Pascal jele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. július 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Pascal-jel egy matematikai módszer, amely lehetővé teszi, hogy bármilyen számmal osztható jeleket kapjunk. Afféle "oszthatóság univerzális jele".

Általános nézet

Legyen egy természetes szám tizedes jelöléssel írva, mint , ahol egységek, tízesek stb. $A$ $\overline {a_{n}a_{{n-1}}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}$ $a_{0}$ $a_{1}$

Legyen tetszőleges természetes szám, amellyel osztani akarjuk, és megjeleníteni vele az oszthatóság jelét. $m$

Számos maradékot találunk a következő séma szerint:

r_{1}

- osztás után maradék

tíz

m

r_{2}

- osztás után maradék

10\cdot r_{1}

m

r_3

- osztás után maradék

10\cdot r_{2}

m

…

r_{n}

-vel való osztás után a maradék .

10\cdot r_{{n-1}}

m

Formálisan:

r_{1}\equiv 10{\pmod m}

r_{i}\equiv 10\cdot r_{{i-1}}{\pmod m},\;i=\overline {2...n}

Mivel véges számú maradék van (tehát nem több, mint ), ez a folyamat ciklusokban (legkésőbb lépésenként) megy végbe , és nem folytatható tovább: Valamelyikből kiindulva , ahol a kapott sorozatperiódus . Az egységesség kedvéért feltételezhetjük, hogy . $m$ $m$ $i=i_{0}:~r_{{i+p}}=r_{i}$ $p$ $\{r_{i}\}$ $r_{0}=1$

Ekkor ugyanannyi a maradék, mint a szám $A$ $m$

$r_{n}\cdot a_{n}+\ldots +r_{2}\cdot a_{2}+r_{1}\cdot a_{1}+a_{0}$ .

Bizonyítás

Kihasználva azt a tényt, hogy egy algebrai kifejezés modulo-ban lecserélhetjük a számokat maradékaikra, ha elosztjuk -vel , a következőt kapjuk: $m$ $m$

$A{\pmod {m}}=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}}){\pmod {m} }=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}}}\cdot 10+a_{0}){\pmod {m}}$ $=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}}}\cdot r_{1}+a_{0}r_{0}){\pmod {m}}$ $=(({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2))}\cdot 10+a_{1})\cdot r_{1}+a_{0}r_{ 0}){\pmod {m}}$ $=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}}}\cdot 10r_{1}+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0 }){\pmod {m}}$ $=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2))}\cdot r_{2}+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0 }){\pmod {m}}=\ldots =$ $(a_{n}r_{n}+\ldots +a_{2}r_{2}+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0}){\pmod {m))$

Fő speciális esetek

Tesztelje a 2-vel való oszthatóságot

itt . Azóta . _ Innen egy jól ismert előjelet kapunk: egy szám 2-vel való osztásának maradéka egyenlő az utolsó számjegyének 2 -vel való osztásának maradékával , vagy általában: egy szám osztható 2-vel, ha az utolsó számjegye páros . $m=2$ $10~\vdots ~2$ $r_{0}=1,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N}$

A 3-mal és 9-cel oszthatóság jelei

Itt vagy . Mivel ( 10 3-mal és 9-cel való osztásának maradéka 1 ), akkor minden . Ez azt jelenti, hogy egy szám 3-mal (vagy 9-cel) való osztásának maradéka egyenlő a számjegyei összegének 3-mal (illetve 9- cel) való osztásának maradékával , vagy egyébként: a szám osztható 3-mal (vagy 9-cel), ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal (vagy 9 ) . $m=3$ $m=9$ $10^{i}\equiv 1{\pmod {3)),i\in \mathbb {N}$ $r_{i}=1$

A 4-gyel való oszthatóság tesztje

itt . Megtaláljuk a maradékok sorrendjét: . Innen előjelet kapunk: egy szám 4-gyel való osztásának maradéka egyenlő a 4-gyel való osztás maradékával , vagy figyelembe véve, hogy a maradék csak az utolsó 2 számjegytől függ: egy szám osztható 4-gyel, ha az utolsó 2 számjegye osztható 4-gyel . $m=4$ $r_{0}=1,~r_{1}=2,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N}$ ${\displaystyle 2\cdot a_{1}+a_{0))$

5-tel oszthatóság jele

itt . Azóta . _ Innen egy jól ismert előjelet kapunk: egy szám 5-tel való osztásának maradéka egyenlő az utolsó számjegyének 5 -tel való osztásának maradékával , vagy általában: egy szám osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye 0 vagy 5 . $m=5$ $10~\vdots~5$ $r_{0}=1,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N}$

7-tel oszthatóság jele

itt . A többit megtaláljuk. $m=7$

$10=1\cdot 7+3\Jobbra r_{1}=3$
$10\cdot r_{1}=4\cdot 7+2\Rightarrow r_{2}=2$
$10\cdot r_{2}=2\cdot 7+6\Rightarrow r_{3}=6$
$10\cdot r_{3}=8\cdot 7+4\Rightarrow r_{4}=4$
$10\cdot r_{4}=5\cdot 7+5\Jobbra r_{5}=5$
$10\cdot r_{5}=7\cdot 7+1\Rightarrow r_{6}=1=r_{0}$ , a ciklus lezárult.

Ezért bármilyen számra

A=\overline {a_{n}a_{{n-1}}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}

a maradék 7-tel osztva

a_{0}+3a_{1}+2a_{2}+6a_{3}+4a_{4}+5a_{5}+a_{6}+\lpont

. Példa

Tekintsük a 48916 számot. Amint azt fentebb bizonyítottuk,

48916\equiv 6+3\cdot 1+2\cdot 9+6\cdot 8+4\cdot 4=

6+3+18+48+16=91\equiv 0{\pmod {7}}

tehát 48916 osztható 7-tel.

11-gyel való oszthatóság jele

itt . Mivel , akkor minden , a . Innen egy egyszerű kritériumot kaphat a 11-gyel osztható: $m=11$ $10^{2n}=99\cdot 101\ldots 01+1\equiv 1{\pmod {11}}$ $r_{2i}=1$ $r_{2i-1}=10\equiv -1{\pmod {11))$

egy szám 11-gyel való osztásának maradéka megegyezik a számjegyek összegének elosztásának maradékával, ahol minden páratlan (egységekből kiinduló) számjegyet „-” jellel veszünk 11-gyel.

Egyszerűen fogalmazva:

ha egy szám összes számjegyét 2 csoportra osztja - egy számjegyre (az összes páratlan pozíciójú számjegy az egyik csoportba esik, a páros pedig a másikba), adja hozzá az egyes csoportok összes számjegyét, és vonjon le egy kapott összeget a másik, akkor a 11-gyel való osztás maradéka Az eredmény ugyanaz lesz, mint az eredeti szám.

Irodalom

Vorobjov N. N. Az oszthatóság jelei . - 4. kiadás - M. : Nauka, 1988. - T. 39. - 94 p. - ( Népszerű matematikai előadások ). — ISBN 5-02-013731-6 .