Az 1. kóddimenzió foliációja

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2017. március 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az 1. kóddimenziójú fóliázás egy sokaság diszjunkt részhalmazokra való felosztása , amelyek lokálisan sima , szabályos függvények sík felületeinek tűnnek .

Definíció

Egy -dimenziós sokaságon az 1-es kóddimenziós fóliázás akkor adott, ha az a következő tulajdonsággal rendelkező, útvonalhoz kapcsolódó részhalmazokba való partícióval van felruházva : onnan bármely pont szomszédságában van egy lokális koordinátarendszer , amelyben a a halmaz megoldásokból áll . $n$ $M$ $M$ ${\displaystyle L_{\alpha ))$ $M$ $x^{1},\dots ,x^{n}:U\to \mathbb {R}$ $L_{\alpha }\cap U$ ${\displaystyle x^{n}={const))$

A halmazokat a lombozat rétegeinek , összterének nevezzük . ${\displaystyle L_{\alpha ))$ $M$

A rétegek egy topológiával vannak felruházva, amely a réteg és a teljes elosztó nyílt részhalmazai közötti metszéspontjának összekapcsolt komponensein alapul . Ebből a topológiából a levél egy sima sokaság, és a teljes sokaságba való belefoglalása a gyenge értelemben vett beágyazás . $M$

Kapcsolódó definíciók

A lombozat meghatározó 1-formája

A nyitott halmazban a foliáció meghatározó 1-es formája egy sima 1-es forma , amely nem egyenlő nullával in -vel , amelynek korlátozása bármely szál metszéspontjára triviális. $U\ részhalmaz M$ $\omega$ $U$ $U$

Nem minden nullától eltérő 1-es alak határoz meg foltozást -ben , szükséges, hogy a Frobenius integrálhatósági kritérium teljesüljön : $U$

Egy sima 1-es alak , amely nem egyenlő nullával -ben , akkor és csak akkor határoz meg foliációt, ha a két egyenértékű feltétel közül az egyik teljesül $\omega$ $U$ $U$

van egy sima 1-es forma , így $\eta$ , $d\omega =\eta \wedge \omega$
$\omega \wedge d\omega =0$ .

Különösen minden zárt 1-forma határoz meg egy foliációt.

Ha , akkor van egy globális meghatározó alakunk . Az 1-es kóddimenziójú fóliázást akkor és csak akkor határozza meg egy globális 1-forma, ha orientálható , és ennek az 1-es formának a kiválasztása egy adott orientáció kiválasztásához vezet. $U=M$

A globális definiáló forma csak akkor zárható, , ha az elosztó egy kör feletti köteg [1] . $\omega \neq 0$ $d\omega =0$

Godbillon-Vey osztály

Az 1. kóddimenziójú tájolható fóliák esetében a Godbillon-Wey osztály [2] a következő :

A tájolható fóliázást az integrálhatósági feltételt kielégítő globális forma adja ; ezért létezik olyan sima 1-forma , hogy . A lombozat Godbillon-Wey osztálya egy forma kohomológiai osztálya . $F$ $\omega \neq 0$ $\eta$ $d\omega =\eta \wedge \omega$ $F$ $\eta \wedge d\eta$

Egy háromdimenziós sokaságon definiálható a Godbillon-Wey szám , amely megegyezik a Godbillon-Wey osztály értékével az alapvető homológia osztályon .

A Godbillon-Wey osztály geometriai jelentése továbbra is tisztázatlan – a jelenleg ismert tételek azt mutatják, hogy a nem triviális Godbillon-Wey osztályú fóliázások meglehetősen zavaróak.

Példák

Sima köteg egy egydimenziós elosztó felett
A tórusz körökre vágása vagy irracionális tekercselés, $T^{2}$
Reeb lombozata egy gömbön $S^{3}$

A Reeb-fóliázással együtt számos más sokaságon, különösen az összes páratlan dimenziós szférán léteznek explicit 1-es kóddimenziós foliációk [3] . $S^{2k+1}$

Tulajdonságok

A csatlakoztatott nyitott elosztón mindig van ilyen fólia [4] .
Zárt elosztón az 1 - es kóddimenziójú foliáció létezéséhez szükséges és elegendő, hogy az elosztó Euler-karakterisztikája egyenlő legyen nullával, [5] . $M$ ${\megjelenítési stílus \chi (M)}$ $\chi (M)=0$
- Ez különösen igaz minden páratlan dimenziójú zárt elosztócsőre . Egy felület esetében az Euler-karakterisztika , ezért az összes kétdimenziós felület közül csak a
tóruszon van sima fólia. $M^{2k+1}$ $M_{g}^{2}$ $\chi (M_{g}^{2})=2-2g$ $T^{2}$

Irodalom

I. Tamura . A foliáció topológiája - M: Mir, 1979.

D. B. Fuchs . Foliations - Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Algebra. Nyárfa. Geom., 18, VINITI, Moszkva, 1981, 151–213 [1]

Jegyzetek

↑ Tischler D. Bizonyos foltos elosztók szálkásításáról - Topology, v.9, 1970, p.153-154 $S^{1}$
↑ Godbillon C., Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension un - CrAcad. sci., 1971, v. 273, N2, 92-95
↑ Lawson HB Foliations. - Bika. amer. Math. Soc., 1974, v.80, N3, 369-418
↑ Haefliger A. Feuilletages sur les varetes ouvertes. - Topológia, 1970, 9, N2, 183-194
↑ Thurston W. Az egydimenziós foliáció megléte. — Ann. Math., 1976, v.104, N2, 249-268.