Alapigazság

Az axióma ( ógörögül ἀξίωμα „állítás, álláspont”), vagy posztulátum (a latin  postulatum  - lit. szükséges [1] ) bármely elmélet kiinduló álláspontja, amelyet ennek az elméletnek a keretein belül igaznak fogadunk el bizonyítási igény nélkül, és akkor használjuk, ha bizonyítva egyéb rendelkezéseit, amelyeket viszont tételeknek nevezünk [2] .

Időpont

A bizonyítás nélküli axiómák elfogadásának szükségessége egy induktív érvelésből következik: minden bizonyítás kénytelen bizonyos állításokra támaszkodni, és ha mindegyik megköveteli a saját bizonyítását, a lánc végtelennek bizonyul. Annak érdekében, hogy ne menjen a végtelenbe, valahol meg kell szakítani ezt a láncot - vagyis bizonyos állításokat bizonyíték nélkül kell elfogadni kezdetiként. Ezeket a kezdeti állításokat axiómáknak [3] nevezzük .

A modern tudományban bármely elmélet alapjául szolgáló axiómák igazságának kérdését vagy más tudományos elméletek keretein belül, vagy ennek az elméletnek az értelmezésével oldják meg [4] .

Egy elmélet axiomatizálása (vagy formalizálása ) az axiómák és következtetési szabályok véges vagy megszámlálható , rekurzívan felsorolható (mint például Peano axiomatikájában ) kifejezett jelzése . Miután megadtuk a vizsgált objektumok nevét és alapvető összefüggéseit, valamint azokat az axiómákat, amelyeknek ezeknek a kapcsolatoknak engedelmeskedniük kell, minden további kifejtésnek kizárólag ezeken az axiómákon kell alapulnia, és nem támaszkodnia kell ezeknek a tárgyaknak a szokásos konkrét jelentésére, kapcsolataikat.

Egy adott elmélet alapját képező axiómák megválasztása nem az egyetlen. A matematikai logikában és az euklideszi geometriában találhatunk példákat különböző, de egyenértékű axiómahalmazokra .

Konzisztensnek nevezzük az axiómák halmazát, ha ennek a halmaznak az axiómái alapján a logika szabályait alkalmazva nem lehet ellentmondásra jutni, azaz egy bizonyos állítást és tagadását egyszerre bizonyítani .

Kurt Gödel osztrák matematikus bebizonyította a " hiányossági tételeket ", amelyek szerint minden matematikai axiómarendszer ( formális rendszer ), amelyben a természetes számok, összeadás és szorzás meghatározható, hiányos. Ez azt jelenti, hogy végtelen sok matematikai állítás (függvény, kifejezés), amelyeknek sem igaza, sem hamissága nem igazolható ezen axiómarendszer alapján. A hiányossági tétel szerint ezen nem levezethető állítások között is lesz egy állítás ennek a rendszernek a konzisztenciájáról.

Történelem

Az "axióma" kifejezés először Arisztotelésznél található ( Kr. e. 384-322 ) , és az ókori Görögország filozófusaitól került át a matematikába . Eukleidész különbséget tesz a "posztulátus" és az "axióma" között, anélkül, hogy megmagyarázná a különbségeiket. Boethius kora óta a posztulátumokat követelményeknek (petitio), az axiómákat általános fogalmaknak fordítják. Eredetileg az "axióma" szó jelentése "önmagában nyilvánvaló igazság". Az Eukleidész Elemek különböző kézirataiban az állítások axiómákra és posztulátumokra való felosztása eltérő, sorrendjük nem egyezik. Valószínűleg az írástudók eltérően vélekedtek e fogalmak közötti különbségről.

Az axiómákhoz, mint néhány változatlan magától értetődő igazsághoz való hozzáállás hosszú ideig megmaradt. Például Dahl szótárában az axióma a „bizonyíték, önmagában világos és vitathatatlan igazság , amely nem igényel bizonyítékot ”.

