenz gömb

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2017. január 11-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Lorentz-gömb a lokális mező kiszámításának módszere a dielektrikumok mikroszkópos elméletében. Lehetővé teszi az anyag dielektromos állandójának meghatározását , ha ismert az anyag részecskéinek dipólus polarizálhatósága. Nagy népszerűségre tett szert Hendrik Anton Lorentz "Az elektronok elmélete és alkalmazása a fény- és hősugárzás jelenségeire" című klasszikus művének megjelenése után .

A módszer leírása

Feltételezzük, hogy a dielektrikum nagyszámú, egymástól függetlenül polarizált dipólrészecskéből áll . Minden részecske reagál a rá ható lokális elektromos térre , ami a dielektromos mintára ható adott elektromos tér és a részecskék polarizációjából adódó járulékos tér (kölcsönhatási tér) összege: $\mathbf {E} ^{\rm {loc}}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {E} ^{\rm {int}}$

\mathbf {E} ^{\rm {loc}}=\mathbf {E} +\mathbf {E} ^{\rm {int}}.

Az interakciós mező kiszámításához Lorentz a következő módszert javasolta. A mintarészecskét, amelyhez lokális mezőt keresünk, vegyük körül valamilyen sugarú képzeletbeli gömbbel (lásd ábra). A gömb sugarának elég nagynak kell lennie ahhoz, hogy jelentős számú dielektromos részecske kerüljön a gömb belsejébe. Másrészt ennek a sugárnak elég kicsinek kell lennie ahhoz, hogy az alkalmazott elektromos tér elenyésző mértékben változzon a kiválasztott gömbön belül. Az első feltétel lehetővé teszi, hogy a gömbön kívüli részecskéket ne vegyük külön, és a dipólusmomentumok diszkrét eloszlását ebben a tartományban egy átlagolt folytonos eloszlással helyettesítsük. A második feltétel lehetővé teszi, hogy feltételezzük, hogy a gömb belsejében rekedt részecskék egyformán polarizáltak, azaz elektromos dipólusmomentumaik egyenlőek. $\mathbf {E} ^{\rm {int}}$

Lorentz kimutatta, hogy a gömb belsejébe került egyes dipólrészecskék mezői összesen (a gömb közepén) kioltják egymást. Ennek eredményeként az interakciós mezőt a minta polarizációja határozza meg a Lorentz-gömb határa közelében. A fent említett feltételek mellett ez a mező kifejezhető (lásd alább) az elektromos polarizációs vektorral ( SI-egységekben ): ${\mathbf {P}}$

\mathbf {E} ^{\rm {int}}={\frac {\mathbf {P} }{3\varepsilon _{0}}}.

Így egy dielektrikumban lévő lokális mezőre Lorentz megkapta a kifejezést

\mathbf {E} ^{\rm {loc}}=\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {P} }{3\varepsilon _{0}}}.

Interakciós mező számítása

Keressük meg a polarizáció által létrehozott további mezőt a Lorentz-gömbön kívül. A fenti körülmények között egy ilyen probléma egyenértékű az elektromos mező megtalálásával egy egyenletesen polarizált dielektromos mintában kivágott gömb alakú üreg közepén.

Az üreg kivágása oda vezet, hogy az üreg határán kötött elektromos töltések jelennek meg . A koordináták origóját az üreg közepére helyezzük. Ekkor egy gömbkoordináta-rendszerben a kötött töltések felületi sűrűségét a következőképpen fejezzük ki

\sigma (\vartheta )=-P\cos \vartheta ,

ahol a polarizációs vektor abszolút értéke , és a vektor pozitív iránya és a sugárvektor és a gömbüreg határán lévő aktuális pont közötti szög. Mivel ez nem függ -tól , a kívánt elektromos tér vektora együtt van irányítva és modulusa egyenlő (egy ponttöltés térerősségének polarizációs irányára való vetülete ) $\ P$ ${\mathbf {P}}$ $\ \vartheta$ ${\mathbf {P}}$ $\ \sigma$ $\ \varphi$ ${\mathbf {P}}$

E^{\rm {int}}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint {\frac {\sigma \cos \vartheta }{r^{2 }}}\,dS,

ahol a gömb sugara, és az integrál átveszi az üreg felületét. Figyelembe véve, hogy a gömbkoordináta-rendszerben , kapjuk $r$ $dS=r^{2}\sin \vartheta \,d\vartheta \,d\varphi$

E^{\rm {int}}={\frac {P}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }\cos ^{2}\vartheta \sin \vartheta \,d\vartheta ={\frac {P}{3\varepsilon _{0}}}.

Lásd még

Irodalom

Lorentz GA Az elektronok elmélete és alkalmazása a fény- és hősugárzás jelenségeire. M.: GTTI, 1953.