Az oszthatóság jelei

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 11-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

Az oszthatóság jele egy olyan algoritmus , amellyel viszonylag gyorsan megállapítható, hogy egy szám többszöröse-e egy előre meghatározott számnak [1] . Ha az oszthatóság jele lehetővé teszi, hogy ne csak egy szám oszthatóságát , hanem az osztás maradékát is megtudja, akkor ezt a szükségesség jelének nevezzük .

Általános szabály, hogy az oszthatósági jeleket kézi számláláshoz és meghatározott helyzetszámrendszerben (általában decimálisan ) megjelenített számokhoz használják.

Az oszthatóság, az egyenlő oszthatóság és az egyenlő megkülönböztetés fogalmai

Ha két egész számra és létezik olyan egész szám, hogy $a$ $b$ $q,$

b\,q=a,

akkor azt mondjuk, hogy a szám osztható vele $a$ $b.$

Két egész szám egyenlően osztható -vel , ha mindkettő osztható -val, vagy mindkettő nem osztható a [2] -vel . $a$ $b$ $m,$ $m,$

Két egész szám egyenlő távolságra van , ha elosztjuk egy természetes számmal (vagy összehasonlítható modulo ), ha ugyanazt a maradékot adják osztva -val, azaz vannak olyan egész számok , $a$ $b$ $m$ $m$ $m$ $q_{1},\,q_{2},\,r,$

a=m\,q_{1}+r,\;\;b=m\,q_{2}+r.

Általános építési elvek

Legyen szükséges meghatározni , hogy egy természetes szám osztható -e egy másik természetes számmal. Ehhez vegyünk egy természetes számsorozatot: $A$ $m.$

A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,\pontok ,\,A_{n},

oly módon, hogy:

$A_{0}=A;$
a sorozat minden tagját az előző határozza meg;
$A_{i}<A_{{i-1}},\quad i=1,\,2,\,3,\,\pontok ,\,n-1;$
a sorozat utolsó tagja kisebb, mint $m,$ $0\leqslant A_{n}<m.$
egy sorozat minden tagjának ugyanaz a maradéka, ha osztva ezzel $m.$

Ekkor ha ennek a sorozatnak az utolsó tagja nulla, akkor osztható -vel , ellenkező esetben nem osztható -val. $A$ $m,$ $A$ $m$

Az ilyen sorozat felépítésének módszere (algoritmusa) lesz a kívánt feltétel a matematikai oszthatósághoz , leírható egy függvény segítségével, amely meghatározza a sorozat minden következő tagját, az előzőtől függően: $m.$ $f(x),$

A_{i}=f\left(A_{{i-1}}\jobbra),\quad i=1,\,2,\,3,\,\pontok ,\,n,

az alábbi feltételeknek eleget tesz:

ha az érték nincs megadva; $x<m$ $f(x)$
ha az érték természetes szám; $x\geqslant m$ $f(x)$
ha akkor $x\geqslant m,$ $f(x)<x;$
ha akkor és egyenértékűek $x\geqslant m,$ $f(x)$ $x$ $m.$

Ha a sorozat összes tagjára vonatkozó egyenlő oszthatóság követelményét felváltjuk az egyenlő maradékosság szigorúbb követelményével, akkor ennek a sorozatnak az utolsó tagja lesz az osztás maradéka, és az ilyen sorozat felépítésének módszere (algoritmusa) a következő lesz. az equi-rezidualitás jele Tekintettel arra, hogy a maradék egyenlőségéből nullával osztva az oszthatóságot követi -val, az equiresistance bármely jele használható az oszthatóság jeleként. Matematikailag a szükségesség előjele egy olyan függvénnyel is leírható, amely meghatározza a sorozat minden következő tagját az előzőtől függően: $A$ $m,$ $m.$ $m$ $m$ $f(x),$

A_{i}=f\left(A_{{i-1}}\jobbra),\quad i=1,\,2,\,3,\,\pontok ,\,n,

az alábbi feltételeknek eleget tesz:

ha az érték nincs megadva; $x<m$ $f(x)$
ha az érték természetes szám; $x\geqslant m$ $f(x)$
ha akkor $x\geqslant m,$ $f(x)<x;$
ha akkor és egyenlő távolságra vannak osztva $x\geqslant m,$ $f(x)$ $x$ $m.$

A funkció

f(x)=xm,\quad x\geqslant m,

és a segítségével felépített sorozat így fog kinézni:

A,\,Am,\,A-2m,\,A-3m,\,\pontok

Valójában a szükségesség jelének ezen függvényen alapuló használata egyenértékű a kivonással való osztással.

