Polyus (komplex elemzés)

Egy izolált szinguláris pontot egy olyan függvény pólusának nevezzük , amely holomorf ennek a pontnak valamely kiszúrt környezetében , ha van határ $z_{0}$ $F z)$

$\lim _{{z\to {z_{0}}}}f(z)=\infty$ .

Póluskritériumok

Egy pont akkor és csak akkor pólus, ha a függvény Laurent-soros kiterjesztésében a pont szúrt környezetében a fő rész véges számú nullától eltérő tagot tartalmaz, azaz. $z_{{0}}$ $F z)$ $z_{0}$

$f(z)=\összeg _{{k=-\infty }}^{{\infty }}{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{ {-n}}(z-z_{0})^{{-n}}+\ldots +f_{{-1}}(z-z_{0})^{{-1}}$ ,

hol van a Laurent sorozat megfelelő része . Ha , akkor a sorrend pólusának nevezzük . Ha , akkor a pólust egyszerűnek nevezzük. $P(z)$ $f_{{-n}}\neq \ 0$ $z_{0}$ $n$ $n=1$

Egy pont akkor és csak akkor egy sorrend pólusa, ha , és $z_{{0}}$ $k$ $\lim _{{z\to {z_{0}}}}f(z)(z-z_{0})^{{k-1}}=\infty$ $\lim _{{z\to {z_{0}}}}f(z)(z-z_{0})^{k}\neq \infty$
Egy pont akkor és csak akkor a sorrend pólusa, ha a függvény sorrendjének nullája . $z_{{0}}$ $k$ $F(z)={\frac {1}{f(z)))$ $k$

Lásd még

Más típusú izolált szinguláris pontok:
- Kivehető szinguláris pont
- Lényeges szinguláris pont

Irodalom

Bitsadze A.V. Egy komplex változó analitikus függvényeinek elméletének alapjai - M., Nauka, 1969.
Shabat B.V., Bevezetés a komplex elemzésbe - M., Nauka, 1969.