Duhamel elv

A matematikában , pontosabban a differenciálegyenletekben a Duhamel-elv lehetővé teszi, hogy megoldást találjunk az inhomogén hullámegyenletre , valamint az inhomogén hőegyenletre [1] . Nevét Jean-Marie Constant Duhamel (1797–1872) francia matematikusról kapta.

Adott egy inhomogén hullámegyenlet:

u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t)

kezdeti feltételekkel

u(x,0)=u_{t}(x,0)=0.

A megoldás így néz ki:

u(x,t)={\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{xc(ts)}^{x+c(ts)}f( \xi ,s)\,d\xi \,ds.

Állandó együtthatójú lineáris ODE-hez

A Duhamel-elv azt mondja, hogy egy nem homogén lineáris parciális differenciálegyenletre úgy lehet megoldást találni, hogy egy homogén egyenletre keresünk megoldást, majd behelyettesítjük a Duhamel-integrálba . Tegyük fel, hogy van egy nemhomogén közönséges differenciálegyenletünk állandó m-rendű együtthatókkal:

P(\partial _{t})u(t)=F(t)

\partial _{t}^{j}u(0)=0,\;0\leq j\leq m-1

ahol

P(\partial _{t}):=a_{m}\partial _{t}^{m}+\cdots +a_{1}\partial _{t}+a_{0},\; a_{m}\neq 0.

A homogén ODE-t először a következő módszerekkel tudjuk megoldani. Minden lépés formálisan történik, figyelmen kívül hagyva a megoldás világos meghatározásához szükséges követelményeket.

P(\partial _{t})G=0,\;\partial _{t}^{j}G(0)=0,\quad 0\leq j\leq m-2,\;\ részleges _{t}^{m-1}G(0)=1/a_{m}.

Definiáljon , - karakterisztikus függvényt az intervallumon . Akkor ${\displaystyle H=G\chi _{[0,\infty )))$ ${\displaystyle \chi _{[0,\infty )))$ $[0,\infty)$

P(\partial _{t})H=\delta

egy általános függvény .

u(t)=(H\ast F)(t)

=\int _{0}^{\infty }G(\tau )F(t-\tau )\,d\tau

=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau )F(\tau )\,d\tau

van megoldás az ODE-re.

Parciális differenciálegyenletekhez

Legyen egy inhomogén parciális differenciálegyenlet állandó együtthatókkal:

P(\partial _{t},D_{x})u(t,x)=F(t,x)

ahol

D_{x}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}

Először is, az x Fourier - transzformációját használva

P(\partial _{t},\xi ){\hat {u}}(t,\xi )={\hat {F}}(t,\xi ).

ahol egy m-rendű ODE van t -ben . Legyen ez a legmagasabb rendű tag együtthatója . $P(\partial _{t},\xi )$ ${\displaystyle a_{m))$ $P(\partial _{t},\xi )$

Mindegyikről döntünk $\xi$ $G(t,\xi )$

P(\partial _{t},\xi )G(t,\xi )=0,\;\partial _{t}^{j}G(0,\xi )=0\;{\ mbox{ for }}0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0,\xi )=1/a_{m}.

Határozzuk meg . Akkor $H(t,\xi )=G(t,\xi )\chi _{[0,\infty )}(t)$

P(\partial _{t},\xi )H(t,\xi )=\delta (t)

egy általános függvény .

{\hat {u}}(t,\xi )=(H(\cdot ,\xi )\ast {\hat {F}}(\cdot ,\xi ))(t)

=\int _{0}^{\infty }G(\tau ,\xi )F(t-\tau ,\xi )\,d\tau

=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau ,\xi )F(\tau ,\xi )\,d\tau

az egyenlet megoldása (miután visszamegyünk x -re ).

Jegyzetek

↑ Poisson-integrál az inhomogén hőegyenlethez. Duhamel elve (elérhetetlen link)