Többpólusú sugárzás

A többpólusú sugárzás a rendszer többpólusú momentumainak időbeli változásából eredő sugárzás. A távoli források időben változó (nem stacionárius) eloszlásából származó elektromágneses vagy gravitációs sugárzás leírására szolgál. A többpólusú dekompozíciót különböző léptékű fizikai jelenségekre alkalmazzák, a galaxisok ütközésének következtében fellépő gravitációs hullámoktól a radioaktív bomlás következtében fellépő gammasugárzásig [1] [2] [3] . A többpólusú sugárzás elemzése hasonló módon történik, mint a helyhez kötött forrásokból származó mezők többpólusú kiterjesztésére . Vannak azonban lényeges különbségek, mivel a többpólusú sugárzás mezői némileg másként viselkednek, mint a helyhez kötött forrásokból származó mezők. Ez a cikk elsősorban az elektromágneses többpólusú sugárzással foglalkozik, bár a gravitációs hullámokat hasonlóan kezelik.

A többpólusú sugárzás tulajdonságai

A pillanatok linearitása

Mivel a Maxwell-egyenletek lineárisak, az elektromos tér és a mágneses tér lineárisan függ a forráseloszlástól. A linearitás lehetővé teszi a mezők független kiszámítását a különböző többpólusú momentumokból, és összeadva a rendszer teljes mezőjét. Ez a szuperpozíció jól ismert elve .

Többpólusú nyomatékok függése a referenciaponttól

A többpólusú nyomatékokat egy rögzített referenciaponthoz viszonyítva számítjuk ki, amelyet az adott koordinátarendszer origójának tekintünk. Az origó elmozdulása megváltoztatja a rendszer többpólusú momentumait, kivéve az első nullától eltérő momentumot. [4] [5] Például egy töltés monopólusmomentuma egyszerűen a rendszer teljes töltésének nagysága. A referenciapont megváltoztatása soha nem változtat ezen a pillanaton. Ha a monopólusmomentum egyenlő nullával, akkor a rendszer dipólusmomentuma transzlációsan invariáns lesz. Ha mind a monopól, mind a dipólusmomentum egyenlő nullával, akkor a kvadrupólmomentum invariáns eltolódáskor stb. Mivel a magasabb rendű momentumok az origó helyétől függenek, nem tekinthetők a rendszer invariáns tulajdonságainak.

Mezőfüggés a távolságtól

A többpólusú nyomatékból származó mező a koordináták origójától való távolságtól és a vizsgált pontnak a koordinátarendszerhez viszonyított szögirányától egyaránt függ. [4] Konkrétan, az elektromágneses tér sugárirányú függése a stacionárius tér momentumától arányos [2] -vel . Így az elektromos monopólusból származó elektromos mező fordítottan arányos a távolság négyzetével. Hasonlóképpen , egy elektromos dipólusmomentum olyan mezőt hoz létre, amely fordítottan arányos a távolság kockájával, és így tovább. A távolság növekedésével a magasabb rendű momentumok hozzájárulása sokkal kisebb lesz, mint az alacsonyabb rendű nyomatékoké. Ezért a számítások megkönnyítése érdekében a magasrendű momentumok elhagyhatók. ${\displaystyle 2^{\ell ))$ $1/r^{\ell +2}$

A többpólusú sugárzási hullámok radiális függése eltér az álló eset mezőitől, mivel ezek a hullámok energiát visznek el a rendszerből. Mivel az energiát meg kell őrizni, egy egyszerű geometriai elemzés azt mutatja, hogy egy sugarú gömb alakú sugárzás energiasűrűségének arányosnak kell lennie -val . Ahogy a gömbhullám tágul, rögzített energiáját egy felületű gömbön kell elosztani . Ennek megfelelően minden időfüggő többpólusú momentumnak arányában hozzá kell járulnia a kisugárzott energiasűrűséghez , függetlenül a pillanat sorrendjétől. Következésképpen a magasabb rendű momentumokat nem lehet olyan könnyen elvetni, mint az álló tokban. A rendszer többpólusú együtthatói azonban ebben az esetben is általában csökkennek a sorrend növekedésével, általában arányosan , így a kisugárzott mezők még mindig közelíthetők a magasrendű nyomatékok elvetésével [5] . $r$ $1/r^{2}$ $4\pi r^{2}$ $1/r^{2}$ $1/(2\ell +1)!!$

