Elektromos dipólusmomentum

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 31-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Elektromos dipólusmomentum
${\mathbf p}$
Dimenzió	SI : LTI CGS : L 5/2 M 1/2 T -1
Egységek
SI	C m_ _
GHS	töltési egység CGS cm
Megjegyzések
vektor mennyiség

Az elektromos dipólusmomentum egy vektorfizikai mennyiség , amely a teljes töltéssel (és a ritkábban használt magasabb többpólusú momentumokkal) együtt jellemzi a töltött részecskék rendszerének elektromos tulajdonságait (töltéseloszlást ) az általuk létrehozott mező és a külső mezők hatása rá. A teljes töltés és a rendszer egészének helyzete (sugárvektora) után a rendszer töltéseinek konfigurációjának fő jellemzője távolról megfigyelve.

A dipólusmomentum az első [1. megjegyzés] multipólusmomentum .

Definíció

A legegyszerűbb töltésrendszer, amelynek határozott (az eredetválasztástól független) nem nulla dipólusmomentuma van, a dipólus (két azonos nagyságú ellentétes töltésű pontrészecske). Egy ilyen rendszer elektromos dipólusmomentuma abszolút értékben egyenlő a pozitív töltés értékének és a töltések közötti távolság szorzatával, és a negatív töltéstől a pozitív felé irányul, vagy:

\mathbf {p} =q\mathbf {l} ,

hol van a pozitív töltés értéke,

q

\mathbf {l}

egy negatív töltésű vektor.

Részecskerendszer esetén az elektromos dipólusmomentum: $N$

\mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {r} _{i},

hol van a részecske töltése számmal

q_{i}

én,

{\mathbf r}_{i}

a sugárvektor,

vagy ha a pozitív és negatív töltésekre külön összegezzük:

\mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N^{+}}q_{i}^{+}\mathbf {r} _{i}-\sum _{i=1 }^{N^{-}}\left|q_{i}^{-}\right|r_{i}=Q^{+}\mathbf {R} ^{+}-|Q^{-}| \mathbf {R} ^{-},

hol a pozitív/negatív töltésű részecskék száma,

{\displaystyle N^{\pm ))

N=N^{+}~+N^{-},

{\displaystyle q_{i}^{\pm ))

- díjaik,

{\displaystyle Q^{+},~\mathbf {R} ^{+},~Q^{-},~\mathbf {R} ^{-))

- a pozitív és negatív alrendszerek összes töltése és "súlypontjaik" sugárvektorai [2. megjegyzés] .

A semleges töltésrendszer elektromos dipólusmomentuma nem függ a koordináták origójának megválasztásától, hanem a rendszerben lévő töltések egymáshoz viszonyított elrendezése (és nagysága) határozza meg.

A definícióból látható, hogy a dipólusmomentum additív (több töltésrendszer szuperpozíciójának dipólusmomentuma egyszerűen egyenlő dipólusmomentumaik vektorösszegével), és semleges rendszerek esetén ez a tulajdonság felveszi. a fenti bekezdésben leírtak miatt még kényelmesebb forma.

Definíció részletei és formai tulajdonságai

Egy nem semleges töltésrendszer fenti definíció szerint számított dipólusmomentuma tetszőleges előre meghatározott számmal (például nullával) egyenlővé tehető a koordináták origójának kiválasztásával. Ebben az esetben azonban, ha el akarjuk kerülni az ilyen önkényességet, kívánság esetén valamilyen egyértelműség bevezetésére szolgáló eljárás alkalmazható (ami ugyancsak tetszőleges feltételes megállapodás tárgya lesz, de formálisan rögzítve lesz).

De még a koordináták origójának tetszőleges megválasztásával is (amelynek feltétele, hogy a koordináták origója az adott töltésrendszeren belül legyen, vagy legalább annak közelében legyen, és semmi esetre se essen abba a tartományba, amelyben a dipóluskorrekció az egyetlen ponttöltés mezejére vagy a többpólusú tágulás dipól tagjára) minden számítás (a rendszer által létrehozott potenciál vagy térerő dipóluskorrekciója, a külső térből rá ható nyomaték, vagy a dipólus korrekció a rendszer potenciális energiájához külső térben) sikeresen átmennek.

