Frenet triéder

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. március 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Frenet vagy Frenet- Serret kerete vagy triéder , más néven természetes , kísérő , kísérő , egy ortonormális keret a háromdimenziós térben, amely bireguláris görbék tanulmányozása során keletkezik, vagyis olyan, hogy az első és a második derivált lineárisan független bármely ponton.

Definíció

Legyen egy tetszőleges természetesen parametrizált bireguláris görbe az euklideszi térben . A Frenet keret a bireguláris görbe egyes pontjaihoz társított , , vektorok hármasaként értendő , ahol $r(s)$ $\tau$ $\nu$ $\beta$ $r(s)$

$\tau ={\pont {r}}(s)$ az egység érintővektor ,
$\nu ={\frac {{\ddot {r}}(s)}{||{\ddot {r}}(s)||}}$ a főnormál egységvektora ,
$\beta =[\tau ,\nu ]$ a binormális egységvektora a görbéhez az adott pontban.

Tulajdonságok

Ha a görbe természetes paramétere , akkor a vektorokat a következő összefüggések kapcsolják össze: $s$ $s$ ${\displaystyle {\tau },{\nu },{\beta ))$ ${\begin{aligned}{\dot {\tau }}&=k\cdot {\nu },\\{\dot {\nu }}&=-k\cdot {\tau }+t\ cdot {\beta },\\{\dot {\beta }}&=-t\cdot {\nu },\end{aligned}}$

az úgynevezett Frenet-képleteket . Mennyiségek

k=||{\ddot {\gamma }}(s)||,\quad t=-\langle {\dot {\beta }},\;{\nu }\rangle

nevezzük a görbület görbületének , illetve torziójának egy adott pontban.

A függvények és meghatározzák a görbét a tér mozgásáig. $k(s)$ $t(s),$
- Sőt, ha , akkor létezik ilyen görbe. $k(s)>0$

Sebesség és gyorsulás természetes triéder tengelyeiben

A Frenet-féle triéder fontos szerepet játszik egy pont kinematikájában, amikor leírja a mozgását a „kísérő tengelyekben”. Hagyja, hogy az anyagi pont egy tetszőleges bireguláris görbe mentén mozogjon. Ekkor nyilvánvalóan a pont sebessége az érintővektor mentén irányul . Az idő függvényében differenciálva a gyorsulás kifejezését találjuk: . A vektornál lévő komponenst tangenciális gyorsulásnak nevezzük , ez jellemzi egy pont sebességi modulusának változását. A vektornál lévő komponenst normálgyorsulásnak nevezzük . Megmutatja, hogyan változik a pont mozgási iránya. ${\displaystyle {v}=v{\tau ))$ ${a}={\pont {v}}{\tau }+v^{2}k{\nu }$ ${\displaystyle {\tau ))$ ${\nu }$

Változatok és általánosítások

A síkgörbék leírásánál gyakran bevezetik az úgynevezett orientált görbület fogalmát.

Legyen egy tetszőleges természetesen parametrizált síkbeli szabályos görbe. Tekintsünk egységnormálisok családját úgy, hogy mindegyik pontban kettő helyes alapot képez . A görbe egy pontban lévő orientált görbületét számnak nevezzük . A feltételezések alapján a következő egyenletrendszer megy végbe, az úgynevezett orientált görbület Frenet-képlete $\gamma (s)$ ${\nu _{o))$ $({\tau },{\nu _{o)))$ $\mathbf {\gamma } (s)$ $\gamma$ $s$ $k_{o}=\langle {\ddot {\gamma }}(s),\;{\nu _{o}}\rangle$

${\dot {\tau }}=k_{o}{\nu _{o}}\quad {\dot {\nu _{o}}}=-k_{o}{\tau }$ .

A háromdimenziós esethez hasonlóan az alakbeli egyenleteket egy síkbeli szabályos görbe természetes egyenleteinek nevezzük, és teljesen meghatározzák azt. $k_{o}=f(s)$

Lásd még

A Darboux-triéder egy hasonló konstrukció egy felületen lévő görbére.

Irodalom

Toponogov, V. A. Görbék és felületek differenciálgeometriája . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .