Gályamódszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. július 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A gályaravas módszer (áthúzásos módszer) Európában az 1600-as évekig leginkább alkalmazott felosztási módszer , amely a 18. század végéig is népszerű volt [4] . A módszer a kínai és az indiai módszerek alapján jött létre. A módszert Al-Khwarizmi 825 -ben [4] , Luca Pacioli 1492-ben [3] említi .

A korábbi módszerekkel ellentétben ebben a módszerben a számokat nem törölték, hanem áthúzták [4] . Hasonló az oszlopos osztás modern módszeréhez , azonban a konyhai módszerben a részszorzatok kivonása balról jobbra haladt, és nem jobbról balra, mint a modern módszereknél.

A módszer a nevét a számítás során rögzített vonalak hasonlóságáról kapta az azonos nevű edény sziluettjével [4] [3] . Ugyanakkor a ferde vonalak, amelyekkel a számokat áthúzták, evezőhöz hasonlítottak. Néha a hasonlóság eléréséhez a rajzot 90°-kal el kell forgatni [5] .

Hasonló módszert alkalmaztak a gyökerek kinyerésére is .

Történelem

A növekvő számkapacitású aritmetikai műveletek nagyon munkaigényesek és érzékenyek a mechanikai hibákra, és az osztás a legnehezebb közülük. A „nehéz üzlet a felosztás” ( olaszul dura cosa e la partita ) ősi olasz kifejezés volt [6] :40 .

Bár a 15. századig Európában nehéz műveletnek számított a felosztás, Kínában és Indiában a felosztást nem tartották különösebben nehéznek [4] [7] . Az osztási módszert a " Mathematics in Nine Books " (Kr. u. 2. század) említi, és részletesen leírja Sun Tzu (3-5. század) matematikai traktátusa [4] . Sok indiai matematikai mű nem írja le az osztás módszerét, feltételezve, hogy ismert. Például Aryabhata (499) nem ír az osztás módszeréről , bár kétségtelenül az osztás módszerét ismerték olvasói, mivel Aryabhata olyan gyökérkivonási módszert ír le, amely felosztást igényel. Az indiai matematikában a kínaihoz hasonló osztási módszert először Sridhari említi (800 körül). A módszer részletes leírását Aryabhata II adja a X. században [7] .

Az indiai módszert homokban vagy krétában, táblán végezték. A kínai módszer botokat használt számként. Mindkét esetben könnyen törölhetőek voltak a számok. Ezeknél a módszereknél az osztó az osztalék alá lett írva. A modern oszloposztási módszerhez hasonlóan az osztalékból kivonták a részszorzatokat ( vagyis az osztó szorzatait a válasz egyes számjegyeivel, a megfelelő számjegyekkel eltolva). A modern módszerrel ellentétben azonban a régi osztalékot törölték, és a különbözetet a helyére írták, míg magát a részszorzatot nem írták le, sőt nem is számították ki, a kivonás pedig apránként balról jobbra történt. Ezt követően az osztó egy számjeggyel jobbra tolódott (ezt a műveletet a középkori Európában latinul anterioratio -nak hívták ) [7] [4] . A kínaiban (és esetleg az indiai módszerben) a hányadost az osztó fölé írták [4] .

Ez a módszer Al-Khwarizmi (825) [7] [4] munkáitól kezdve az arabok előtt vált ismertté . Innen került ez a módszer Európába [7] . Európában az osztást tintával, papíron hajtották végre, emiatt az osztási módszer természetes módosuláson ment keresztül, mivel a számokat nem törölték, hanem áthúzták [3] [7] [4] . A részszorzatok osztóból való kivonásakor az eredményt a tetejére írtuk. A hányadost az osztalék fölé írni célszerűtlenné vált, jobbra kezdték írni [4] . Ez a módosítás gályamódszerként ( galea, batello ) [7] vált ismertté , a britek karcolás módszernek is nevezték ezt a módszert [5] [ 7 ] .

