A kinematikai és mechanikai összefüggések kvantumelméleti értelmezéséről

"A kinematikai és mechanikai kapcsolatok kvantumelméleti értelmezéséről" ( németül: Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen ) Werner Heisenberg cikke , amely 1925 szeptemberében jelent meg a Zeitschrift für Physik -ben, és lefektette a qua mechanics alapjait . A cikk 1925. július 25-én került a szerkesztőség elé – ez a nap tekinthető a modern kvantumelmélet születésnapjának [1] .

A szénanáthából felépülő Helgoland szigeten Heisenberg dolgozott az újságon, miközben Wolfgang Paulival [2] levelezett a témában . Arra a kérdésre, hogy mit gondol a kéziratról, Pauli pozitívan válaszolt [3] , de Heisenberg azt mondta, hogy még mindig "nagyon bizonytalan a dologban" [4] . 1925 júliusában elküldte a kéziratot Max Bornnak áttekintésre és döntésre a kiadásáról [5] .

A cikkben Heisenberg megpróbálta megmagyarázni az egydimenziós anharmonikus oszcillátor energiaszintjét, elkerülve a nem megfigyelhető elektronpályák fogalmát, megfigyelhető mennyiségeket, például átmeneti valószínűségeket használva a „ kvantumugrásokhoz ”, amihez a a kezdeti és a végállapotoknak megfelelő két index [6] .

A műben megjelent a Heisenberg-kommutátor is, a szorzási törvénye, amely az atomok bizonyos tulajdonságainak leírásához szükséges, amikor is két fizikai mennyiség szorzata nem ingázik . Ezért PQ különbözik a QP -től , ahol például P az elektron impulzusa, Q pedig a koordinátája. Paul Dirac , aki 1925 augusztusában megkapta a cikk próbapéldányát, rájött, hogy a kommutativitás törvénye még nem fejeződött be, és létrehozta ugyanazon eredmények algebrai kifejezését egy logikusabb formában [7] .

Tartalom

Kvantumkinematika

A cikk kivonata megfogalmazza a cikk fő célját [8] [9]

Ebben a munkában a kvantumelméleti mechanika alapjainak megszerzésére tesznek kísérletet, amelyek kizárólag az alapvetően megfigyelhető mennyiségek közötti kapcsolatokon alapulnak.

Mint "meg nem figyelhető" mennyiségek, amelyeket a régi kvantumelméletben használtak: a koordináták és az elektron forgási periódusa. Ennek megfelelően megfigyelhetőek voltak a kísérletben elérhető értékek: a Bohr -pályák energiái és az átmeneti frekvenciák [8] : $W(n)$

\omega (n,n-\alpha )={\frac {1}{\hbar }}\left[W(n)-W(n-\alpha )\right]\,,

( Lv. 1.1 )

ahol n egy természetes szám, amely a kezdeti energiaszintet jelöli, az új szintet pedig az n - α index jelöli . Heisenberg a szokásos kinematika, azaz az x ( t ) elektronpálya keresése helyett a stacionárius Bohr-pályák közötti átmenet valószínűségének figyelembevételét javasolta. Az n szinten elhelyezkedő, ω ( n ) alapfrekvenciájú elektron (egydimenziós problémát tekintünk) pályája Fourier-sorként ábrázolható [8] :

x(n,t)=\sum _{-\infty }^{\infty }X_{\alpha }(n)\exp ^{i\omega (n)\alpha t}\,.

( Lv. 1,2 )

Az α - harmonikus sugárzási teljesítménye a parabolapotenciálban mozgó klasszikus gyorsított elektron Larmor képletéből vehető

-\left({\frac {dE}{dt}}\right)_{\alpha }={\frac {e^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}c^{3 ))}[\omega (n)\alpha ]^{4}|X_{\alpha }(n)|^{2}\,,

( Lv. 1,3 )

ahol e az elektron töltése, c a fénysebesség [10] . A Heisenberg által átírt klasszikus képletet, amelyet az ω ( n ) α kvantummennyiségekre ír át, az eq kifejezés helyettesíti . 1.1 , az X α ( n ) – X ( n , n - α ) Fourier komponensre [8] . ur jobb oldala . Az 1.3 helyébe az energia és az átmeneti valószínűség szorzata lép

P(n,n-\alpha )={\frac {e^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}\hbar c^{3}}}[\omega (n,n- \alpha )]^{4}|X(n,n-\alpha )|^{2}\,,