Az axiómák felfogásának megváltoztatásához Nyikolaj Lobacsevszkij orosz matematikusnak a nem-euklideszi geometriáról szóló , először az 1820-as évek végén publikált munkája adta a lendületet. Még diákként próbálta bizonyítani Eukleidész ötödik posztulátumát , de később felhagyott vele. Lobacsevszkij arra a következtetésre jutott, hogy az ötödik posztulátum csak egy önkényes korlátozás, amely helyettesíthető egy másik megszorítással. Ha Eukleidész ötödik posztulátuma bizonyítható lenne, akkor Lobacsevszkij ellentmondásokba ütközne. Bár az ötödik posztulátum új változata vizuálisan nem volt nyilvánvaló, teljes mértékben betöltötte az axióma szerepét, lehetővé téve egy új, következetes geometriarendszer felépítését.

Eleinte Lobacsevszkij elképzeléseit nem ismerték fel (például Osztrogradszkij akadémikus negatívan beszélt róluk ). Később, amikor Lobacsevszkij más nyelveken publikált műveit, Gauss felfigyelt rá , akinek szintén volt némi tapasztalata a nem euklideszi geometriában. Közvetve csodálatát fejezte ki e munka iránt. Lobacsevszkij geometriája csak 10-12 évvel a szerző halála után kapott igazi elismerést , amikor is az euklidészi geometria konzisztenciájával igazolták konzisztenciáját. Ez forradalomhoz vezetett a matematikai világban. Hilbert egy hatalmas projektet indított az egész matematika axiomatizálására, hogy bebizonyítsa annak következetességét. Tervei nem valósultak meg Gödel későbbi befejezetlenségi tételei miatt . Ez volt azonban a lendület a matematika formalizálásához. Megjelent például a természetes számok axiómái és azok aritmetikája , Cantor munkája a halmazelmélet megalkotásáról . Ez lehetővé tette a matematikusok számára, hogy szigorúan igaz bizonyításokat alkossanak a tételekre.

Most az axiómák nem önmagukban igazolódnak, hanem az elmélet szükséges alapelemeiként – az axiómák lehetnek önkényesek, nem kell nyilvánvalónak lenniük. Az axiomatikus rendszerekkel szemben támasztott egyetlen változatlan követelmény a belső konzisztencia. Az axiómakészlet kialakításának kritériumai egy adott elméleten belül gyakran pragmatikusak: a megfogalmazás rövidsége, a manipuláció egyszerűsége, a kezdeti fogalmak számának minimalizálása stb. Egy ilyen megközelítés nem garantálja az elfogadott axiómák igazságát [2] . A Popper-kritériumnak megfelelően egyetlen negatív példa megcáfolja az elméletet, és ennek következtében bizonyítja az axiómarendszer hamisságát, míg sok megerősítő példa csak növeli az axiómarendszer igazságának valószínűségét .

Példák

Példák axiómákra

  1. Választás axiómája
  2. Eukleidész párhuzamossági axiómája
  3. Arkhimédész axiómája
  4. Térfogati axióma
  5. A szabályosság axiómája
  6. A teljes indukció axiómája
  7. Kolmogorov axiómája
  8. Boole-féle axióma .

Példák axiómarendszerekre

  1. A halmazelmélet axiomatikája
  2. Valós számok axiomatikája
  3. Eukleidész axiomatikája
  4. Hilbert axiomatikája .
  5. Tarski axiomatikája

Lásd még

Irodalom

Linkek

Jegyzetek

  1. ↑ Idegen szavak szótára. - M .: " Orosz nyelv ", 1989. - 624 p. ISBN 5-200-00408-8
  2. ↑ 1 2 Szerkesztette: A.A. Ivin. Axióma // Filozófia: Enciklopédiai szótár. — M.: Gardariki . – 2004.
  3. ↑ Cline Maurice . "Matematika. A meghatározás elvesztése." — M.: Mir, 1984.
  4. ↑ Filozófiai enciklopédikus szótár. — M.: Szovjet Enciklopédia. Ch. szerkesztők: L. F. Iljicsev, P. N. Fedosejev, S. M. Kovalev, V. G. Panov. 1983.
  Ugrás a Wikidata elemre  Szótárak és enciklopédiák