A híres olasz matematikus , Niccolò Tartaglia (XVI. század) híres aritmetikai tankönyvében a következőket írta a módszerről [6] :41 :

A második felosztási módot Velencében csónaknak vagy gályának nevezik, az ebből adódó alak bizonyos hasonlósága miatt, mert bizonyos számfajták felosztásánál csónaknak látszó alak jön létre, másokban pedig - mint egy gálya, ami igazán szép; néha egy konyha jól kidolgozott és minden tartozékkal fel van szerelve - a számokból úgy van kirakva, hogy valóban megjelenjen egy gálya formájában tattal és íjjal, árboccal, vitorlákkal és evezőkkel.

Eredeti szöveg (olasz)[ showelrejt] Il secondo modo di partire, è detto in Venetia per batello, ouer per galea per certe similitudine di figure, che di tal atto resultano, perche in la partitione di alcune specie di numeri nasce vna certa figura alla similitudine di vno batello, materiale, & in alcuni altri, vna figura simile a vna galea legno maritimo, perche in effetto il pare vna gentilezza a vedere, in alcune specie di numeri vna galea ben lauorata, & tratteggiata con li suoi depenamenti protratti tutti, per vn verso in, talmente dispositione paiono veramente vna figura simile alla detta galea materiale, con la proua, poppa, albero, vela, & remi, come che nel processo si vedra manifesto [1] :32 .

Érdekes megjegyezni, hogy a tintakonyha-módszert Európából hozták vissza Kínába, és az európai aritmetika 1613 -as értekezésében [4] publikálták .

Oroszországban a gályaravas módszert a 18. század közepéig használták: Leonty Magnyickij "Aritmetikájában" az ott javasolt hat osztási módszer között szerepel, és a szerző kifejezetten ajánlja; könyve anyagának bemutatása során Magnyitszkij elsősorban a gályaravas módszert alkalmazza, magát a nevet nem említi [6] :41,42 .

A gályaravas módszerrel versenyzett az úgynevezett "olasz módszer" [3] (vagy "aranyosztás" [5] ), amelyet ma oszloposztásként ismernek . Ez a módszer 1491-ben jelent meg nyomtatásban Calandri „Aritmetikájában” [8] , bár még korábban is megtalálható volt a 15. századi kéziratokban [3] . Ebben kifejezetten kiszámolták és az osztalék alá írták a részszorzatot, majd levonták az osztalékból, és az eredményt alább írták. A kivonást a szokásos oszlopösszeadáshoz hasonlóan a legkisebb jelentőségű számjegyekből kiindulva végezték el, ami lehetővé tette a rögzítés megtakarítását, ugyanakkor emlékezni kellett a kisülés elmében történő átvitelére [3] . Ennek a módszernek az a fő előnye, hogy minden művelet látható a rögzítéséből – ez megkönnyíti a számítások ellenőrzését és a hibák gyors kijavítását. Ennek a módszernek azonban az a hátránya, hogy a többjegyű számokat meg kell szorozni egyjegyűekkel [5] .

Ezt követően megjelent egy rövidített osztási módszer ("osztrák módszer"). Hasonló volt az olaszhoz, de vele ellentétben, mint a konyhai módszerben, a résztermékeket nem kifejezetten számolták ki - azonnal apránként kivonták őket. A konyhai módszerrel ellentétben azonban a kivonás a legkisebb jelentőségű számjegyekből indult ki, amivel a felvételen spórolni lehetett. Így ez a módszer egyesítette a konyhai módszer és az olasz módszer előnyeit [3] . Ennek a módszernek az a hátránya, hogy a számológépnek több információt kell tárolnia az elmében.

Mindezek a módszerek Európában a „vasosztással” versenyeztek: a Herbert matematikus szerzetes (a leendő II. Szilveszter pápa) [5] által leírt abakuszosztás módszerével .

A módszer lényege

A konyhai módszer, bár nehezebben írható, hasonló a modern oszlop szerinti osztás módszeréhez . Csakúgy, mint az oszloppal való osztásnál, a hányadost számjegyekkel számítja ki, a legjelentősebb számjegytől kezdve: minden lépésben a hányados egy számjegye kerül kiválasztásra. A legnagyobb számjegyet tekintjük privát számjegynek, így a részszorzat (e számjegy és az osztó szorzata a megfelelő számjegyekkel eltolva) kivonható az osztalékból, miközben pozitív számok maradnak. Ezt követően az osztalékból kivonjuk a részszorzatot, magát az osztót egy bittel balra toljuk, és a folyamatot megismételjük. A modern oszlopos osztástól eltérően a konyhai módszerben a részszorzatot nem számítják ki, és a kivonás balról jobbra haladó számjegyekkel történik. Ezenkívül a konyhai módszerben a kivonás eredményét felül írják, nem alul.