( Lv. 1,4 )

Az X ( n , n - α ) Heisenberg átmeneti amplitúdó is a megfigyelt értékre utal [8] [11] . Ez a mennyiség csak egy átmenetet ír le, és a teljes átmeneti valószínűséghez minden mennyiséget figyelembe kell venni , továbbá a szerző felteszi a kérdést az x ( t ) 2 részecskepálya négyzetének ábrázolásáról , amelyből kiderül, hogy a szorzat két Fourier-sor ekv. 1.2 klasszikus részecskére [8] : $X(nn-\alpha )\exp[i\omega (n,n-\alpha )t]\,.$

[x(t)]^{2}=\sum _{\alpha }\sum _{\gamma }X_{\alpha }(n)X_{\gamma }(n)\mathrm {e} ^ {i\omega (n)(\alpha +\gamma )t}\,

( 1,5 Lv )

és a változók változása után $\beta =\alpha -\gamma$

[x(t)]^{2}=\sum _{\beta }Y_{\beta }(n)\mathrm {e} ^{i\omega (n)\beta t}\,,

( Lv. 1,6 )

ahol

Y_{\beta }(n)=\sum _{\alpha }X_{\alpha }(n)X_{\beta -\alpha }(n)\,.

( Lv. 1,7 )

Az egyenlet kvantumanalógja. 1.6 lesz egy kifejezés a következő formában: A Ritz kombinációs elv [11] az egyenlet analógjának megalkotására szolgál . 1.7 [8] : $Y(n,n-\beta )\exp[i\omega (n,n-\beta )t]\,.$

\omega (n,n-\alpha )+\omega (n-\alpha ,n-\beta )=\omega (n,n-\beta )\,.

( 1,8 Lv )

ebből következik az átmeneti amplitúdók szorzásának szabálya [12]

Y(n,n-\beta )=\sum _{\alpha }X(n,n-\alpha )X(n-\alpha ,n-\beta )\,.

( 1,9 Lv )

Heisenberg megjegyzi, hogy az [ x ( t )] n szorzatot hasonlóan kapjuk meg, de két x ( t ) y ( t ) mennyiség szorzatait figyelembe véve nehéz, mert a kvantumelméletben a klasszikustól eltérően a kifejezés eltérhet y -től ( t ). ) x ( t ) , amelyet a kvantumkinematika fontos jellemzőjeként értelmezett [8] .

Kvantumdinamika

Heisenberg megfigyelhető mennyiségeket állapított meg az új kvantumelmélethez: átmeneti amplitúdókat és frekvenciákat. Áttérve a dinamika vizsgálatára egy egydimenziós harmonikus oszcillátor példáján, amelynek megoldása a régi kvantumelméletben a mozgásegyenletek integrálása volt [8].

{\ddot {x}}+f(x)=0\,

( Lv. 2.1 )

és kvantumfeltételek megszerzése a periodikus mozgásokhoz

\oint pdq=\oint m{\dot {x}}^{2}dt\equiv J\,(=nh)\,,

( Lv. 2.2 )

ahol h Planck-állandó. Klasszikus oszcillátor esetén a koordináta kiterjesztését egy Fourier-sor egyenlet formájában helyettesítve. 1,2 az ur. 2.1 . lehetőség van a bővítési együtthatók ismétlődési összefüggéseinek megszerzésére. Korábban levezetett új kinematikai megfigyelések segítségével hasonló ismétlődési relációkat kaphatunk egy bizonyos f ( x ) kifejezésre, amelyet az alábbiakban tárgyalunk . A kvantumfeltételekhez ugyanazt a klasszikus egyenletsort használta. 1.2 , ami a [8] kifejezéshez vezet

\oint m{\dot {x}}^{2}dt=2\pi m\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }|X_{\alpha }(n)|^ {2}\alpha ^{2}\omega (n)\,.