Időfüggő elektromágneses mezők

Források

Az időfüggő forráseloszlások Fourier-analízissel fejezhetők ki . Ez lehetővé teszi a különböző frekvenciák egymástól függetlenül történő elemzését.

A töltéssűrűséget a

\rho (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\rho ))(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}

és az áramsűrűség

\mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\mathbf {J} ))(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}

[6] .

A kényelem kedvéért ettől a pillanattól kezdve csak egy szögfrekvenciát veszünk figyelembe ; és így $\omega$

{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

A szuperpozíció elve alkalmazható az eredmények több frekvenciára történő általánosítására [5] .

A vektormennyiségek félkövér betűkkel vannak szedve. A fizikai mennyiségek kifejezésére a komplex szám valós részének felvételének szabványos konvencióját használják.

Az elemi részecskék belső szögimpulzusa (lásd: Spin ) befolyásolhatja a források elektromágneses sugárzását. Ezen hatások figyelembe vétele érdekében figyelembe kell venni a rendszer belső mágnesezettségét . A kényelem kedvéért azonban ezeknek a hatásoknak a figyelembevételét elhalasztjuk az általánosított többpólusú sugárzás tárgyalásáig. $\mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)$

Lehetőségek

A forráseloszlások integrálhatók az időfüggő φ elektromos potenciál és A mágneses potenciál eléréséhez . A képleteket a Lorentz-szelvény figyelembevételével fejezzük ki SI-egységben [5] [6] .

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0))}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt' {\frac {\rho (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}\delta \left(t'-() t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)){c)))\right)

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}\delta \left (t'-(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)){c)))\right)

Ezekben a képletekben c a fény sebessége vákuumban, a Dirac-delta-függvény és az euklideszi távolság az x′ forrás kezdőpontjától a vizsgált x pontig . $\delta$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))$

Az időfüggő forráseloszlások integrálása ad

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0))}e^{-i\omega t}\int d^{3}\ mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}

{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}e^{-i\omega t}\int d^{3 }\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))} {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))))

ahol k =ω/ c . Ezek a képletek szolgálnak alapul a többpólusú sugárzás elemzéséhez.

Többpólusú bővítés kis távolságra a forrástól

A kis távolságok a térnek a forrás közelében lévő tartományát jelentik, amelyben az elektromágneses tér kvázi-stacionáriusnak tekinthető. Ha a vizsgált pont távolsága a forrástól sokkal kisebb, mint a sugárzás hullámhossza , akkor . Ennek eredményeként a kitevő ebben a régióban a következőképpen közelíthető (lásd a Taylor sorozatot ): $r=\|\mathbf {x} \|_{2}$ $\lambda =2\pi /k$ $kr\ll 1$

e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))=1+O(kr)

Ebben a közelítésben a fennmaradó x ′-függés ugyanaz, mint a stacionárius rendszernél, és ugyanazt az elemzést alkalmazzuk [4] [5] . Valójában a potenciálok egy adott pillanatban a forrástól kis távolságra úgy számíthatók ki, hogy egyszerűen készítünk egy pillanatképet a rendszerről, és úgy kezeljük, mintha az álló helyzetben lenne. Ezért ezt az esetet kvázi-stacionáriusnak [5] nevezzük . A reciprok távolságot különösen gömbfüggvényekkel bővítik , amelyek egymástól függetlenül integrálva gömbi többpólusú együtthatókat kapnak (lásd a többpólusú kiterjesztést ). ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))$