Egy másik példa a 10-zel való oszthatóság (valamint az equi-rezidualitás) jól ismert jele.

Ha egy szám decimális ábrázolásában az utolsó számjegy nulla, akkor ez a szám osztható 10-zel; ráadásul az utolsó számjegy az eredeti szám 10-zel való osztásának maradéka.

Matematikailag az egyenlő maradékosság jele a következőképpen fogalmazható meg. Legyen szükséges az alakban ábrázolt természetes szám 10-zel való osztása után kitalálni a maradékot $A,$

A=10\,b+a,\quad 0\leqslant a<10,\quad b\geqslant 0.

Ekkor a maradék 10-zel való osztás után . Az equi-residualitás jelét leíró függvény így fog kinézni $A$ $a$

f(A)=a,\quad A\geqslant 10.

Könnyű bizonyítani, hogy ez a funkció megfelel a fenti követelményeknek. Ráadásul a segítségével felépített szekvencia csak egy vagy két tagot tartalmaz majd.

Az is könnyen belátható, hogy egy ilyen jel kifejezetten egy szám decimális ábrázolására összpontosít – így például, ha egy olyan számítógépen alkalmazza, amely egy szám bináris jelölését használja, akkor annak megállapításához , A programot először el kell osztani 10-zel. $A$ $a$ $A$

A következő tételeket használják leggyakrabban a szükségesség és az oszthatóság jeleinek megalkotására:

Bármilyen egész és természetes egész számra , és egyenlő távolságra vannak osztva $q$ $m$ $A$ $A+mq$ $m.$
Bármilyen egész szám esetén a természetes , egész számok és ekvivalensen oszthatók -val , ha az egész szám másodlagos $q$ $m$ $A$ $pA+mq$ $m,$ $p$ $m.$

Példa a 7-tel való oszthatóság és szükségesség jeleinek megszerkesztésére

Mutassuk meg ezeknek a tételeknek az alkalmazását az oszthatósági és egyenértékűségi kritériumok példáján. $m=7.$

Legyen adott egy egész szám

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0.

Ekkor az első tételből feltételezve , hogy egyenlő távolságra lesz, ha 7-tel osztjuk a számmal $q=-a_{1}$ $A$

A'=A-7a_{1}=\left(10-7\right)a_{1}+a_{0}=3\,a_{1}+a_{0}.

Írjuk fel az egyenlő maradékosság jelének függvényét a következő alakba:

f(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant A_{{min)),\\A-7,&7\leqslant A<A_{{{min} }.\end{cases}}

És végül azt kell találni, hogy bármelyik feltétel teljesüljön ebben az esetben, és a függvény a végső formát veszi fel: $A_{{min}}\leqslant 7,$ $A\leqslant A_{{min}}$ $3\,a_{1}+a_{0}<A.$ $A_{{min}}=10$

f(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}

És a második tételből, feltételezve , hogy 7- tel koprím, az következik, hogy 7-tel ekvivalens lesz a számmal $q=3\,a_{1}$ $p=-2,$ $A$

A'=7\cdot 3a_{1}-2A=\left(21-20\right)a_{1}-2\,a_{0}=a_{1}-2\,a_{0}.

Tekintettel arra, hogy a és számok 7-tel oszthatók, az oszthatósági jel függvényét a következő alakba írjuk: $A'$ $\left|A'\right|$

f(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-2\,a_{0}\right|,&A\geqslant A_{{min}},\\A-7,&7\leqslant A <A_{{min}}.\end{cases}}

És végül azt kell találni, hogy bármelyik feltétel teljesüljön ebben az esetben, és a függvény a végső formát veszi fel: $A_{{min}}\leqslant 7,$ $A\leqslant A_{{min}}$ $\left|a_{1}-2\,a_{0}\jobbra|<A.$ $A_{{min}}=10$

f(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-2\,a_{0}\right|,&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end {esetek}}

Az oszthatóság jelei a tizedes számrendszerben

Tesztelje a 2-vel való oszthatóságot

Egy szám akkor és csak akkor osztható 2 -vel, ha az utolsó számjegye osztható 2-vel, azaz páros .

A jellemzőnek megfelelő funkció (lásd az "Általános felépítési alapelvek" részt ):

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0},<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10\\A-2,&2\leqslant A<10.\end{cases}}

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja.

3-mal oszthatóság jele

Egy szám osztható 3 -mal, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal. Például a 159 szám osztható 3-mal, mert számjegyeinek összege 1 + 5 + 9 = 15 osztható 3-mal.

Funkciónak megfelelő funkció:

A=\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\pontok \,n

F(A)={\begin{cases}{\sum _{{i=0}}^{n}a_{i}},&A\geqslant 10,\\A-3,&3\leqslant A<10. \end{cases}}

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja. Például a számok 154, és egyenlő távolságra vannak, ha elosztjuk 3-mal. $1+5+4=10$ $1+0=1$

A 4-gyel való oszthatóság tesztje

Egy szám osztható 4 -gyel, ha az utolsó két számjegy nulla vagy osztható 4-gyel. Például 14676 a 76 utolsó számjegye, a 76 pedig osztható 4-gyel: 76:4=19. Egy kétjegyű szám akkor és csak akkor osztható 4-gyel, ha a tízes helyén lévő számjegy kétszerese, hozzáadva az egyesek helyén lévő számjegyhez, osztható 4-gyel. Például a 42-es szám nem osztható 4-gyel, mert nem. osztható 4-gyel. $2\cdot 4+2=10$

Funkciónak megfelelő funkció:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-4,&4\leqslant A<10.\end{cases}}

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja. Például a 87 és a számok egyenlő távolságra vannak, ha elosztjuk 4-gyel. $8\cdot 2+7=23$ $2\cdot 2+3=7$

Egy egyszerűbb megfogalmazás: A szám osztható 4-gyel, ha az utolsó számjegy 0, 4, 8, és az utolsó előtti számjegy páros; vagy ha az utolsó számjegy 2, 6, és az utolsó előtti számjegy páratlan.

5-tel oszthatóság jele

Egy szám akkor és csak akkor osztható 5 -tel, ha 0-ra vagy 5-re végződik.

Funkciónak megfelelő funkció:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10,\\A-5,&5\leqslant A<10.\end{cases}}

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja.

6-tal oszthatóság jele

Egy szám akkor és csak akkor osztható 6 -tal, ha osztható 2-vel és 3-mal is (vagyis ha páros és számjegyeinek összege osztható 3-mal).

Az oszthatóság másik jele: egy szám akkor és csak akkor osztható 6-tal, ha az egyes helyeken lévő számjegyhez hozzáadott tízesek számának négyszerese osztható 6-tal.

Funkciónak megfelelő funkció:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}4\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-6,&6\leqslant A<10.\end{cases}}

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja. Például a 73 és a számok egyenlő távolságra vannak, ha elosztjuk 6-tal. $7\cdot 4+3=31,$ $3\cdot 4+1=13$ $1\cdot 4+3=7$

7-tel oszthatóság jele

1. funkció :

egy szám akkor osztható 7 -tel, ha az egységszámjegyhez hozzáadott tízek háromszorosa osztható 7-tel. Például 154 osztható 7-tel, mivel a 7 osztható 1001-gyel, osztható 7-tel, mivel a 7 osztható 7-tel. $15\cdot 3+4=49.$ $100\cdot 3+1=301,\quad 30\cdot 3+1=91,\quad 9\cdot 3+1=28,\quad 2\cdot 3+8=14,\quad 1\cdot 3+4=7.$

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja. Például a 87 és a számok egyenlő távolságra vannak, ha elosztjuk 7-tel. $8\cdot 3+7=31,$ $3\cdot 3+1=10$ $1\cdot 3+0=3$

Az 1. funkció módosításai :

a) a bal oldali első számjegyet felvesszük, megszorozzuk 3-mal, hozzáadjuk a következőt, és mindent megismételünk az elejétől: például 154 :. Ezenkívül minden lépésben kiveheti a 7-tel való osztás maradékát: maradék 1, maradék 0. Mindkét esetben a végső szám egyenlő a maradékkal, ha 7-tel osztjuk az eredeti számmal. $1\cdot 3+5=8,\quad 8\cdot 3+4=28$ $1\cdot 3+5=8$ $1\cdot 3+4=7$

b) ha a maradék tízes számból kivonjuk a szám egységeinek kétszeresét, és az eredmény osztható 7-tel, akkor a szám 7 többszöröse. Például: 784 osztható 7-tel, mivel 78 − (2 × 4) = 78 − 8 = 70 ( ). $a_{1}-2\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}-6\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}-6\,a_{0}+7\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}+a_{0}=0{\bmod {7))$

2. funkció :

egy szám akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha a három számjegyű (egyesekkel kezdődő) páratlan csoportokat alkotó számok algebrai összegének a modulusa osztható a „+” jellel és a páros „-” előjellel. 7. Például a 138 689 257 osztható 7-tel, mert a 7 osztható $|138-689+257|=294.$

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=\sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\pontok \,n

F(A)={\begin{cases}\left|\sum _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,&A\ geqslant 1000,\\A-7,&7\leqslant A<1000.\end{cases}}

3. jel :

ha egy adott szám utolsó három számjegyéből álló szám és egy adott szám fennmaradó számjegyeiből képzett szám (azaz az utolsó három számjegy nélkül) közötti különbség osztható 7-tel, akkor ez a szám osztható 7-tel Példa a 1730736 számra: 1730 − 736 = 994, 994 / 7 = 142.

8-cal való oszthatóság jele

Egy szám akkor osztható 8 -cal , ha az utolsó három számjegy osztható 8-cal. Egy háromjegyű szám akkor és csak akkor osztható 8-cal, ha az egyesben lévő számjegy, plusz a tízes helyén lévő dupla számjegy és négyszeres a százas helyen lévő számjegy osztható 8-cal. Például a 952 osztható 8-cal, mert a 8 osztható $9\cdot 4+5\cdot 2+2=48.$

Funkciónak megfelelő funkció:

A=1000\,a_{3}+100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{ 1}<10,\quad 0\leqslant a_{2}<10,\quad a_{3}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}4\,a_{2}+2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-8,&8\leqslant A<10. \end{cases}}

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja. Például az 567 és a számok egyenlő távolságra vannak, ha elosztjuk 8-cal. $5\cdot 4+6\cdot 2+7=39,$ $3\cdot 2+9=15$ $1\cdot 2+5=7$

9-cel oszthatóság jele

Egy szám osztható 9 -cel , ha a számjegyeinek összege osztható 9-cel. Például az 12345678 számjegyeinek összege osztható 9-cel, tehát maga a szám is osztható 9-cel. $1+2+3+4+5+6+7+8=36.$

Funkciónak megfelelő funkció:

A=\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\pontok \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 10,\\0,&A=9.\end{cases}}

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja. Például a 345 és a számok egyenlő távolságra vannak, ha elosztjuk 9-cel. $3+4+5=12$ $1+2=3$

10-zel való oszthatóság jele

Egy szám akkor és csak akkor osztható 10 -zel, ha nullára végződik .

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=a_{0},\quad A\geqslant 10.

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja.

A 11-gyel való oszthatóság jelei

1. jellemző: Egy szám akkor és csak akkor osztható 11 -gyel , ha a páratlan helyzetű számjegyek összege és a páros helyeken lévő számjegyek összege közötti különbség modulusa osztható 11-gyel. Például 9 163 627 osztható 11-gyel, mert osztható 11 - gyel. Egy másik példa a 99077 osztható 11-gyel, mert osztható 11-gyel . $\bal|(9+6+6+7)-(1+3+2)\jobb|=22$ $\left|(9+0+7)-(9+7)\jobbra|=0$

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i}\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\pontok \ ,n,

F(A)=\left|\sum _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 11.

2. jel: egy szám akkor és csak akkor osztható 11-gyel, ha a kétjegyű (egységekkel kezdődő) csoportokat alkotó számok összege osztható 11-gyel. Például az 103785 osztható 11-gyel, mert a 11 osztható és -el $10+37+85=132$ $01+32=33.$

Funkciónak megfelelő funkció:

A=\sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\pontok \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\A-11,&11\leqslant A<100.\end {esetek}}

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja. Például az 123456 számok, amelyek egyenlő távolságra vannak, ha elosztjuk 11-gyel. $12+34+56=102$ $1+2=3$

13-mal való oszthatóság jele

1. jel : A szám osztható 13 -mal, ha az egység helyén négyes számjegyű tízesek számának összege osztható 13-mal. Például 845 osztható 13-mal, mivel a 13 osztható a következővel : $84+5\cdot 4=104$ $10+4\cdot 4=26.$

2. jel : A szám osztható 13 -mal, ha az egységhelyen kilencszeres számmal rendelkező tízesek számának különbségét elosztjuk 13-mal. Például a 845 osztható 13-mal, mivel a 13 osztható $84-9\cdot 5=39.$

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+4\,a_{0},&A\geqslant 40,\\A-13,&13\leqslant A<40.\end{cases}}

3. jellemző : Egy szám osztható 13 -mal, ha a szám utolsó három számjegyéből álló szám és a szám fennmaradó számjegyeiből képzett szám (azaz az utolsó három számjegy nélkül) közötti különbség osztható 13-mal. Például az 192218 osztható 13-mal, így például a 218-192=26 és a 26 osztható 13-mal.

17-tel oszthatóság jele

A szám osztható 17 -tel a következő esetekben:

- amikor a tízesek száma és az egységhelyen lévő számjegy 5-tel szorzott különbségének modulusát elosztjuk 17-tel. Például a 221 osztható 17-tel, mivel osztható 17-tel. $\left|22-5\cdot 1\right|=17$

- amikor az egységszámjegyben a tízesek számának és a 12-vel szorzott számjegynek a modulusa osztható 17-tel. Például a 221 osztható 17-tel, mivel osztható 17-tel. $\left|22+12\cdot 1\right|=34$

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-5\,a_{0}\right|,&A\geqslant 40,\\A-17,&17\leqslant A<40.\end {esetek}}

19-cel oszthatóság jele

Egy szám akkor és csak akkor osztható 19 -cel, ha az egyes helyeken lévő két számjegyhez hozzáadott tízek száma osztható 19-cel. Például a 646 osztható 19-cel, mivel a 19 osztható $64+2\cdot 6=76$ $7+2\cdot 6=19.$

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+2\,a_{0},&A\geqslant 20,\\0,&A=19.\end{cases}}

20-zal oszthatóság jele

Egy szám akkor és csak akkor osztható 20 -zal, ha az utolsó két számjegyből képzett szám osztható 20-zal.

Egy másik megfogalmazás: egy szám akkor és csak akkor osztható 20-zal, ha a szám utolsó számjegye 0, az utolsó előtti számjegy pedig páros.

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-20,&20\leqslant A<100.\end{cases}}

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja.

23-mal való oszthatóság tesztjei

1. jellemző : Egy szám akkor és csak akkor osztható 23 -mal, ha az utolsó két számjegyből álló szám háromszorosához hozzáadott százak száma osztható 23-mal. Például a 28842 osztható 23-mal, mivel a 23 osztható a következővel : $288+3\cdot 42=414$ $4+3\cdot 14=46.$

2. jellemző : Egy szám akkor és csak akkor osztható 23-mal, ha az egységhelyen lévő számjegyhez hozzáadott tízek száma 7-tel szorozva osztható 23-mal. Például a 391 osztható 23-mal, mivel osztható 23-mal. $39+7\cdot 1=46$

3. jel : Egy szám akkor és csak akkor osztható 23-mal, ha a százasok száma, a tízes helyén lévő számjegy 7-tel és a mértékegységben lévő számjegy háromszorozva, osztható 23-mal. Például a 391 osztható 23, mivel osztható 23-mal. $3+7\cdot 9+3\cdot 1=69$

25-tel oszthatóság jele

Egy szám akkor és csak akkor osztható 25 -tel, ha az utolsó két számjegye olyan szám, amely osztható 25-tel. Más szóval, a 00-ra, 25-re, 50-re vagy 75-re végződő számok oszthatók 25-tel.

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-25,&25\leqslant A<100.\end{cases}}

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja.

27-tel oszthatóság jele

Egy szám akkor és csak akkor osztható 27 -tel, ha a háromjegyű (egyesekkel kezdődő) csoportokat alkotó számok összege osztható 27-tel.

Funkciónak megfelelő funkció:

A=\sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\pontok \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-27,&27\leqslant A<1000.\end {esetek}}

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja.

29-cel oszthatóság jele

Egy szám akkor és csak akkor osztható 29 -cel, ha az egyesek helyének háromszorosához hozzáadott tízek száma osztható 29-cel. Például a 261 osztható 29-cel, mert osztható 29-cel. $26+3\cdot 1=29$

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+3\,a_{0},&A\geqslant 30,\\0,&A=29.\end{cases}}

30-zal oszthatóság jele

Egy szám akkor és csak akkor osztható 30 -zal, ha 0-ra végződik, és az összes számjegy összege osztható 3-mal. Például: 510 osztható 30-zal, de 678 nem.

31-gyel való oszthatóság jele

Egy szám akkor és csak akkor osztható 31 -gyel, ha a tízesek száma és az egyes helyen lévő hármasjegy különbségének modulusa osztható 31-gyel. Például a 217 osztható 31-gyel, mert osztható 31-gyel. $\left|21-3\cdot 7\right|=0$

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=\left|a_{1}-3\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 31.

37-tel oszthatóság jele

1. jel: a szám akkor és csak akkor osztható 37 -tel , ha a számot háromjegyű csoportokra osztva (egységekből kiindulva) ezeknek a csoportoknak az összege 37 többszöröse.

Funkciónak megfelelő funkció:

A=\sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\pontok \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-37,&37\leqslant A<1000.\end {esetek}}

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja.

2. jellemző: Egy szám akkor és csak akkor osztható 37-tel, ha a tízes helyen lévő négyes számjegyhez hozzáadott hármas százas modulus osztható 37-tel, mínusz az egyesek számjegye, megszorozva héttel. Például a 481-es szám osztható 37-tel, mert a 37 osztható -val $\left|3\cdot 4+4\cdot 8-7\right|=37.$

Funkciónak megfelelő funkció:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)=\left|3\,a_{2}+4\,a_{1}-7\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 37.

3. előjel: Egy szám akkor és csak akkor osztható 37-tel, ha az egyes helyű számjegyű százak összegének szorzata tízzel mínusz a tízes helyű számjegy és 11 szorzata osztható 37-tel. , a 481 szám osztható 37-tel, tehát hogyan kell osztani 37-tel $\left|4-11\cdot 8+10\cdot 1\right|=74.$

Funkciónak megfelelő funkció:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}\left|a_{2}-11\,a_{1}+10\,a_{0}\right|,&A\geqslant 100,\\A-37,&37 \leqslant A<100.\end{cases}}

41-gyel való oszthatóság jele

1. jel : egy szám akkor és csak akkor osztható 41 -gyel , ha a tízesek száma és az egységhelyen lévő négyes számjegy különbségének modulusa osztható 41-gyel. Például a 369 osztható 41-gyel, mivel osztható 41. $\left|36-4\cdot 9\right|=0$

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=\left|a_{1}-4\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 41.

2. jel : annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 41-gyel, jobbról balra kell felosztani egyenként 5 számjegyű lapokra. Ezután mindegyik arcnál szorozza meg a jobb oldali első számot 1-gyel, a második számot 10-zel, a harmadikat 18-mal, a negyediket 16-tal, az ötödiket 37-tel, és adja hozzá az összes kapott terméket. Ha az eredmény osztható 41-gyel, akkor és csak akkor lesz a szám osztható 41-gyel.

Vannak más (kényelmesebb) kritériumok is a 41-gyel osztható, lásd 41 (szám) .

50-nel oszthatóság jele

Egy szám akkor és csak akkor osztható 50 -zel, ha a két legkisebb jelentőségű tizedesjegyből alkotott szám osztható 50-zel.

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-50,&50\leqslant A<100.\end{cases}}

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja.

59-el oszthatóság jele

Egy szám akkor és csak akkor osztható 59 -cel, ha az egyes számjegyhez hozzáadott tízek száma 6-tal szorozva osztható 59-cel. Például a 767 osztható 59-cel, mert az 59 osztja és $76+6\cdot 7=118$ $11+6\cdot 8=59.$

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+6\,a_{0},&A\geqslant 60,\\0,&A=59.\end{cases}}

79-cel oszthatóság jele

Egy szám akkor és csak akkor osztható 79 -cel, ha az egységszámjegyhez hozzáadott tízek száma 8-cal szorozva osztható 79-cel. Például a 711 osztható 79-cel, mivel a 79 osztható 79-cel . $71+8\cdot 1=79$

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+8\,a_{0},&A\geqslant 80,\\0,&A=79.\end{cases}}

99-cel oszthatóság jele

Egy szám akkor és csak akkor osztható 99 -cel, ha a kétjegyű (egységekkel kezdődő) csoportokat alkotó számok összege osztható 99-cel. Például az 12573 osztható 99-cel, mert a 99 osztható vele $1+25+73=99.$

Funkciónak megfelelő funkció:

A=\sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\pontok \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\0,&A=99.\end{cases}}

Ez a függvény az oszthatóság jele mellett a szükségesség jelét is beállítja. Például a számok 123456, és egyenlő távolságra vannak, ha elosztjuk 99-cel. $12+34+56=102$ $1+2=3$

101-gyel osztható jel

Egy szám akkor és csak akkor osztható 101 -gyel, ha a „+” jellel felvett (egyesekkel kezdődő) páratlan és a „-” jelű páratlan számjegyekből álló számok algebrai összegének modulusa osztható. Például az 590547 osztható 101-gyel, mivel osztható 101-gyel $\bal|59-5+47\jobb|=101.$

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=\sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\pontok \,n

F(A)=\left|\sum _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 101.

Oszthatósági teszt 1091-re

Egy szám akkor és csak akkor osztható 1091-gyel, ha a tízek száma és a 109-es egységjegyek közötti különbség osztható 1091-gyel. Például 18547 osztható 1091-gyel, mert az 1854 - 7 * 109 = 1091 osztható 1091-gyel.

Az oszthatóság általános jelei

Az oszthatóság jele a számrendszer alapfokának osztójával

Ha egyes természetes számok esetén a szám osztható egy természetes számmal, akkor az alapszámrendszerbe írt egész szám egyenlő távolságra van az alsó számjegyei által alkotott számtól . Ez a tulajdonság lehetővé teszi az oszthatóság és a szükségesség jelének felépítését a számrendszer alapja fokának osztójára. $t$ $n$ $t^{n}$ $m,$ $A,$ $t,$ $n$

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=t^{n}a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<t^{n},\quad a_{1}\geqslant 0,\quad t^{n} \,\vdots \,m,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant t^{n},\\Am,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}

Például a decimális számrendszerben ez lehetővé teszi 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 stb.

Az osztóval való oszthatóság jele $t^{n}-1$

Ha egyes természetes számokra és a szám osztható egy természetes számmal, akkor az alaprendszerbe írt egész szám egyenlően osztható a számcsoportokra osztásból keletkező számok összegével, a legkisebbtől kezdve. Ez a tulajdonság lehetővé teszi a vele való oszthatóság tesztjének elkészítését $t$ $n$ $t^{n}-1$ $m,$ $A,$ $t,$ $n$ $m.$

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=\sum _{{i=0}}^{n}t^{{in}}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left (t^{n}-1\jobbra)\,\vdots \,m,

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant t^{n},\\Am,&m\leqslant A<t^ {n}.\end{cases}}

Például a decimális számrendszerben ez lehetővé teszi, hogy 3-mal, 9-el, 11-gyel, 27-tel, 33-mal, 37-tel, 99-cel, 101-el, 111-el, 303-mal, 333-mal, 999-cel, 1111-el, 3333-mal, 9999-el stb.

Az osztóval való oszthatóság jele $t^{n}+1$

Ha egyes természetes számokra és a szám osztható egy természetes számmal, akkor az alapszámrendszerbe írt bármely egész szám ekvivalens a számcsoportokra osztásból adódó váltakozó számok modulusával, a legkisebbtől kezdve. Ez a tulajdonság lehetővé teszi a vele való oszthatóság tesztjének elkészítését $t$ $n$ $t^{n}+1$ $m,$ $A,$ $t,$ $n$ $m.$

A funkciónak megfelelő funkció a következő:

A=\sum _{{i=0}}^{n}t^{{in}}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left (t^{n}+1\jobbra)\,\vdots \,m,

F(A)={\begin{cases}\left|\sum _{{i=0}}^{n}(-1)^{i}a_{i}\right|,&A\geqslant t^{ n},\\Am,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}

Például a tizedes számrendszerben ez lehetővé teszi, hogy 7, 11, 13, 73, 77, 91, 101, 137, 143, 1001, 10001 stb.-el osztható jeleket építsen.

Hosszú osztás

Annak az algoritmusnak a futási ideje, amely egy szám más számmal való oszthatóságát ellenőrzi az "egy oszlopban" elosztással: . Így az úgynevezett "oszthatósági kritériumok" sok esetben nem adnak észrevehető növekedést az elvégzett elemi műveletek számában. Kivételt képeznek az űrlap számokkal való oszthatóságának feltételei , amelyek futási ideje nem függ az ellenőrzött szám méretétől. $n$ $O(\log n)$ ${\displaystyle 2^{a}5^{b))$

Az oszthatóság jelei más számrendszerekben

Az oszthatósági jelek más számrendszerekben hasonlóak a decimálisakéhoz. Különösen bármely számrendszerben (a számok abban a rendszerben vannak írva, amelyben jelenleg dolgozunk):

egy szám osztható 10 n -nel, ha n nullára végződik.

Ha a számrendszer alapja 1 modulo valamilyen k szám (vagyis az alap k - val való osztásának maradéka 1), akkor bármely szám akkor és csak akkor osztható k -val , ha számjegyeinek összege osztható k -val anélkül egy maradékot. Különösen:

egy szám osztható 10 − 1-gyel, ha számjegyeinek összege osztható 10 − 1-gyel;
ha a számrendszer alapja páratlan, akkor a szám osztható 2-vel, ha a számjegyeinek összege osztható 2-vel.

Ha a számrendszer alapja egyenlő k − 1 modulo valamilyen k számmal , akkor bármely szám akkor és csak akkor osztható k -val , ha a páratlan helyeket elfoglaló számjegyek összege vagy egyenlő a páros helyeket elfoglaló számjegyek összegével, vagy eltér belőle maradék nélkül k -val osztható számmal . Különösen:

egy szám osztható 11-gyel, ha a páratlan helyeket elfoglaló számjegyek összege vagy egyenlő a páros helyeket elfoglaló számjegyek összegével, vagy eltér attól egy 11-gyel osztható számmal.

Ha egy számrendszer alapja osztható valamilyen k számmal , akkor bármely szám akkor és csak akkor osztható k -val, ha az utolsó számjegye osztható k -val . Különösen:

ha a számrendszer alapja páros, akkor a szám osztható 2-vel, ha az utolsó számjegye osztható 2-vel.

Lásd még

A Pascal- teszt egy univerzális oszthatósági teszt, amely lehetővé teszi bármely a és b egész számmal annak meghatározását, hogy a osztható -e b -vel . Pontosabban, lehetővé teszi a fenti jellemzők szinte mindegyikének levezetését.

Irodalom

Vorobjov N. N. Az oszthatóság jelei . - 4. kiadás - M. : Nauka, 1988. - T. 39. - 94 p. - ( Népszerű matematikai előadások ). — ISBN 5-02-013731-6 .

Jegyzetek

↑ Gyakorlatilag a "viszonylag gyors" azt jelenti , hogy "gyorsabban, mint amennyit a tényleges felosztás elvégezhető lenne" ugyanazzal az eszközzel. Ezen túlmenően ennek az algoritmusnak a hatékonysága nagymértékben függ a számok megjelenítési formájától és a rendelkezésre álló számítási lehetőségektől.
↑ Vorobjov N. N. Az oszthatóság jelei. - 4. kiadás, Rev. - M . : Nauka, 1988. - P. 42. - ( Népszerű matematikai előadások ). — ISBN 5-02-013731-6 .