( Lv. 2,3 )

Ha ezt a kifejezést nh -val egyenlővé tesszük, és h függvényében differenciálunk , Heisenberg megkapja a [8] kifejezést.

h=2\pi m\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }\alpha {\frac {d}{dn))(\alpha |X_{\alpha }(n)| ^{2}\omega (n))\,,

( Lv. 2,4 )

amelyben az X α ( n ) mennyiségeket egy állandóig definiáljuk. Ez a kifejezés a Bohr megfelelési szabály alkalmazása után új megfigyelhető mennyiségben írható fel

h=4\pi m\sum _{\alpha =0}^{\infty }{|X(n+\alpha ,n)|^{2}\omega (n+\alpha ,n)-|X (n,n-\alpha )|^{2}\omega (n,n-\alpha )}\,,

( 2,5 Lv )

ami a Thomas-Kuhn összegszabály . Most Heisenberg megoldja a rendszeregyenletet . 2.1 és ur. 2.5 egy meghatározott típusú erő esetében, amely egydimenziós anharmonikus oszcillátor [8] . $f(x)=\omega _{0}^{2}x+\lambda x^{2}\,,$

Megoldás az anharmonikus oszcillátorhoz

A Heisenberg-feltevés szerint az anharmonikus oszcillátor klasszikus mozgásegyenlete a kvantumdinamikát is leírja [12].

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x+\lambda x^{2}=0\,.

( Lv. 3.1 )

Ezt az egyenletet megfigyelhető mennyiségekben fejezzük ki az egyenlet segítségével . 1,7 -ből [8]

[\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}(n,n-\alpha )]X(n,n-\alpha )+\lambda \sum _{\beta }X (n,n-\beta )X(n-\beta ,n-\alpha )=0\,.

( Lv. 3,2 )

Ez a kifejezés α minden egyes értékéhez visszatérő formát ölt . Ezután felállít egy perturbációs elméletet egy anharmonikus oszcillátor kis paraméterével, kiterjesztve az egyenlet klasszikus megoldását. 3.1 sorban [8] :

x(t)=\lambda a_{0}+a_{1}\cos \omega t+\lambda a_{2}\cos 2\omega t+\lambda ^{2}a_{3}\cos 3\ omega t+\dots +\lambda ^{\alpha -1}a_{\alpha }\cos \alpha \omega t+\dots \,.

( Lv. 3,3 )

amelynek együtthatóit a kis paraméterben is sorba bővítjük

a_{0}=a_{0}^{(0)}+\lambda a_{0}^{(1)}+\lambda ^{2}a_{0}^{(2)}+\ pontok\,,

( Lv. 3,4 )

a_{1}=a_{1}^{(0)}+\lambda a_{1}^{(1)}+\lambda ^{2}a_{1}^{(2)}+\ pontok\,,

( 3,5 LVL )

valamint a frekvencia

\omega =\omega _{0}+\lambda \omega ^{(1)}+\lambda ^{2}\omega ^{(2)}+\pontok \,.

( 3,6 Lv )

Ellátó ur. 3,3 az ur. A 3.1 . ábrán a tágulási együtthatók egyenletrendszerét kapjuk. Ahhoz, hogy megtaláljuk ezeket az együtthatókat a perturbációelmélet első rendjében, korlátoznunk kell magunkat λ első hatványán . Heisenberg a kvantummegfigyelhető anyagokhoz hasonló módszert alkalmazva kvantumegyenletekhez jut a tágulási együtthatókhoz, és megoldásokat készít ezekre. Első sorrendben [8]

\omega ^{(0)}(n,n-\alpha )=\omega _{0}\,.

( 3,8 Lv )

a^{(0)}(n,n-\alpha )=A_{\alpha }{\frac {\beta ^{\alpha }}{\omega _{0}^{2(\alpha - 1)))}{\sqrt {\frac {n!}{(n-\alpha )!}}}\,.

( 3,8 Lv )

ahol és az α -tól függő numerikus együttható . Az oszcillátor energiájára a klasszikus esetben talál kifejezést $\beta ={\sqrt {h/\pi m\omega _{0))}\,$ ${\displaystyle A_{\alpha ))$

W=nh\omega _{0}/2\pi \,

( 3,9 Lv )

és kvantum esetben

W=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)h\omega _{0}/2\pi \,,

( 3,10 Lv )

összehasonlítja a perturbációelmélet másodrendű számításainak eredményét λ 2 -ben , ami összhangban van a régi elmélet korábbi számításaival [8] .

