Szabadságfokok (valószínűségszámítás)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. október 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A szabadsági fokok száma a végső statisztikai számításban szereplő értékek száma , amelyek változhatnak. Más szóval, a szabadsági fokok száma megmutatja a valószínűségi változók vektorának dimenzióját , a vektor teljes meghatározásához szükséges "szabad" változók számát.

A szabadságfokok száma nem csak természetes szám lehet , hanem tetszőleges valós szám is, bár a szabványos táblák a leggyakoribb eloszlások p-értékét csak természetes számú szabadságfokra számítják ki.

Az elosztások szabadsági fokai

Khi-négyzet

Ha a valószínűségi változók függetlenek, és mindegyik szabványos normális eloszlású ( ), akkor a valószínűségi változót , amely a szabványos normálváltozók darabszámának négyzetösszege, khi-négyzet eloszlásúnak mondjuk , szabadságfokkal. ( ): $Z_{1};\ldots ;Z_{n}$ $Z\sim {\mathcal {N}}(0;1)$ $x$ $n$ $n$ $\chi _{n}^{2}$

$X=\sum \limits _{{i=1}}^{n}Z_{i}^{2}\sim \chi _{n}^{2}$

Hallgatói t eloszlás

Ha a valószínűségi változó standard normális eloszlású ( ), a valószínűségi változó khi - négyzet eloszlású szabadságfokkal ( ) és függetlenek ( korrelációjuk nulla), akkor a valószínűségi változónak Student -féle szabadságfokú eloszlása van . ( ): $Z$ $Z\sim {\mathcal {N}}(0;1)$ $x$ $n$ $\chi _{n}^{2}$ $Z$ $x$ $T={\frac {Z}{{\sqrt {{\frac {X}{n}}}}}}$ $n$ $t_{n}$

$T={\frac {{\mathcal {N}}(0;1)}{{\sqrt {{\frac {\chi _{n}^{2}}{n}}}}}\sim t_ {n}$

Fisher-Snedecor disztribúció

Ha egy valószínűségi változó khi-négyzet eloszlású szabadságfokkal , és egy valószínűségi változó khi -négyzet eloszlása szabadságfokkal, akkor a valószínűségi változó Fisher –Snedekor eloszlású és szabadsági fokokkal ( ): $X_{1}$ $n$ $X_{2}$ $m$ $F={\frac {X_{1}/n}{X_{2}/m}}$ $n$ $m$ $t_{n}$

$F={\frac {\chi _{n}^{2}/n}{\chi _{m}^{2}/m))\sim {\mathrm {F))_{{n;m} }$

Ha , akkor . $m\rightarrow\infty$ $F_{{n;m}}={\frac {\chi _{n}^{2}/n}{\chi _{m}^{2}/m}}\jobbra \chi _{n}^ {2}$
Ha egy valószínűségi változót négyzetre emelünk, amelynek Student-féle eloszlása van szabadságfokkal, akkor Fisher-Snedekor eloszlása lesz és szabadságfokkal: $m$ $egy$ $m$

$(t_{m})^{2}=\left({\frac {{\mathcal {N))(0;1)}{{\sqrt ({\frac {\chi _{m}^{2} }{m))))))\right)^{2}={\frac ({\bigl (}{\mathcal {N))(0;1){\bigr )}^{2)){\ left({\sqrt {{\frac {\chi _{m}^{2}}{m))))\right)^{2}}}={\frac {\chi _{1}^{2 }}{\chi _{m}^{2}/m}}={\frac {\chi _{1}^{2}/1}{\chi _{m}^{2}/m}} \sim {\mathrm {F}}_{{1;m}}$

Valószínűségszámítás

Legyen egy egydimenziós valószínűségi változó . Ekkor igazak lesznek a következő állítások a szabadságfokok számáról : $X_{i}$

Egy valószínűségi változót a törvény szerint elosztanak szabadsági fokokkal (ebben az esetben gyakran mintavarianciával ). $S^{2}={\frac {\sum \limits _{i}(X_{i}-{\bar X})^{2}}{n-1}}$ $\chi ^{2}$ $(n-1)$ $S^{2}$ ${\hat \sigma }^{2}$
A fenti jelölés alapján állítható, hogy a valószínűségi változónak van egy Student-féle szabadságfokú eloszlása ( ). ${\frac {X-{\bar X}}{{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}}}}}$ $n-1$ ${\displaystyle t_{n-1))$
A valószínűségi változó a törvény szerint eloszlik szabadsági fokokkal. ${\frac {X-{\mathbb {E}}(X)}{{\sqrt {{\frac {{\hat \sigma }^{2}}{n}}}}}}$ $\chi ^{2}$ $n$
A valószínűségi változó eloszlása a standard normál törvény szerint ( ), ahol a valószínűségi változó valódi varianciája . ${\frac {X-{\mathbb {E}}(X)}{{\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}}}}}$ ${\mathcal {N}}(0;1)$ $\sigma _{X}^{2}$ $x$

Egy valószínűségi változó valódi matematikai elvárásával való helyettesítése egy szabadságfokkal növeli a következő okot. Tekintsünk egy valószínűségi változót . Következő, . Ezért vannak függő valószínűségi változók darabjai. Ezért a mennyiségek darabjai függetlenek, ezért a számlálóban szereplő képletben egy szabadságfokkal kevesebb van, mint a valódi matematikai elvárású képletben. ${\bar X}(X_{1};\ldots ;X_{n})$ $\xi _{k}=X_{k}-{\bar X}$ $\sum \limits _{{i=1}}^{n}\xi _{i}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}(X_{i}-{\bar X} )=\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}-\sum \limits _{{i=1}}^{n}{\bar X}=n{\bar X }-n{\bar X}=0$ $n$ $n-1$ $\bár X$

Regressziós elemzés

A regressziós elemzés során a legkisebb négyzetek módszerével a megfigyeléseket összehasonlítják a számított értékekkel (a regressziós egyenletből nyert). Ha az összes megfigyelés számtani átlaga, akkor a többváltozós Pitagorasz-tételnek megfelelően az egyenlőség bekövetkezik: $Y_{i}$ ${\hat Y}_{i}$ ${\bar Y}$

$\bezárás {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\bar Y})^{2}}_{{TSS}}=\bezárás {\sum \limits _{i}({\hat Y}_{i}-{\bar Y})^{2}}_{{ESS}}+\underbrace {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\hat Y})^{ 2}}_{{RSS}}$

Ugyanakkor a (Teljes négyzetösszeg) úgy van elosztva, mint a szabadságfokkal, (Becsült négyzetösszeg; nem tévesztendő össze a hibával!) úgy van elosztva, mint egy szabadságfokkal, (Maradék négyzetösszeg; nem szabad összetévesztve a Regresszióval!) úgy oszlik el, mint a szabadságfokoknál . $TSS$ $\chi ^{2}$ $(n-1)$ $ESS$ $\chi ^{2}$ $RSS$ $\chi ^{2}$ $(n-2)$