Példa

Vegyünk egy példát a Treviso Aithmetic (1478)-ból, amelyben 65284 osztva 594-gyel [4] . A példa több lépésre oszlik: minden lépésnél az ebben a lépésben hozzáadott számok félkövér, az áthúzott számok pedig dőlt betűvel vannak szedve. Az észlelés megkönnyítése érdekében a műveletek végrehajtásához használt számok színnel vannak kiemelve; valójában csak egy tintát használtak a módszerben.

Először az osztót ( 594 ) írták az osztalék ( 65284 ) alá:

65284 594

1. lépés: Az 594 osztó csak egyszer lép be a 652 -be . Tehát a hányados első számjegye 1 . Jobb oldalra írjuk, és az osztalékból kivonjuk az 1 × 594 -et (két számjeggyel eltolva). A konyhai módszerben ez balról jobbra történik: először az első számjegyet (5), majd a második számjegyet (9), végül az utolsó számjegyet (4) vonjuk ki a megfelelő számjegyekből.

652 84 \| 1594 _ 1. lépés : 594 egyszer beírja a 652- t .	1 6 5284 \| 1 5 94 1a lépés : 6–5 = 1	1 6 6 5 284 \| 1 5 9 4 1b. lépés : 15–9 = 6	5 1 6 8 65 2 84 \| 1 59 4 1c. lépés : 62–4 = 58

652 84 | 1594 _

1. lépés : 594 egyszer beírja a
652- t .

1 6 5284 | 1 5 94

1a lépés : 6–5 = 1

1 6 6 5 284 | 1 5 9 4

1b. lépés : 15–9 = 6

5 1 6 8 65 2 84 | 1 59 4

1c. lépés : 62–4 = 58

2. lépés: Tolja el az osztót egy bittel jobbra ( anterioratio ). Mivel az eredményül kapott eltolásosztó ( 594 ) nagyobb, mint ami az osztalékból ( 588 ...) megmaradt, az osztót még egyszer sem vonhatjuk ki, ami azt jelenti, hogy a hányados második számjegye 0 :

5 16 8 652 8 4 \| 1 0 594 4 59 2. lépés : 594 átmegy 588 nullára .

5 16 8 652 8 4 | 1 0 594 4 59

2. lépés : 594 átmegy 588 nullára .

3. lépés: Tolja el az osztót még egy bittel jobbra. Most ki kell vonnunk 594 -et 5884 -ből . Ezt 9 -szer lehet megtenni . Írjon 9 -et hányadosként, és vonjon le 9 × 594 -et az osztalékból . Ebben az esetben nem 9 × 594 -et számolunk , hanem egyszerűen kivonjuk a 9 × 5 , 9 × 9 és 9 × 4 számokat a megfelelő számjegyekből.

5 16 8 652 84 \| 10 9 5944 4 59 9 5 3. lépés: Az 594 kilencszer átmegy az 5884 -be .	1 5 3 16 8 652 84 \| 10 9 5944 4 59 9 5 3a. lépés : 58–9 × 5 = 13	1 5 5 3 168 7 652 8 4 \| 109 59444 59 9 5 3b. lépés : 138–9 × 9 = 57	1 5 53 3 168 7 8 6528 4 \| 10 9 5944 4 599 5 3c. lépés : 74–9 × 4 = 38

5 16 8 652 84 | 10 9 5944 4 59 9 5

3. lépés: Az 594 kilencszer átmegy
az 5884 -be .

1 5 3 16 8 652 84 | 10 9 5944 4 59 9 5

3a. lépés : 58–9 × 5 = 13

1 5 5 3 168 7 652 8 4 | 109 59444 59 9 5

3b. lépés : 138–9 × 9 = 57

1 5 53 3 168 7 8 6528 4 | 10 9 5944 4 599 5

3c. lépés : 74–9 × 4 = 38

Válasz: elosztva 65284-et 594-gyel, akkor a hányados 109 , a maradék pedig 538 .

1 5 53 3 1687 8 65284 \| 109 59444 599 5 Teljes számítási eredmény

1 5 53 3 1687 8 65284 | 109 59444 599 5

Teljes számítási eredmény

Összehasonlítás más módszerekkel

Összehasonlításképpen ugyanazt a felosztást mutatjuk be, számtörléssel, valamint olasz és osztrák módszerrel [3] . Mint fentebb említettük, ezek a módszerek abban különböznek, hogy a részszorzatot levonják. Például az utolsó lépés kivonja a 9×594 részszorzatát. Az olasz módszerben először 9×594=5346-ot számítanak ki, majd az eredményt kivonják. A konyhai módszernél és a számjegytörléssel járó módszernél a szorzatot nem számítják ki, hanem sorban vonják ki: 9×500, 9×90, 9×4. Ugyanakkor a számtörlő módszernél az eredményt a kivont helyére írjuk, a konyhai módszernél pedig felülre, a régi számokat pedig áthúzzuk. Végül az osztrák módszerben a szorzatot szintén nem számítják ki, hanem sorban kivonják: 9×4, 9×90, 9×500. Mivel a kivonások az alsó bitekkel kezdődnek, minden lépésben csak egy bit kerül kiírásra, és a legjelentősebb bitet viszi át , ami lehetővé teszi a jelölés lerövidítését, de meg kell jegyezni az átvitelt az elmédben.

Digitális törlési módszer	65284 \| 594 594 \| 109 5884 5346 538 Olasz módszer	65284 \| 594 5884 \| 109 538 osztrák módszer

Digitális törlési módszer

65284 | 594 594 | 109 5884 5346 538

Olasz módszer

65284 | 594 5884 | 109 538

osztrák módszer

Opciók

Nincsenek áthúzott számok

Néha nem húzták át a számokat. Ebben az esetben csak a legmagasabb és legalacsonyabb számjegyeket vettük figyelembe. Ebben az esetben áthúzás helyett nullákat írtak az oszlop tetejére. Lásd az illusztrációt a cikk elején.

Résztermékek kiszámításával

Néha résztermékeket számítottak ki. Ez az opció gyakorlatilag nem különbözik a modern oszlopos felosztástól. Az egyetlen különbség az, hogy hol írják a számokat: a konyhai módszer kevesebb papírt használ, mivel a számokat tömörebben írják fel, nincs üres hely közöttük. De ha oszloppal osztjuk el, a számítások jobban láthatóak és könnyebben ellenőrizhetők.

Példaként erre a lehetőségre vegye fontolóra a 44977 elosztását 382-vel [2] . Egy számjegy a hányados egy tizedesjegyének vételét jelenti.

1) 67 (Szorzás: 1 x 382 = 382 ) 382 | 449 77 | 1 (Különbség: 449 − 382 = 67 ) 382 2) 29 (Szorzás: 1 x 382 = 382 ) 67 5 (Különbség: 677 − 382 = 295 ) 382 | 449 7 7 | 1 1 382 2 38 3) 2 (Szorzás: 7 x 382 = 2674 ) 29 8 (Különbség: 2957 − 2674 = 283 ) 67 5 3 382 | 44977 | _ 11 7 Válasz: Privát 117 , maradék 283 . 3822 4 38 7 26

Osztály ellenőrzése

Volt egy módszer a kis számmal való osztás maradékainak ellenőrzésére. Leggyakrabban a maradékok 9 szerinti ellenőrzésének módszerét használták, mivel a maradékot 9-cel osztva nagyon könnyű megtalálni: csak keresse meg a szám számjegyeinek összegét. Ez az ellenőrzési módszer azonban nem észlelte a gyakori hibákat, amikor a számjegy rossz helyre került. Ezért megbízhatóbb, de bonyolultabb módszereket is alkalmaztak: a maradékok ellenőrzését 7-re vagy 11-re.

A módszer lényege a következő. Tegyük fel, hogy ha egy számot osztunk -vel , akkor egy hiányos hányadost és egy maradékot kapunk . Ez azt jelenti, hogy . Ennek az egyenlőségnek az ellenőrzésére kiszámoltuk a , , és egy kis szám (például 9) maradékait. Legyenek ezek a maradékok rendre , , és . Akkor és ugyanannak a maradéknak kell lennie. $A$ $B$ $K$ $R$ $A=BQ+R$ $A$ $B$ $K$ $R$ $a$ $b$ $q$ $r$ $a$ $bq+r$

Ezeket a maradványokat „zászló” formájában írták: Néha a kereszt + helyett a x keresztet használtak . ${\begin{array}{c|c}q&r\\\hline b&a\end{array)).$

Például Niccolo Tartaglia [1] :34 , amikor a 912345 -öt elosztva 1987-tel, 459 és 312 maradt a maradékban. Ennek ellenőrzésére vette a számok maradékait, amikor elosztotta héttel: 912 345 0 maradékot ad, 1987 6, 459 4, 312 4. Tartaglia ezt így írja, majd ellenőrzi, hogy osztható-e héttel 0 maradéka. Tehát az eredmény megfelelt a teszten [9] . ${\begin{array}{c|c}4&4\\\hline 6&0\end{array}}.$ $4\cdot 6+4$

Gyökerek kinyerése

Hasonló módszert alkalmaztak a gyökerek kivonására is . Csakúgy, mint az osztásnál, a válasz számokban volt megadva.

A négyzetgyökök kinyeréséhez minden lépésben a már kapott részválasz négyzetét kivontuk a számból. Ehhez a képletet használták . Ugyanis, ha valamelyik lépésben a részválaszhoz (vagyis egy új részválaszhoz ) egy alakot rendelünk , akkor az eredeti számból ki kell vonnunk . De az előző lépésben már kivontuk. Tehát ki kell vonnunk . Ehhez a konyhai módszerben a számot alább írták, az ábrát jobbra, majd a szokásos módszer szerint [11] kivonták a részszorzatot . ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2))$ $a$ $b$ $10a+b$ $(10a+b)^{2}$ $(10a)^{2}$ $(20a+b)b$ $20a+b$ $b$

A magasabb fokú gyökerek kinyerésekor a Newton-féle binomiálist alkalmazták , amely már Newton előtt is ismert volt [12] .

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Nicolo Tartaglia . Első könyv // General trattato di numeri, et misure. – Vinegia : Curtio Trojano de i Navo, 1556.
↑ 1 2 Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach. A matematika története . – John Wiley & Sons, 2011. 01. 25. — 680 s.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Leland Locke. Pure Mathematics // A világegyetem tudománytörténete / Francis Rolt-Wheeler (ügyvezető szerkesztő). New York: Current Literature Pub. Co.. – Vol. VIII. — 354 p. - P. 48-52. Archiválva : 2020. február 19. a Wayback Machine -nél
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Lam Lay-Yong. Az aritmetikai osztás Gálya-módszerének kínai eredetéről (angol) // The British Journal for the History of Science. - 1966/06. — Vol. 3 , iss. 1 . - 66-69 . o . - doi : 10.1017/S0007087400000200 . Archiválva az eredetiből: 2019. április 10.
↑ 1 2 3 4 5 Enciklopédia gyerekeknek . T. 11. Matematika / Fejezet. szerk. M. D. Aksjonova. - M . : Avanta +, 1998. - S. 132-134. — ISBN 5-89501-018-0 .
↑ 1 2 3 Perelman Ya. I. Szórakoztató aritmetika. - 8. kiadás - M . : Detgiz , 1954. - 100 000 példány.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 B. Datta , AN Singh. I. rész: Numerikus jelölés és aritmetika // A hindu matematika története: Forráskönyv . - 1962. - S. 150.
↑ Filippo Calandri. Aritmetica (olasz) / Lorenzo Morgiani és Johann Petri. — 1491.
↑ Florian Cajori. A matematikai jelölések története . — Courier Corporation, 2013-09-26. - S. 260-261. — 865 p.
↑ Nicolo Tartaglia . Második könyv // General trattato di numeri, et misure. - Vinegia : Curtio Trojano de i Navo, 1556. - S. 28.
↑ Graham Flegg. Számok: történetük és jelentésük . — Courier Corporation, 2013-05-13. - S. 133. - 307 p.
↑ David E. Smith. A matematika története . - Courier Corporation, 1958-06-01. - S. 148. - 739 p.