Történelem

1922. szeptember 29-én Paulinak írt első levelében egy anharmonikus klasszikus oszcillátor sugárzással való kölcsönhatását vizsgálja, de bevezeti a csillapítást anélkül, hogy elmagyarázná annak mechanizmusát [13] . 1925. június 5-én R. Kronignak írt levelében Heisenberg már az új kvantumelméletet használja az anharmonikus oszcillátor megoldására. Már ebben a levélben megadja a klasszikus harmonikusok szorzatának megfelelőjét

b_{2}{\textrm {e}}^{2i\omega t}=(a_{1}{\textrm {e}}^{i\omega t})^{2}\,,

kvantum megfigyelhető [14]

b(n,n-2)=a_{1}(n,n-1)a_{1}(n-1,n-2)\,.

Ez a kifejezés ekvivalens a mátrixelemek szorzatával. Nyilván Heisenberg júniusban fedezte fel [14] .

1925 júniusában Heisenberg súlyos szénanáthás rohamban szenvedett, ezért egy orvos tanácsára Göttingenből Helgoland szigetére költözött , ahol hiányzott a virágzó növényzet. Az új kvantumelméletről alkotott elképzelései ott nyerték el végső formáját [2] . Június 21-én Paulinak írt levelében leírja a kvantumharmonikus oszcillátor energiáját, egy június 24-i levelében pedig részletesebben tárgyalja az anharmonikus oszcillátort, amely később cikkében [15] jelenik meg . Június 29-én meggyőződött eredményének helyességéről, majd tíz nappal később befejezte a kézirat megírását, és véleményét kérve elküldte a cikket Paulinak [16] .

Értékelések

Van der Waerden Heisenberg cikkének következő főbb eredményeit emeli ki:

a klasszikus mechanika elveszti alkalmazhatóságát atomi mérlegekre;
a klasszikus mechanika kell, hogy legyen a kvantumelmélet korlátozó esete nagy kvantumszámok esetén, a megfelelési elvnek megfelelően;
a kvantum- és a klasszikus elmélet összekapcsolásának sikeres módszere a klasszikus kifejezésekben a differenciálok véges különbségekkel való helyettesítése kvantumesetben;
Heisenberg az atomi dimenziók mechanikájának megértésének fő problémáját nem a klasszikus törvényektől való eltérésben, hanem a mozgás mint olyan kinematikai leírásának elfogadhatatlanságában látta [17] ;
az x koordináta klasszikus értelmezésének elvetése a mozgásegyenletben [18] ;
átmeneti mennyiségek használata az elveszett koordináták helyett [19 ]
az átmeneti mennyiségek kapcsolatának megtalálása a spektrumvonalak megfigyelt intenzitásával [20] ;
a kvantummechanika megfogalmazása kizárólag megfigyelhető mennyiségekben [21] ;
a kvantummegfigyelhető értékek szorzására vonatkozó szabályok megfogalmazása, amelyeket később a mátrixok szorzatára vonatkozó szabályok formájában értelmeztek [22] ;
kvantálási szabályok megfogalmazása;
egy kvantumrendszer alapállapotának megléte [23] .

A Heisenberg által a harmonikus oszcillátor energiájára kapott eredmény a nullponti rezgések energiáját tartalmazza, amelyet R. Milliken hat hónappal cikkének megjelenése előtt fedezett fel [24] . Amint azt Heisenberg [25] kimutatta , Bohr elméletének inkonzisztenciája a képzeletbeli klasszikus trajektóriákkal [24] ellentmondott a Ritz-kombinációs elvnek . A cikk lefektette a mátrixmechanika alapjait , amelyet később M. Born és Pascual Jordan fejlesztett ki . Amikor M. Born elolvasta a cikket, rájött, hogy Heisenberg megfogalmazása átírható a mátrixok matematikailag szigorú nyelvezetén. M. Born asszisztense és egykori tanítványa , P. Jordan segítségével azonnal átírta új formára, eredményeiket publikálásra küldték be. M. Born a Heisenberg kvantumfeltételeket a bizonytalansági reláció modern formájában fogalmazta meg , ahol 1 az azonosságmátrix [26] . M. Born Heisenberget "tehetséges tudatlannak" nevezte, mert nem ismerte a mátrixok matematikai apparátusát, de képes volt újra felfedezni [25] . Kéziratukat csak 60 nappal Heisenberg dolgozata után kapták meg publikálásra [27] . Mindhárom szerző egy, a mátrixmechanikát több dimenzióra kiterjesztő nyomon követési tanulmányát még az év vége előtt benyújtották publikálásra [28] . ${\textbf {pq}}-{\textbf {qp}}={\frac {h}{2\pi i}}{\textbf {1}}\,,$

