Eloszlás (differenciálgeometria)

A gyűjtőcsonkon lévő eloszlás az elosztó érintőkötegének egy részkötege . Más szóval, minden pontban az érintőtér lineáris alterét választjuk, amely simán függ a ponttól . $M$ $x\-ben M$ $\Delta _{x}$ $T_{x}M$ $x$

Az eloszlásokat az integrálhatóság elméletében és a sokaságon történő foliáció elméletében használják.

Definíció

Legyen egy sima dimenziós sokaság és . Tegyük fel, hogy minden pontban az érintőtér egy -dimenziós alterét választjuk úgy, hogy bármely pontnak van szomszédsága és lineárisan független sima vektormezők , és bármely pont esetén a vektorok képezik az altér alapját . $M$ $n$ $k\leq n$ $x \-ben M$ $k$ $\Delta _{x}\subset T_{x}(M)$ $x\-ben M$ $U_{x}\subset M$ $k$ $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $y\in U_{x}$ $X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)$ $\Delta _{y}\subset T_{y}(M)$

Ebben az esetben az összes alterek gyűjteményét -dimenziós eloszlásnak nevezzük a sokaságon . $\Delta$ $\Delta _{x}$ $x \-ben M$ $k$ $M$

Ebben az esetben a vektormezőket az eloszlás lokális bázisának nevezzük $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ $\Delta .$

Involív eloszlások

Egy -on eloszlást involúciósnak nevezünk , ha minden pont közelében van egy lokális eloszlási alap úgy, hogy a vektormezők Lie zárójelei a lineáris terjedelembe tartoznak , azaz vektorok lineáris kombinációi . Az eloszlás feltétele, hogy az involúciót így írják . $\Delta$ $M$ $x \-ben M$ $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ $[X_{i},X_{j}]$ $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ $[X_{i},X_{j}]$ $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}.$ $\Delta$ $[\Delta ,\Delta ]\subset \Delta$

Az involúciós eloszlások a fóliák érintőterei . Az involúciós eloszlások azért fontosak, mert kielégítik a Frobenius-tétel feltételeit , és így integrálható rendszerekhez vezetnek.

Eloszlás meghatározása 1 formájú rendszerrel

Nyílt halmazon a -dimenziós eloszlás megadható az egyes pontokban definiált és minden pontban lineárisan független sima 1-alakok rendszerével: az egyenletek határozzák meg . Ha és olyan 1-es formák rendszerei, amelyek a -ben és -ben való eloszlását határozzák meg , akkor a metszéspontban az alak , ahol olyan sima függvények vannak , hogy -ben . Ha , azt mondjuk , hogy a globális meghatározó alakrendszer adott . $U\ részhalmaz M$ $k$ $\Delta$ ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{nk))$ $U$ $\omega _{i}(\xi )=0$ ${\displaystyle \{\omega _{1}\dots ,\omega _{nk}\))$ ${\displaystyle \{\omega _{1}',\dots ,\omega _{nk}'\))$ $\Delta$ $U$ $U'$ $U\cap U'$ ${\displaystyle \omega _{i}=\sum \phi _{ij}\omega _{j))$ ${\displaystyle \phi _{ij))$ $\det(\phi _{ij})\neq 0$ $U\cap U'$ $U=M$

Az elosztás integrálhatósága

$k$ Egy -dimenziós eloszlást akkor mondunk integrálhatónak , ha minden ponton áthalad egy -dimenziós integrálfelület, amely minden pontjában érinti az eloszlást. $x\-ben M$ $k$

Az egydimenziós eloszlást egy vektormező adja , amely nem tűnik el . Egy ilyen eloszlás mindig integrálható a közönséges differenciálegyenletek megoldására vonatkozó lokális létezés és egyediségtétel miatt.

A -dimenziós esetben, vannak integrálható és nem integrálható eloszlások is. A Frobenius-tétel szükséges és elégséges feltételt ad egy eloszlás integrálhatóságához. $k$ $k>1$

Frobenius tétele a vektormezők szempontjából

Tétel: Egy -dimenziós eloszlás akkor és csak akkor integrálható, ha az eloszlást érintő vektorok halmaza a Lie zárójel alatt zárva van . $k$

Így az involúciós eloszlások integrálhatók.

Frobenius tétele az 1-alakok szempontjából

Tétel: -a sima 1-alakok rendszerével adott dimenzióeloszlás akkor és csak akkor integrálható, ha bármilyen differenciál $k$ ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{nk))$

${\displaystyle d\omega _{i}=\sum _{j}\eta _{j}^{i}\wedge \omega _{j))$ ,

hol vannak a sima 1-es formák. Ha a meghatározó formák függetlenek, ez a feltétel ekvivalens a rendszerrel ${\displaystyle \eta _{j}^{i))$ $\omega _{{i}}$

$\omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{nk}\wedge d\omega _{i}=0$ .

Az integrálható eloszlás meghatározza a fóliázást az elosztón : szálai integrált elosztófelületek. Ne feledje, hogy a -dimenziós eloszlás mindig integrálható, ezért -dimenziós foliációt generál . $\Delta$ $M$ $egy$ $egy$

Thurston tétele

Thurston tétele : Zárt sokaságon minden eloszlás homotopikusan integrálható [ 1] , [2] .

Nyílt sokaság esetén Haefliger [3] talált egy kritériumot arra, hogy egy eloszlás homotop legyen valamilyen integrálható eloszlással .

Lásd még

Jegyzetek

↑ W. Thurston , Az egynél nagyobb kóddimenziós foliáció elmélete - Comm. Math. Helv. 49 (1974), pp. 214–231.
↑ W. Thurston , Az egyik codimenziós foliációk létezése - Ann. of Math., 104:2 (1976), pp. 249–268.
↑ A. Haefliger , Feuilletages sur les variétés ouvertes - Topology, 9:2 (1970), pp. 183–194.

Irodalom

Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Modern geometria. Módszerek és alkalmazások. - M .: Nauka, 1971.
Fomenko A. T. , Fuchs D. B. A homotópia topológia kurzusa. - M .: Nauka, 1989.