Példa:

Érdekes illusztráció lenne a következő példa:

Tekintsünk egy olyan rendszert, amely egyetlen q ponttöltésből áll , azonban olyan koordináták origóját választjuk, amelyek nem esnek egybe a helyzetével, bár nagyon közel vannak hozzá (azaz sokkal közelebb, mint a távolság, amelyre az egyszerűnk által létrehozott potenciált ki szeretnénk számítani rendszer) . Így a ponttöltésünk sugárvektora az lesz, ahol r a megfigyelési pont sugárvektorának modulusa. Ekkor formálisan a nulla közelítés a Coulomb-potenciál lesz ; ez a közelítés azonban tartalmaz egy kis hibát, ami abból adódik, hogy valójában a töltés és a megfigyelési pont közötti távolság nem egyenlő r -vel , hanem egyenlő -val . Ezt az elsőrendű hibát (azaz közelítőleg is, de nagyobb pontossággal) korrigálják egy dipóluspotenciál hozzáadásával, amelynek dipólusmomentuma egyenlő . Vizuálisan így néz ki: dipólust helyezünk a koordináták origójában található q töltésre úgy, hogy a -q negatív töltése pontosan az origóban lévő q -ra essen és "megsemmisítse", pozitív töltése pedig ( + q ) - pontba esik , vagyis pontosan ott, ahol a töltésnek valójában lennie kell - pl. a töltés a feltételes origóból a megfelelő pozícióba (igaz az origóhoz közel) mozog. A nulladik közelítésű dipóluskorrekció szuperpozícióját felhasználva pontosabb választ kapunk, pl. példánkban a dipóluskorrekció olyan hatást vált ki (körülbelül), mintha a töltést a hagyományos origóból a megfelelő helyzetébe tolnánk. ${\vec {r}}_{q};r_{q}<<r,$ $\phi _{0}=q/r$ $|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{q}|$ ${\displaystyle q\mathbf {r} _{q))$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{q))$ $\phi _{0}$

Az elektromos dipólusmomentum (ha nem nulla) a fő közelítésben meghatározza a dipólus (vagy bármely korlátozott, teljes nulla töltésű rendszer) elektromos terét nagy távolságra, valamint a hatást. külső elektromos tér dipólusán.

A dipólusmomentum fizikai és számítási jelentése abban rejlik, hogy elsőrendű (leggyakrabban kicsi) korrekciókat ad a rendszer egyes töltésének helyzetéhez a koordináták origójához képest (ami lehet feltételes, de hozzávetőlegesen jellemzi a a rendszer egészének helyzete – a rendszert meglehetősen kompaktnak feltételezzük). Ezek a korrekciók vektorösszeg formájában szerepelnek benne, és ahol ilyen konstrukció fordul elő a számításokban (és a szuperpozíció elve és a lineáris korrekciók hozzáadásának tulajdonsága miatt - lásd: Teljes differenciál - ez a helyzet gyakran előfordul), ott dipólusmomentum a képletekben.

Dipólusmomentum egy atomra kvantum szempontból

A kvantumelméletből ismeretes, hogy ha a rendszer állapotban van , akkor annak valószínűsége, hogy a kényszerű sugárzási átmenet után időben olyan állapotban találjuk , egy külső frekvenciatér hatására egyenlő lesz: $k$ $l$ $t$ $E_{0}$ $\nu$

a_{l}(t)={\cfrac {|d_{kl}|^{2}}{4\pi ^{2}}}\;E_{0}^{2}\;t\ ;{\cfrac {\sin ^{2}(\pi (\nu -\nu _{0})t)}{\pi (\nu -\nu _{0})t)).

Ha hosszú ideig figyeli a rendszert, akkor a képlet utolsó törtrésze nem függ az időtől, és a kifejezés a következőre csökken:

a_{l}(t)={\cfrac {|d_{kl}|^{2}}{4\pi ^{2}}}\;E_{0}^{2}\;t\ ;\delta (\nu -\nu _{0}),

ahol a Dirac delta függvény .

\delta (\nu -\nu _{0})

A jelzett képletben ezek a dipólusmomentum mátrixoperátorának elemei az átmeneti időre vonatkoztatva, amelyek a következők: ${\displaystyle d_{kl))$ $\hat{d}$ $k\!-\!l,$

d_{kl}=e\;\int _{V}\Psi _{k}^{*}(x,y,z)\cdot x\cdot \Psi _{l}(x,y, z)\;dV,

hol van az elektrontöltés ,

e

\psi

- hullámfüggvény ( páros vagy páratlan).

Különösen nyilvánvaló, hogy ha akkor az integrál egyenlő lesz nullával. $k=l,$

Ennek megfelelően magának a dipólusmomentumnak a mátrix operátora egy olyan méretű mátrix [az energiaszintek száma szorozva az energiaszintek számával], amelyben a főátlón fekvő elemek nullával egyenlők, a nem fekvő elemek pedig általában nem egyenlő.

A dipólus elektromos tere

Rögzített szögkoordináták esetén (azaz egy elektromos dipólus középpontjától a végtelenig terjedő sugár mentén) egy dipólus vagy egy általában semleges töltésrendszer statikus elektromos terének erőssége, amelynek dipólusa nem nulla . momentum [5. megjegyzés] , nagy távolságokon aszimptotikusan megközelíti azt a formát , ahogy az elektromos potenciál megközelíti Így a dipólus statikus tere nagy távolságokon gyorsabban csökken, mint egy töltés tere, de lassabban, mint bármely magasabb multipólus (kvadrupólus) tere , nyolcas stb.). $r$ $r^{-3},$ $r{-2}.$

Egy álló vagy lassan mozgó dipólus (vagy egy általában semleges, nem nulla dipólusmomentummal rendelkező töltésrendszer) elektromos térerőssége és elektromos potenciálja nagy távolságban a fő közelítésben a következőképpen fejezhető ki: ${\mathbf {p}}$

az SGSE -ben :

\mathbf {E} ={\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} }{r^{3}}},\ qquad \varphi =-\mathbf {p} \cdot \mathbf {\nabla } {\frac {1}{r)),

SI -ben :

\mathbf {E} ={\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon _{0} r^{3}}},\qquad \varphi =-\mathbf {p} \cdot \mathbf {\nabla } {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}r)),

ahol egy egységvektor a dipólus közepétől a mérési pont irányába, a pont pedig a skaláris szorzatot jelöli.

\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} }{r))

A derékszögű koordinátákban, amelyek tengelye a dipólusmomentum vektora mentén van irányítva, és a tengely úgy van megválasztva, hogy a mező számítási pontja a síkban legyen, ennek a mezőnek az összetevőit a következőképpen írjuk: $x$ $y$ $x,\ y,$

E_{x}={\frac {p}{r^{3}}}(3\cos ^{2}\theta -1),

E_{y}={\frac {3p}{r^{3}}}\cos \theta \sin \theta ,

E_{z}=0,

ahol a dipólusmomentumvektor iránya és a sugárvektor és a megfigyelési pont közötti szög.

\theta

A képletek a CGS rendszerben vannak megadva. Az SI-ben a hasonló képletek csak a tényező szerint különböznek ${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}.$

Az elektromos térerősség longitudinális (a dipólustól egy adott pontig húzott sugárvektor mentén) és keresztirányú komponenseire a kifejezések meglehetősen egyszerűek (ugyanabban a közelítésben, azonosan egybeesnek a fenti képletekkel):

E_{||}={\frac {2p}{r^{3}}}\cos \theta ,

E_{\perp }={\frac {p}{r^{3))}\sin \theta .

