Vektor gömbharmonikusok

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. december 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 13 szerkesztést igényelnek .

A vektorszférikus felharmonikusok olyan vektorfüggvények, amelyek a koordináta-rendszer forgatása alatt ugyanúgy átalakulnak, mint az azonos indexű skaláris gömbfüggvények , vagy ezeknek a függvényeknek bizonyos lineáris kombinációi.

Definíciók

1. A vektor gömbharmonikusok olyan vektorfüggvények, amelyek az operátorok sajátfüggvényei , ahol az orbitális impulzusmomentum operátor, az 1 spin impulzus-operátora , a teljes impulzusmomentum operátor. [egy] $\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )$ ${\hat {\mathbf {J} }}^{2},{\hat {J}}_{z},{\hat {\mathbf {L} }}^{2},{\hat {\mathbf {S} }}^{2}$ ${\hat {\mathbf {L} }}$ ${\hat {\mathbf {S} ))$ ${\hat {\mathbf {J} ))={\kalap {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}$

{\begin{array}{l}{{\hat {\mathbf {J} }}^{2}\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )={ J}({J}+1)\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}\\{{\hat {J))_{z}\mathbf {Y} _ {JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )=M\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}\\{{\hat {\mathbf {L} } }^{2}\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )=L(L+1)\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\ varphi )}\\{{\hat {\mathbf {S} }}^{2}\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )=2\mathbf {Y} _{ JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}\end{array}}

2. Gyakran (lásd pl. Mie Scattering ) a vektoros Helmholtz-egyenlet gömbi koordinátákban szereplő megoldásainak alapvető halmazát vektorharmonikusoknak nevezzük. [2] [3]

Ebben az esetben a vektor szférikus harmonikusokat skaláris függvények generálják, amelyek a Helmholtz-egyenlet megoldása hullámvektorral . ${\bf {k))$

{\begin{array}{l}{\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)} \\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{array))

hol vannak a kapcsolódó Legendre-polinomok , és a gömb alakú Bessel-függvények bármelyike . $P_{n}^{m}(\cos \theta )$ $z_{n}({k}r)$

A vektorharmonikusokat a következőképpen fejezzük ki

{\displaystyle \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\nabla } \psi _{^{e}_{o}mn))

- hosszanti harmonikusok

\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)

- mágneses harmonikusok

\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn)){\mathbf {k} }}

- elektromos harmonikusok

Itt bemutatunk valós szögrésszel generáló függvényeket, de analógia útján összetett harmonikusokat is bevezethetünk.

3. Szintén gyakran bevezetnek gömbvektorokat [4] [5] [6] [7] , amelyek függvények lineáris kombinációi , de nem a pálya impulzusimpulzusának négyzetének sajátfüggvényei, hanem egy bizonyos módon orientálva vannak. az egységvektorhoz . [1] . Az ilyen típusú vektorok definíciói és megnevezései a szakirodalomban nagyon eltérőek, itt van az egyik lehetőség. $\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )$ ${\mathbf {r))$

\mathbf {X} _{JM}(\theta ,\phi )={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}\mathbf {L} Y_{JM}(\ theta ,\phi )={\frac {1}{i{\sqrt {l(l+1))))}\mathbf {r} \times \nabla Y_{JM}(\theta ,\phi )={ \mathbf {Y} _{JM}^{(0)}(\vartheta ,\varphi )=\mathbf {Y} _{JM}^{J}(\vartheta ,\varphi )}

- mágneses típusú vektorok.

{\displaystyle i\mathbf {Y} _{JM}^{(0)}(\vartheta ,\varphi )\times \mathbf {r} ={\mathbf {Y} _{JM}^{(1)} (\vartheta ,\varphi )={\sqrt {\frac {J+1}{2J+1}}}\mathbf {Y} _{JM}^{J-1}(\vartheta ,\varphi )+{ \sqrt {\frac {J}{2J+1}}}\mathbf {Y} _{JM}^{J+1}(\vartheta ,\varphi )))