Többpólusú tágulás a forrástól nagy távolságra: többpólusú sugárzás

A nagyfrekvenciás forrástól nagy távolságok esetén a következő közelítések történnek: $\lambda \ll r$

{\frac {1}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {1}{r}}+O(1/r^ {2})

e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=e^{ik(r-\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} + O(1/r))}=e^{ikr-ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }(1+O(1/r))

Mivel a forrástól nagy távolságban csak az elsőrendű kifejezések jelentősek, a bővítés lényegében a következőkre csökken: $1/r$

{\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}={\frac {e^{ikr}}{r}}(1-ik(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )+{\frac {(-ik)^ {2}}{2}}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )^{2}+...)+O(1/r^{2})

Minden fok más-más többpólusú momentumnak felel meg. Az alábbiakban az első néhány pont található. $\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'}$

Az elektromos monopólus sugárzása, a létezés lehetetlensége

A nulladik rendű tag a skaláris potenciálhoz viszonyítva a következőt adja: ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}$

\phi _{\text{electric monopole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr -i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )={\frac {e^{ikr-i\omega t}} {4\pi \epsilon _{0}r}}q

ahol a rendszer teljes töltése egy elektromos monopólus, amely ω frekvencián rezeg. Az elektromos töltés megmaradásának törvénye megköveteli $q=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )$ $q=0$

q(t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ,t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho ( \mathbf {x'} )e^{-i\omega t}=qe^{-i\omega t}

Ha a rendszer zárt, akkor a töltés nagysága nem ingadozhat, ami azt jelenti, hogy a q oszcillációs amplitúdónak nullának kell lennie. Ezért ,. A megfelelő mezőknek és a sugárzási teljesítménynek is nullának kell lennie [5] . $\phi _{\text{elektromos monopólus}}(\mathbf {x} ,t)=0$

Elektromos dipól sugárzás

Elektromos dipóluspotenciál

Az elektromos dipólus sugárzását a vektorpotenciálra alkalmazott nulladrendű tag figyelembevételével kaphatjuk meg [5] . ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}$

\mathbf {A} _{\text{elektromos dipólus}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^ {ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )

A részenkénti integráció [ 7]

\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )=-\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))

A töltésfolytonossági egyenlet pedig azt mutatja

{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t))+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t) =\left(-i\omega \rho (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )\right)e^{-i\omega t} =0

Ebből következik tehát

\mathbf {A} _{\text{elektromos dipólus}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )

Hasonló eredményeket kaphatunk, ha figyelembe vesszük az elsőrendű tagot, a skaláris potenciálra alkalmazva. ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )$

A rendszer elektromos dipólusmomentumának amplitúdója

\mathbf {d} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )

Ez lehetővé teszi számunkra, hogy a potenciálokat mint

\phi _{\text{elektromos dipólus}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \cdot \mathbf {d}

\mathbf {A} _{\text{elektromos dipólus}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {d}

Elektromos dipólus mezők

Az időfüggő potenciálok megtalálása után az időfüggő elektromos és mágneses tér a szokásos módon számítható ki. Ugyanis,

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\ mathbf {x} ,t)}{\részleges t))

\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)

vagy a tér forrásmentes tartományában felhasználható a mágneses tér és az elektromos tér kapcsolata

\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{\mu _{0))}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf { x} ,t)

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)

hol van a vákuum hullámimpedanciája . ${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0))))$

A fenti potenciáloknak megfelelő elektromos és mágneses mezők:

\mathbf {H} _{\text{elektromos dipólus}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {ck^{2}}{4\pi }}(\mathbf {n} \ alkalommal \mathbf {d} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}

\mathbf {E} _{\text{elektromos dipólus}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{elektromos dipólus}}\times \mathbf {n} )

ami a gömbi sugárzás hullámainak felel meg [5] .