Annak ellenére, hogy alapvetően hozzájárult a modern kvantumelmélet megalkotásához, Heisenberg cikke nehezen érthető: S. Weinberg például azt mondta, hogy nem érti a szerző egyes matematikai átmeneteinek motivációját [8] . E. Fermi szintén nem tudott Heisenberg munkái alapján foglalkozni a kvantummechanikával, és E. Schrödinger [29] elmélete alapján tanulmányozta azt . N. Bohr nagyra értékelte Heisenberg eredményei és a megfelelési elv közötti formalizált matematikai kapcsolatot [30] .

Jegyzetek

↑ Milantiev, 2009 , p. 147.
↑ 12 van der Waerden, 1968 , p. 25.
↑ Mehra, Rechenberg, 1982 , p. 363.
↑ Kuhn, Thomas S. Werner Heisenberg - VII . https://www.aip.org/ . American Institute of Physics (1963. február 22.). Letöltve: 2022. május 25. Az eredetiből archiválva : 2021. július 27.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 36.
↑ Segre, Emilio. A röntgentől a kvarkokig: Modern fizikusok és felfedezéseik. - Dover Publications, 2007. - P. 153-157. — 352 p. — ISBN 0486457834 .
↑ Kragh, H. Dirac, Paul Adrien Maurice (1902–1984) // Oxford Dictionary of National Biography . – Oxford University Press, 2004.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Aitchison, Ian JR; MacManus, David A.; Snyder, Thomas M. Heisenberg 1925. júliusi „varázslatos” írásának megértése: Új pillantás a számítási részletekre // American Journal of Physics. - 2004. - T. 72 . - S. 1370 . - doi : 10,1119/1,1775243 . — arXiv : 0404009 .
↑ Heisenberg, W. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen // Zeitschrift für Physik. - 1925. - 1. évf. 33, 1. sz . - P. 879-893. Orosz fordítás: Heisenberg, V. A kinematikai és mechanikai kapcsolatok kvantumelméleti értelmezéséről // Advances in Physical Sciences . - Orosz Tudományos Akadémia , 1977. - T. 122 , no. 8 . - S. 574-586 . (Orosz)
↑ Razavy, 2011 , p. 39.
↑ 1 2 Razavy, 2011 , p. 40.
↑ 1 2 Razavy, 2011 , p. 41.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 23.
↑ 12 van der Waerden, 1968 , p. 24.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 25-27.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 27.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 28.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 29.
↑ van der Waerden, 1968 , p. harminc.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 30-32.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 33-34.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 34.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 35.
↑ 1 2 Milantiev, 2009 , p. 148.
↑ 1 2 Milantiev, 2009 , p. 150.
↑ van der Waerden, 1968 , p. 37.
↑ A kvantummechanikáról // Sources of Quantum Mechanics : [ eng. ] / BL van der Waerden. - Dover Publications, 1968. - P. 277-306 . - ISBN 0-486-61881-1 .
↑ A kvantummechanikáról II // Sources of Quantum Mechanics : [ eng. ] / BL van der Waerden. - Dover Publications, 1968. - P. 321-386 . - ISBN 0-486-61881-1 .
↑ Milantiev, 2009 , p. 153.
↑ Milantiev, 2009 , p. 154.

Irodalom

Razavy, Mohsen. Heisenberg kvantummechanikája. - World Scientific Publishing Company, 2011. - 680 p. — ISBN 9814304107 .
A kvantummechanika forrásai : [ eng. ] / BL van der Waerden . - Dover Publications, 1968. - P. 277-306 . - ISBN 0-486-61881-1 .
Milantiev, Vladimir P. A kvantummechanika megjelenésének története és az atomról alkotott elképzelések kialakulása . - M . : " Librokom " könyvesház, 2009. - S. 188 . — 248 p. - ISBN 978-5-397-00146-5 .
Mehra, Jagdish. A mátrixmechanika megfogalmazása és módosításai 1925–1926 / Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg. - Springer, 1982. - ISBN 0-387-90675-4 .

Linkek

Orosz fordítás: W. Heisenberg. A kinematikai és mechanikai összefüggések kvantumelméleti értelmezéséről // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Orosz Tudományos Akadémia , 1977. - T. 122 , no. 8 . - S. 574-586 . (Orosz)