Az elektromos térerősség harmadik összetevője – amely merőleges arra a síkra, amelyben a dipólusmomentumvektor és a sugárvektor fekszik – mindig egyenlő nullával. A képletek a CGS-ben is megtalálhatók, az SI-ben a fenti képletekhez hasonlóan csak egy tényezőben különböznek ${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}.$

Következtetés

Nekünk van:

E_{||}=(\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} )={\frac {3(\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} )-(\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} )}{r^{3}}}={\frac {2(\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} )}{r^{3}}}={\frac {2p\cos \theta }{r^{3}}},

Most:

\mathbf {E_{\perp }} =\mathbf {E} -\mathbf {n} E_{||}

A vektor és a sugárvektor (vagy vektor ) közötti szög összefüggése is egyszerűnek bizonyul : $\mathbf {E}$ $\mathbf n$

\mathrm {tg} \beta ={\frac {1}{2}}\mathrm {tg} \theta .

Elektromos térerősség vektor modulusa (CGS-ben):

E={\frac {p}{r^{3}}}{\sqrt {3\cos ^{2}\theta +1}}.

Egy mező hatása a dipóluson

Külső elektromos térben erőnyomaték hat egy elektromos dipólusra, amely úgy forgatja azt, hogy a dipólusmomentum a tér iránya mentén elforduljon. $\mathbf {E}$ ${\mathbf {p} }\times {\mathbf {E} },$
Az elektromos dipólus potenciális energiája elektromos térben az $-{\mathbf {E} }\cdot {\mathbf {p} }.$
Az inhomogén mező felől a dipólusra erő hat (első közelítésben):

\Sigma _{i}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial x_{i}}}p_{i}.

A szakasz közelítő (általános esetben) képleteinek helyességi feltételeit lásd alább .

Az elektromos dipólusmomentum mértékegységei

Az elektromos dipólusmomentum mérésére szolgáló rendszeregységeknek nincs külön neve. A Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) egyszerűen C m .

A molekulák elektromos dipólusmomentumát általában debye -ben (rövidítés - D) mérik:

1 D = 10–18 CGSE elektromos dipólusmomentum, 1 D = 3,33564 10 -30 C m.

Polarizáció

A (polarizált) közeg (dielektrikum) egységnyi térfogatára eső dipólusmomentumot elektromos polarizációs vektornak vagy egyszerűen a dielektrikum polarizációjának nevezzük .

Elemi részecskék dipólusmomentuma

Számos kísérleti munka foglalkozik alapvető és összetett elemi részecskék, nevezetesen elektronok és neutronok elektromos dipólusmomentumának (EDM) keresésével . Mivel az EDM mind a térbeli (P), mind az időbeli (T) paritást sérti , értéke (a töretlen CPT szimmetria feltétele mellett) a természetben a CP-szimmetria megsértésének modellfüggetlen mértékét adja . Így az EDM-értékek erős korlátokat adnak a CP-sértés mértékére, amely a részecskefizika szabványos modelljének kiterjesztésében fordulhat elő .

Valójában sok olyan elméletet kizártak, amelyek összeegyeztethetetlenek a részecskék EDM-ére vonatkozó meglévő kísérleti korlátokkal. Maga a Standard Modell (pontosabban metszete - kvantumkromodinamika ) ezeknél a határértékeknél jóval nagyobb neutron-EDM értéket (kb. 10 −8 D) enged meg, ami az úgynevezett erős CP probléma kialakulásához vezetett és új hipotetikus részecskék keresése, például egy axion .

A részecskék EDM-jének felkutatására irányuló jelenlegi kísérletek olyan érzékenységet érnek el, ahol a szuperszimmetria hatások megjelenhetnek . Ezek a kísérletek kiegészítik az LHC szuperszimmetria hatásainak keresését .

2018-ban kiderült, hogy egy elektron EDM-je nem haladja meg az e cm-t, e az elemi töltés [1] . $1{,}1\cdot 10^{-29}$

Dipól közelítés

A dipólustag (amelyet a rendszer dipólusmomentuma vagy töltéseloszlása határoz meg) csak az egyik tagja a többpólusú expanziónak nevezett végtelen sorozatnak, amely teljes összegzéskor megadja a potenciál vagy a térerősség pontos értékét a pontokban. véges távolságra a forrás töltésrendszerétől. Ebben az értelemben a dipól tag egyenlő a többpólusú kiterjesztési tagok többi részével, beleértve a magasabbakat is (bár gyakran nagyobb mértékben járulhat hozzá az összeghez, mint a magasabb tagok). A dipólusmomentumnak és a töltésrendszer által létrehozott elektromos térhez való dipólushoz való hozzájárulásának ez a nézete jelentős elméleti értékkel bír, de részletezve meglehetősen bonyolult, és messze túlmutat azon, ami szükséges ahhoz, hogy megértsük a töltésrendszer tulajdonságainak alapvető fizikai jelentését. dipólusmomentum és a legtöbb alkalmazási terület.

A dipólusmomentum fizikai jelentésének tisztázásához, valamint a legtöbb alkalmazása esetén elegendő egy sokkal egyszerűbb megközelítésre korlátozni magunkat - figyelembe venni a dipólus közelítést .

A dipólus közelítés elterjedt elterjedése azon a helyzeten alapszik, hogy nagyon sok, köztük elméleti és gyakorlati szempontból fontos esetben nem lehet összefoglalni a többpólus kiterjesztésének teljes sorozatát, hanem csak annak alsó tagjaira szorítkozunk, egészen a és beleértve a dipólust is. Ez a megközelítés gyakran elég kielégítő vagy akár nagyon kicsi hibát ad.

Dipólus közelítés egy forrásrendszerhez

Az elektrosztatikában elégséges feltétele a dipólus közelítés alkalmazhatóságának (a bizonyos össztöltésű és bizonyos dipólusmomentumú töltésrendszer által létrehozott elektromos potenciál vagy elektromos térerősség meghatározásának problémája értelmében). Egyszerűen leírva: ez a közelítés jó a forrásrendszertől távol eső térrégiókra, ahol a távolság sokkal nagyobb, mint magának a rendszernek a jellemző mérete (vagy jobb, mint a maximális). Így a feltételekre a dipólus közelítés jó. $r,$ $d$ $r\gg d$

Ha a rendszer teljes töltése nulla, és a dipólusmomentuma nem egyenlő nullával, akkor az alkalmazhatósági tartományában a dipólus közelítés a fő közelítés, vagyis az alkalmazhatósági tartományában leírja a fő hozzájárulást a az elektromos mező. A többi hozzájárulás elhanyagolhatóan kicsi (kivéve, ha a dipólusmomentum anomálisan kicsinek bizonyul, amikor a kvadrupólus, oktupólus vagy magasabb többpólusú járulékok bizonyos véges távolságokban nagyobbak vagy összemérhetőek lehetnek a dipólusnál; ez azonban meglehetősen speciális eset). $r\gg d$

Ha a teljes töltés nem egyenlő nullával, akkor a monopólus közelítés (nulla közelítés, tiszta Coulomb-törvény) lesz a fő, és a dipólus közelítés, mint a következő, első közelítés, egy kis korrekció szerepét töltheti be. Ilyen helyzetben azonban ez a korrekció nagyon kicsi lesz a nulladik közelítéshez képest, hacsak nem a tér olyan tartományában vagyunk, ahol általában véve maga a dipólus közelítés jó. Ez ebben az esetben némileg csökkenti az értékét (az alább leírt helyzetek kivételével), így a dipólus közelítés fő alkalmazási területe az általában semleges töltésrendszerek esete.

Vannak helyzetek, amikor a dipólus közelítés jó (néha nagyon jó, sőt esetenként gyakorlatilag pontos megoldást is tud adni), és ha a feltétel nem teljesül , akkor csak az szükséges, hogy a magasabb (a kvadrupólból kiinduló) többpólusú momentumok eltűnjenek, ill. nagyon gyorsan nullára hajlamosak. Ez meglehetősen könnyen megvalósítható néhány elosztott rendszer esetében [6. megjegyzés] $r\gg d.$

A dipólus közelítésben, ha a teljes töltés nulla, a teljes töltésrendszer, bármi legyen is az, hacsak nem nulla a dipólusmomentuma, egy kis dipólussal ekvivalens (ebben az esetben mindig kis dipólust kell érteni) úgy érzi, hogy olyan mezőt hoz létre, amely körülbelül egybeesik egy kis dipólus mezőjével. Ebben az értelemben minden ilyen rendszert dipólussal azonosítunk, és a dipólus , dipólustér stb. kifejezések alkalmazhatók rá. momentum” — de persze általánosságban csak akkor, ha a helyességi feltételek teljesülnek a dipólus közelítésre utal.