- elektromos típusú vektorok

\mathbf {r} Y_{JM}(\vartheta ,\varphi )={\mathbf {Y} _{JM}^{(-1)}(\vartheta ,\varphi )={\sqrt {\ frac {J}{2J+1}}}\mathbf {Y} _{JM}^{J-1}(\vartheta ,\varphi )-{\sqrt {\frac {J+1}{2J+1} }}\mathbf {Y} _{JM}^{J+1}(\vartheta ,\varphi )}

- hosszanti gömb alakú vektor

Az ilyen típusú vektorok esetében a generátorok radiális rész nélküli skaláris gömbfüggvények . $Y_{JM}(\vartheta ,\varphi )$

Elektromos felharmonikusok . képen kétszer ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m1))$ $\mathbf {N} _{e01}$
Elektromos felharmonikusok . képen kétszer ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m2))$ $\mathbf {N} _{e02}$
Elektromos felharmonikusok . képen kétszer ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m3))$ $\mathbf {N} _{e03}$

Mágneses felharmonikusok . képen kétszer ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m1))$ $\mathbf {M} _{e01}$
Mágneses felharmonikusok . képen kétszer ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m2))$ $\mathbf {M} _{e02}$
Mágneses felharmonikusok . képen kétszer ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m3))$ $\mathbf {M} _{e03}$

Ortogonalitás

A Helmholtz-vektoregyenlet megoldásai a következő ortogonalitási összefüggéseknek engedelmeskednek [3] :

{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L } _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+ 1 )^{2))}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(kr)\right ] ^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(kr)\jobbra]^{2}\jobbra\}}

{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M } _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1 }}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}n(n+1)\left[z_{n}(kr)\right]^{2}}

\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1 )^{2))}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}n(n+1)\left\{(n+1)\left[z_{n-1}( kr)\jobbra]^{2}+n\bal[z_{n+1}(kr)\jobbra]^{2}\jobbra\}

{\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N } _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+ 1 )^{2))}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}n(n+1)k\left\{\left[z_{n-1}(kr)\ jobb ]^{2}-\left[z_{n+1}(kr)\jobbra]^{2}\jobbra\}}

Az összes többi integrál a különböző függvények közötti szögeken vagy a különböző indexű függvényeken nullával egyenlő.

Explicit nézet

Bemutatjuk a jelölést . A mágneses és elektromos harmonikusok kifejezett formája a következő: $\rho =kr$

{\begin{aligned}{\mathbf {M} _{emn}(k,\mathbf {r} )={{\frac {-m}{\sin(\theta )))\sin(m \varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }-}\\{-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{ igazítva}}

{\begin{aligned}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )={{\frac {m}{\sin(\theta )))\cos(m\ varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))))z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }-\\{-\sin(m\varphi ) {\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{igazított }}

{\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos( m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+}\\{+\cos(m\ varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta ))}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\ rho ))\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }-\\{-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n} ^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\ rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned))

{\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}&(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin( m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+\\&+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho } }\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }+\\&+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^ {m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{igazított))

Látható, hogy a mágneses harmonikusoknak nincs radiális összetevője. Az elektromos felharmonikusoknál a radiális komponens gyorsabban csökken, mint a szögleteseknél, így a nagyoknál elhanyagolható. Ezenkívül az egybeeső indexű elektromos és mágneses harmonikusok esetében a szögösszetevők egybeesnek a poláris és azimutális egységvektorok permutációjáig, azaz az elektromos és mágneses harmonikusok vektorai általában egyenlőek abszolút értékűek és merőlegesek mindegyikre. Egyéb. $\rho$ $\rho$

A longitudinális harmonikusok kifejezett formája:

{\begin{aligned}\mathbf {L} _{^{e}_{o}{mn}}&(k,\mathbf {r} )={\frac {\partial }{\partial r }}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}+ \\&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\partial }{\partial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^ {\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\mp \\&\mp {\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n}(kr )P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\end{igazított))

A koordinátarendszer elforgatásai és megfordítása

Az elforgatások során a vektorszférikus harmonikusok ugyanúgy átalakulnak egymáson, mint a megfelelő skaláris gömbfüggvények , amelyek egy adott típusú vektorharmonikushoz generálnak. Például, ha a generáló függvények közönséges gömbfüggvények , akkor a vektorharmonikusok is transzformálódnak Wigner D-mátrixok segítségével [1] [8] [9]

{\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{m'= -\ell }^{\ell }[D_{MM'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{( s)}(\theta ,\varphi ),

A kanyarodási viselkedés azonos az elektromos, mágneses és hosszanti harmonikusoknál.