Egy elektromos dipólus sugárzási teljesítménye

Energiaáram-sűrűség a Poynting-vektor segítségével . Ebből következik, hogy az egységnyi térszögre eső időátlagos energiaáram-sűrűséget a $\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$

{\frac {dI(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {r^{2}}{2}}\Re (\mathbf {n} \cdot \mathbf { E} \times \mathbf {H} )

A skaláris szorzat megadja a sugárzás nagyságát, az 1/2-es tényezőt pedig az időátlagból kapjuk. Amint azt fentebb kifejtettük, kiküszöböli a kisugárzott energiasűrűség radiális függőségét. Az elektromos dipólusra alkalmazva megkapjuk $\mathbf {n}$ $r^{2}$

{\frac {dI_{\text{electric dipole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{32\pi ^ {2}}}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta

ahol θ-t [5] -hez viszonyítva mérjük . $\mathbf{d}$

A gömbön keresztüli integráció megadja a teljes sugárzási teljesítményt:

I_{\text{electric dipole}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2 }^{2}

Mágneses dipól sugárzás

Mágneses dipóluspotenciál

Az elsőrendű tag, a vektorpotenciálra vonatkoztatva egy mágneses dipólus vagy egy elektromos kvadrupólus sugárzását adja meg [5] . ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )$

\mathbf {A} _{\text{mágneses dipólus / elektromos kvadrupól}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}(-ik)\int d^{3}\mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )

Az integrandus felosztható szimmetrikus és antiszimmetrikus részekre n és x ′ felett

(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )={\frac {1}{2))\left((\mathbf {n } \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x '} \jobbra)+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\times \mathbf {n}

A második tag az áram hatására bekövetkező effektív mágnesezést tartalmazza, az integráció pedig a mágneses dipólusmomentumot adja $\mathbf {M} _{\text{effective}}(\mathbf {x'} )=1/2(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ) )$ $\mathbf {m} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {M} _{\text{hatályos))(\mathbf {x'} )$

\mathbf {A} _{\text{mágneses dipólus}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik\mu _{0}}{4\pi }}{\frac { e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {m} \times \mathbf {n}

Vegye figyelembe, hogy hasonló megjelenésű. Ez azt jelenti, hogy a mágneses dipólus által létrehozott mágneses tér hasonlóan viselkedik, mint az elektromos dipólus elektromos mezője. Hasonlóképpen, a mágneses dipólusból származó elektromos mező hasonló az elektromos dipól mágneses mezőjéhez. $\mathbf {A} _{\text{mágneses dipólus))$ $\mathbf {H} _{\text{elektromos dipólus))$

Átalakítások végrehajtása

\mathbf {E} _{\text{elektromos dipólus}}\rightarrow Z_{0}\mathbf {H} _{\text{mágneses dipólus}}

\mathbf {H} _{\text{elektromos dipólus}}\rightarrow {\frac {-1}{Z_{0}}}\mathbf {E} _{\text{mágneses dipólus}}

\mathbf {d} \rightarrow \mathbf {m} /c

a korábbi számításokban mágneses dipólusra ad eredményt [5] .

Mágneses dipólus mezők

\mathbf {E} _{\text{mágneses dipólus}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k^{2}Z_{0}}{4\pi }}(\ mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}

\mathbf {H} _{\text{mágneses dipólus}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-1}{Z_{0}}}(\mathbf {E} _{\ szöveg{mágneses dipólus}}\times \mathbf {n} )

[5]

Mágneses dipólus sugárzási teljesítménye

Az egységnyi térszögre eső mágneses dipólus sugárzási energia fluxussűrűségét időátlagosan a

{\frac {dI_{\text{magnetic dipole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {Z_{0}}{32\pi ^{2}}} k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta

ahol θ-t a relatív mágneses dipólus méri . ${\mathbf {m))$

Összes sugárzási teljesítmény [5] :

I_{\text{magnetic dipole}}={\frac {Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}

Elektromos kvadrupól sugárzás

Elektromos kvadrupólus potenciál

Az előző szakaszból származó integrandus szimmetrikus része pro-integrálható a részenkénti integráció és a töltésfolytonossági egyenlet alkalmazásával , ahogyan azt az elektromos dipólus sugárzásnál már megtettük.

{\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {x} \left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\ mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)={\frac {-i\omega }{2 }}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )

\mathbf {A} _{\text{elektromos kvadrupól}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )

Mutassuk be a nyom nélküli elektromos kvadrupól nyomatéktenzort . A második indexnek a normálvektorra való korlátozása lehetővé teszi számunkra, hogy a vektorpotenciált [5] -ként fejezzük ki. $D_{\alpha \beta }=\int d^{3}\mathbf {x'} (3x'_{\alpha }x'_{\beta }-\|\mathbf {x'} \| _{2}^{2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x'} )$ ${\displaystyle [D(\mathbf {n} )]_{\alpha }=\sum _{\beta }D_{\alpha \beta }n_{\beta ))$

\mathbf {A} _{\text{elektromos dipólus}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}{\frac {1}{3}}\mathbf {D(n)}

Elektromos kvadrupólus mezők

Az eredményül kapott mágneses és elektromos mezők [5] :

\mathbf {H} _{\text{elektromos kvadrupól}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^ {ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)}

\mathbf {E} _{\text{elektromos négyszög}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{elektromos négyszög}}\times \mathbf {n} )

Egy elektromos kvadrupólus sugárzási teljesítménye

Egy elektromos kvadrupól sugárzásának egységnyi térszögre eső időátlagos energiaáram sűrűségét a

{\frac {dI_{\text{electric kvadrupole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1152\pi ^ {2}}}k^{6}\|(\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)} )\times \mathbf {n} \|_{2}^{2}

Összes sugárzási teljesítmény [5] :

I_{\text{electric quadrupole}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1440\pi }}k^{6}\sum _{\alpha ,\beta }D_{ \alpha \beta }^{2}

Általánosított többpólusú sugárzás

Az elosztott töltések rendszerének többpólusú momentumának növekedésével az eddig alkalmazott közvetlen számítások túlságosan körülményessé válnak. A magasabb momentumok elemzése általánosabb elméleti megközelítést igényel. Mint korábban, most is csak egy frekvenciát veszünk figyelembe . Ezért a töltést, az áramerősséget és a belső mágnesezettségi sűrűséget a $\omega$

{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {M} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

illetőleg.

Az így létrejövő elektromos és mágneses mezők ugyanolyan időfüggőek, mint a források

{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {H} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

Ezen definíciók és folytonossági egyenletek használata lehetővé teszi, hogy a Maxwell-egyenleteket a következő formában írjuk fel:

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} )=-{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J } (\mathbf {x} )

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} )

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} (\mathbf {x} )=ikZ_{0}\left(\mathbf {H} (\mathbf {x} )+\mathbf {M} ( \mathbf {x} )\right)

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\frac {ik}{Z_{0))}\mathbf {E} (\mathbf {x} ) +\mathbf {J} (\mathbf {x} )

Ezeket az egyenleteket úgy lehet kombinálni, hogy az utolsó egyenletekre egy görbítést alkalmaz, és az azonosságot alkalmazza . Ez megadja az inhomogén Helmholtz-egyenlet vektorformáit : $\mathbf {\nabla } \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} )=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} )-\ mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {V}$

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} ) +ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\ nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ) )\jobb]

Hullámegyenlet megoldások

Azok a homogén hullámegyenletek, amelyek egy forrás nélküli tartományban frekvenciájú elektromágneses sugárzást írnak le, a következő formájúak: $\omega$

(\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=0

A hullámfüggvény vektor gömbharmonikusok összegeként ábrázolható $\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )$

\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

f_{\ell m}(kr)=A_{\ell m}^{(1)}h_{\ell }^{(1)}(kr)+A_{\ell m}^{(2 )}h_{\ell }^{(2)}(kr)

ahol a normalizált vektor gömbharmonikusok és és a gömbi Hankel-függvények (lásd Bessel-függvények ). A differenciáloperátor egy szögimpulzus-operátor a tulajdonsággal . Az és együtthatók a táguló és összehúzódó hullámoknak felelnek meg. Így sugárzás esetén . A fennmaradó együtthatók meghatározásához a Green függvényt használjuk . Ha a forrásegyenlet $\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )=\mathbf {L} Y_{\ell m}(\theta ,\phi )/{\sqrt {\ell (\ell +1)}}$ ${\displaystyle h_{\ell }^{(1)))$ ${\displaystyle h_{\ell }^{(2)))$ $\mathbf {L} =-i\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla }$ ${\displaystyle L^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell m))$ ${\displaystyle A_{\ell m}^{(1)))$ ${\displaystyle A_{\ell m}^{(2)))$ $A_{\ell m}^{(2)}=0$

(\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=-\mathbf {V} (\mathbf {x} )

akkor a megoldás:

\Psi _{\alpha }(\mathbf {x} )=\sum _{\beta }\int d^{3}\mathbf {x'} G_{\alpha \beta }(\mathbf {x } ,\mathbf {x'} )V_{\beta }(\mathbf {x'} )

A Green függvénye vektorszférikus harmonikusokkal fejezhető ki:

G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }ikh_{\ell }^{(1)}(kr)j_{\ell }(kr')X_{\ell m\alpha }(\theta ,\phi )X_{\ell m\beta } ^{*}(\theta ',\phi ')

Vegye figyelembe, hogy ez egy differenciális operátor, amely a forrásfüggvényre hat . $\mathbf {X} _{\ell m}^{*}=Y_{\ell m}^{*}\mathbf {L} /{\sqrt {\ell (\ell +1)))$ ${\mathbf {V}}$

Tehát a hullámegyenlet megoldása:

\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac { ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )\ int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x'} )

Elektromos többpólusú mezők

A fent kapott megoldást alkalmazva az elektromos többpólusú hullámegyenletre

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ) )\jobb]

megkapjuk a mágneses tér megoldását [5] :

\mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[k^{2}\mathbf {M} ( \mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} (\mathbf {\nabla '} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))\right]

Elektromos mező:

\mathbf {E} ^{(E)}(\mathbf {x} )={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} ^{ (E)}(\mathbf {x} )

A képlet egyszerűsíthető az azonosságok alkalmazásával

\mathbf {L} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} )=i\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {V} (\mathbf {x) } } ))

\mathbf {L} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))=i\nabla ^{2}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))-{\frac {i\partial }{r\partial r}}(r^{2}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} (\mathbf { x))

\mathbf {L} \cdot \mathbf {\nabla } s(\mathbf {x} )=0

az integrandushoz, ami [5]

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf { x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))-{\frac {i}{k}}\nabla ^{2}(\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-{\frac {c\partial }{r'\partial r'}}(r'^{2}\rho (\mathbf {x'} ))\right]

Green tétele és a részenkénti integráció vezet a képlethez

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf { x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))+ik\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )\right]+cY_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr' ))

a gömb alakú Bessel-függvény is egyszerűsíthető, ha feltételezzük, hogy a sugárzás hullámhossza sokkal nagyobb, mint a forrás méretei, ami a legtöbb antenna esetében $j_{\ell }(kr')$

j_{\ell }(kr')={\frac {(kr')^{\ell }}{(2\ell +1)!!}}+O((kr')^{\ell +2})

Az összes tagot elvetve, kivéve a legkisebb sorrendek feltételeit, az elektromos többpólusú együtthatók egyszerűsített formáját kapjuk [5] :

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ick^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[Q_{\ell m}+Q_{\ell m}']

Q_{\ell m}=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\ rho (\mathbf {x'} )

Q_{\ell m}'=-{\frac {ik}{c(\ell +1)))\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{ \ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))

${\displaystyle Q_{\ell m))$ ugyanaz a többpólusú nyomaték, mint stacionárius esetben, ha stacionárius töltéseloszlásra vonatkoztatnánk , míg az eredeti források belső mágnesezettségéből indukált elektromos többpólusú momentumnak felel meg. $\rho(\mathbf{x})$ $Q_{\ell m}'$

Mágneses többpólusú mezők

A fent kapott megoldást alkalmazva a mágneses többpólusú hullámegyenletre

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} ) +ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf { \nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

megkapjuk az elektromos tér megoldását [5] :

\mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\ mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

Mágneses mező:

\mathbf {H} ^{(M)}(\mathbf {x} )=-{\frac {i}{kZ_{0))}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ^ {(M)}(\mathbf {x} )

Mint korábban, a képlet egyszerűsített:

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x' } \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-k^{2}\mathbf {x'} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )\right]+Y_{ \ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r' ))(r'j_{\ell }(kr'))

Az összes tagot elvetve, kivéve a legkisebb rendek feltételeit, megkapjuk a mágneses többpólusú együtthatók egyszerűsített alakját [5] :

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[M_{\ell m}+M_{\ell m}']

M_{\ell m}={\frac {1}{\ell +1}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^ {*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))

M_{\ell m}'=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ') \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )

${\displaystyle M_{\ell m))$ az effektív mágnesezettség mágneses többpólusú momentuma , és megfelel a belső mágnesezettségnek . $\mathbf {x} \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )/2$ $M_{\ell m}'$ $\mathbf {M} (\mathbf {x} )$

Általános megoldás

Az elektromos és a mágneses mezőket egyesítik, hogy megkapják a végső mezőket [5] :

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ ell }\left[a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )+ {\frac {iZ_{0}}{k}}a_{\ell m}^{(E)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)

\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ ell }\left[a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )- {\frac {i}{kZ_{0))}a_{\ell m}^{(M)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)

Vegye figyelembe, hogy a radiális funkció nagy távolságok esetén egyszerűsíthető . $h_{\ell }^{(1)}(kr)$ $1/r\ll 1$

h_{\ell }^{(1)}(kr)=(-i)^{\ell +1}{\frac {e^{ikr}}{kr}}+O(1/r^ {2})

Így a sugárzás radiális függősége helyreáll.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Hartle, James B. Gravitáció: Bevezetés Einstein általános relativitáselméletébe . — Addison-Wesley , 2003. — ISBN 0-8053-8662-9 .
↑ 12 Rose, M.E. Multipole Fields . – John Wiley & Sons , 1955. Archiválva : 2021. június 24. a Wayback Machine -nél
↑ Blatt, John M. Elméleti magfizika – hetedik nyomat / John M. Blatt, Victor F. Weisskopf. - John Wiley & Sons , 1963. - ISBN 0-471-30932-X . Archiválva : 2021. június 24. a Wayback Machine -nél
↑ 1 2 3 Raab, Roger E. Multipole Theory in Electromagnetism / Roger E. Raab, Owen L. de Lange. - Oxford University Press , 2004. - ISBN 978-0-19-856727-1 . Archiválva : 2021. június 24. a Wayback Machine -nél
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Jackson, John David. Klasszikus elektrodinamika – Harmadik kiadás . — John Wiley & Sons , 1999. — ISBN 0-471-30932-X .
↑ 1 2 Hafner, Christian. A számítási elektromágneses általánosított többpólusú technikája . - Artech House , 1990. - ISBN 0-89006-429-6 . Archiválva : 2021. június 24. a Wayback Machine -nél
↑ Robert G. Brown. Vektorkalkulus: Integráció alkatrészek szerint . Klasszikus elektrodinamika: II. rész (2007. december 28.). Letöltve: 2021. június 19. Az eredetiből archiválva : 2016. március 4. (határozatlan)