Dipólus közelítés egy külső tér töltésrendszerre gyakorolt hatására

A dipólusra ható külső tér által létrehozott mechanikai nyomaték és a külső térben lévő dipólus potenciális energiája képleteinek ideális dipólusközelítése egységes külső tér esetén működik. Ebben az esetben ez a két képlet pontosan érvényes minden olyan rendszerre, amelynek van egy bizonyos dipólusmomentuma, mérettől függetlenül (a teljes töltése nullával egyenlő).

A dipólus közelítés elfogadhatósági határát ezeknél a képleteknél általában a következő feltétel határozza meg: a térerősség különbségének a rendszer különböző pontjain abszolút értékben sokkal kisebbnek kell lennie, mint magának a térerősségnek az értéke. Minőségileg ez azt jelenti, hogy e képletek helyessége érdekében a rendszer méretei minél kisebbek, minél inhomogénebbek legyenek a rá ható mező.

Jegyzetek

Hozzászólások

↑ Vagyis a nulla többpólusú nyomaték utáni legrégebbi, amely megegyezik a rendszer teljes töltésével.
↑ A "súlypontok" sugárvektorain itt az egyes alrendszerek sugárvektorának súlyozott átlagát értjük, ahol minden töltéshez a töltés abszolút értékével megegyező formális súly tartozik.
↑ Egy kellően gyorsan oszcilláló elektromos dipólusnál annak dipólusmomentuma (időfüggőségével) meghatározza a mágneses teret is. Az álló elektromos dipólus nem hoz létre mágneses teret (ez megközelítőleg igaz a lassan mozgó dipólusra is).
↑ Ez egy álló vagy (körülbelül) lassan mozgó dipólus mezőjét írja le.
↑ Egy ilyen rendszer mezője nagy távolságban megközelítőleg egyenlő egy dipólus mezőjével. Ebben az értelemben egy ilyen rendszer (körülbelül) helyettesíthető dipólussal, és ideális dipólusnak tekinthető.
↑ . Az egyik legegyszerűbb példa egy ilyen rendszerre két egyforma golyó egymásra helyezése, amelyek azonos abszolút értékű, különböző előjelű töltésekkel vannak egyenletesen feltöltve, és a golyók középpontjai közötti távolság kicsi. Egy ilyen rendszer mezeje már a felszíne közelében nagyon jól egybeesik egy (kis) dipólus mezőjével. Ugyanezt a mezőt egy hasonló rendszer hozza létre, amely egy gömbből áll, amelynek felülete a gömb szélességi körének koszinuszával arányos töltéssűrűséggel van feltöltve. Más testekben vagy felületeken speciálisan meg lehet választani a folytonos töltéseloszlásokat, amelyek dipólusteret adnak. Bizonyos esetekben ez automatikusan megtörténik: például egy nagy fémsík közelében elhelyezkedő ponttöltés (vagy egy kis egyenletes töltésű golyó) olyan felületi töltéseloszlást hoz létre rajta, hogy az egész rendszer egésze dipólusmezőt hoz létre még nagyon közel a síkhoz (de nem a labda mellett és távol a sík szélétől, ha az nem végtelen).

Források

↑ ACME Collaboration Az elektron elektromos dipólusmomentumának javított határértéke // Nature , 562. kötet, 355-360. oldal, (2018)

Irodalom

Landau L. D. , Lifshits E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
Minkin V. I., Osipov O. A., Zhdanov Yu. A. , Dipólus pillanatok a szerves kémiában. L., 1968;
Osipov O. A., Minkin V. I., Garnovsky A. D. , Handbook of dipole moments, 3. kiadás M., 1971;
Exner O. , Dipólusmomentumok a szerves kémiában, Stuttg., 1975.

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online) Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4483787-2 LNB : 000310561