Megfordítva az elektromos és a hosszanti gömbharmonikusok ugyanúgy viselkednek, mint a skaláris gömbfüggvények, azaz.

{\hat {I}}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi ),

és a mágnes ellentétes paritású:

{\hat {I}}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J+1}\mathbf {M} _{JM}(\theta, \varphi )

Síkhullám-tágulás és integrál összefüggések

Ebben a részben a következő jelölést fogjuk használni

{\begin{aligned}Y_{emn}&=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\\Y_{omn}&=\sin m\varphi P_{n }^{m}(\cos \theta )\end{aligned}}

\mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)=\nabla \times \left(\mathbf {k} Y_{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)\right)

\mathbf {Z} _{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)=i{\frac {\mathbf {k } }{k))\times \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)

Abban az esetben, ha gömbi Bessel-függvények helyett a komplex kitevő kiterjesztési képletét használva gömbfüggvényekben a következő integrál összefüggéseket kaphatjuk: [10] $z_n$

{\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {Z} _{pmn} \left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }d\Omega _{k))

{\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {X} _{pmn} \left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }d\Omega _{k))

Abban az esetben, ha a gömb alakú Hankel-függvények helyett más bővítési képleteket kell használni. [11] [10] Vektor szférikus harmonikusok esetében a következő összefüggéseket kapjuk: $z_n$

\mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{ -\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right))){k_ {z}}}\left[\mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\jobbra)\jobbra]

\mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{ -\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right))){k_ {z}}}\left[\mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\jobbra)\jobbra]

ahol , és a felső index azt jelenti, hogy a gömb alakú Hankel-függvényeket használjuk. ${\displaystyle k_{z}={\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2))))$ $(3)$

Linkek

↑ 1 2 3 Varshalovich D. A. , Moszkalev A. N., Khersonsky V. K. Quantum theory of angular momentum. Archív másolat 2007. november 11-én a Wayback Machine -nél - L .: Nauka, 1975.
↑ Boren K., Huffman D. Fény elnyelése és szóródása kis részecskék által. - M .: Mir, 1986. - S. 221-222. — 660 p.
↑ 1 2 Stratton J. Elektromágneses elmélet. – NY, McGraw. - S. 392-423.
↑ Akhiezer A.I., Berestetsky V.B. Kvantumelektrodinamika. - 4. - M. , 1981.
↑ R. G. Barrera, G. A. Estévez and J. Giraldo, Vector spherical harmonics and their application to magnetostatics , Eur. J Phys. 6 287-294 (1985)
↑ Jackson J. Klasszikus elektrodinamika. - M .: Mir , 1965.
↑ R. Alaee, C. Rockstuhl, I. Fernandez-Corbaton, Exact Multipolar Decompositions with Applications in Nanophotonics , Advanced Optical Materials, 2019, 7, 1800783.
↑ H. Zhang, Yi. Han, Összeadási tétel a gömbvektor hullámfüggvényeire és alkalmazása a nyaláb alak együtthatóira. J. Opt. szoc. Am. B, 25(2):255-260, 2008. febr.
↑ S. Stein, Addíciós tételek gömbhullámfüggvényekhez , Quarterly of Applied Mathematics, 19(1):15-24, 1961.
↑ 1 2 B. Stout, Gömbös harmonikus rácsösszegek rácsokhoz. In: Popov E, szerkesztő. Rácsok: elmélet és numerikus alkalmazások. Institut Fresnel, Universite d'Aix-Marseille 6 (2012). . Letöltve: 2019. december 29. Az eredetiből archiválva : 2018. december 21.. (határozatlan)
↑ R. C. Wittmann, Spherical wave operators and the translation formulas, IEEE Transactions on Antennas and Propagation 36, 1078-1087 (1988) . Letöltve: 2019. december 29. Az eredetiből archiválva : 2019. december 29. (határozatlan)