Mayer-Vietoris sorozat

A Mayer-Vietoris sorozat egy természetes hosszú, egzakt sorozat , amely összeköti egy tér homológiáját az azt lefedő két nyitott halmaz homológiájával és azok metszéspontjaival.

A Mayer-Vietoris szekvencia felírható különféle homológiaelméletekre , beleértve a szingulárisokat is , valamint minden olyan elméletre, amely kielégíti a Steenrod-Eilenberg axiómákat .

Két osztrák matematikusról, Walter Mayerről és Leopold Vietorisról nevezték el .

Megfogalmazás

Tegyük fel , hogy a topológiai teret nyitott részhalmazok és . Mayer-Vietoris sorrend: $x$ $A$ $B$

{\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n}(A\cap B)\ ,{\xjobbra {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xjobbra {k_{*}-l_{* ))}\,H_{n}(X){\xjobbra nyíl {\partial _{*))}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n-1}( A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0} (X)\jobbra \,0.\end{igazított}}

Itt a , , , leképezések zárványleképezések, és az Abel-csoportok közvetlen összegét jelölik . $i\colon A\cap B\to A$ $j\colon A\cap B\to B$ $k\colon A\to X$ $l\colon B\to X$ $\oplus$

A dimenziócsökkentő határleképezés a következőképpen definiálható. Egy -ben lévő elemet egy -ciklus képvisel, amely két -lánc és -lánc összegeként írható fel , amelynek képei teljes egészében -ben, illetve -ben helyezkednek el . Ezt úgy érhetjük el, hogy többszöri baricentrikus felosztást alkalmazunk. $\partial _{*}$ $H_{n}(X)$ $n$ $x$ $n$ $u$ $v$ $A$ $B$ $x$

Szóval , úgy . Ne feledje, hogy mind a határok, mind a határok a . Ezután osztályként van definiálva . Ebben az esetben a bővítés megválasztása nem befolyásolja az értékét . $\partial x=\partial u+\partial v=0$ $\partial u=-\partial v$ $\partial u$ $\partial v$ $A\cap B$ $\partial _{*}[x]$ $[\partial u]\in H_{n-1}(A\cap B)$ $x=u+v$ $[\partial u]$

Jegyzetek

A sorrendben a leképezések a és a sorrend kiválasztásától függenek . $A$ $B$
- Konkrétan a határleképezés változik jele, ha és felcserélődnek. $A$ $B$

Alkalmazások

Szféra homológia

Egy k - dimenziós gömb homológiájának kiszámításához képzelje el a gömböt két k - dimenziós korong egyesüléseként , amelynek metszéspontja homotopikusan ekvivalens egy - dimenziós egyenlítői gömbnek . Mivel és összehúzhatóak, a Mayer-Vietoris sorozat a sorozatok pontosságát jelenti $S^{k}$ $A$ $B$ $(k-1)$ ${\displaystyle S^{k-1))$ $A$ $B$

0\rightarrow H_{n}(S^{k}){\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n-1}(S^{k-1})\rightarrow 0

at . A pontosság azonnal azt jelenti, hogy a ∂ * homomorfizmus izomorfizmusa a -nak . Következésképpen, $n\geqslant 1$ $n\geqslant 1$

H_{n}(S^{k})\cong \mathbb {Z}

, ha ,

n=k,0

másképp

H_{n}(S^{k})\cong 0

Bottle of Klein

A Klein-palack homológiájának kiszámításához két Möbius-csík és a határkörük mentén ragasztott egyesítéseként ábrázoljuk . Ekkor , és metszéspontjuk homotopikusan egy körnek felel meg . A sorozat nem triviális része megadja $A$ $B$ $A$ $B$ $A\cap B$

0\rightarrow H_{2}(X)\rightarrow \,\mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\alpha }}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,H_{ 1}(X)\jobbra 0

A triviális rész a homológia nullázását jelenti a 3-as és magasabb dimenziókban. Vegyük észre, hogy mivel a Möbius-szalag határköre kétszer teker a középvonala köré. Különösen injektív . Ezért ,. Az (1, 0) és (1, 1) bázist választva -ben megkapjuk $\alpha (1)=(2,2)$ $\alpha (1)$ $H_{2}(X)=0$ $\mathbb {Z} ^{2}$

{\displaystyle {H}_{1}\left(X\right)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2))

Változatok és általánosítások

A redukált homológia kielégíti a Mayer-Vietoris sorozatot is, feltételezve, hogy és van egy nem üres metszéspontja. Ez a sorozat megegyezik a szokásosval, de így végződik: $A$ $B$ $\cdots \rightarrow {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})))\,{\tilde {H }}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H} }_{0}(X)\jobbra \,0.$
A relatív homológiák esetében a sorrend a következő: $\cdots \rightarrow H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})))\,H_{n}(A, C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xjobbra {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xjobbra {\részleges _ {*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\rightarrow \cdots$

Lásd még

Van Kampen tétele