Konfiguráció (geometria)

A projektív geometriában a síkkonfiguráció véges ponthalmazból és vonalak véges konfigurációjából áll úgy , hogy minden pont ugyanannyi vonalra esik, és minden egyenes ugyanannyi pontra esik [2] .

Bár néhány konkrét konfigurációt korábban is tanulmányoztak (például Thomas Kirkman 1849-ben), a konfigurációk formális tanulmányozását először Theodor Reyet kezdte 1876-ban Geometrie der Lage ( Geometry ) című könyvének második kiadásában. pozíció ), Desargues tételének tárgyalása keretében . Ernst Steinitz 1894-ben írta disszertációját a témában, a konfigurációkat pedig 1932-ben Hilbert és Cohn-Vossen félpolarizálta az Anschauliche Geometrie ( Visuális geometria ) című könyvében, amelyet angolra [3] és oroszra fordítottak.

A konfigurációk tanulmányozhatók vagy konkrét pontok és vonalak halmazaiként egy adott geometriában, például az euklideszi vagy projektív síkban (ebben az esetben az adott geometriában való megvalósításról beszélünk ), vagy mint absztrakt beesési geometria . Az utóbbi esetben a konfigurációk szorosan kapcsolódnak a reguláris hipergráfokhoz és a bireguláris bipartite gráfokhoz , de azzal a további megszorítással, hogy az előfordulási struktúra bármely két pontja legfeljebb egy vonalhoz, és bármely két vonal társítható. legfeljebb egy ponttal. Vagyis a megfelelő kétrészes gráf kerületének ( Lévy -gráf konfiguráció) legalább hatnak kell lennie.

Jelölés

Egy síkkonfigurációt ( p γ ℓ π ) jelölünk, ahol p a pontok száma, ℓ a vonalak száma, γ az egyes pontokon áthaladó vonalak száma, és π az egyes egyeneseken lévő pontok száma. Ezeknek a számoknak ki kell elégíteniük az összefüggést

,

mivel ez a szorzat megegyezik a pontvonal események ( jelzők ) számával.

Az azonos szimbólumot tartalmazó konfigurációknak nem kell izomorfnak lenniük , mint az előfordulási struktúráknak . Például három különböző konfiguráció létezik (9 3  9 3 ) - a Pappus konfiguráció és két kevésbé ismert konfiguráció.

Egyes konfigurációkban p = ℓ és ezért γ = π. Ezeket szimmetrikus vagy kiegyensúlyozott [4] konfigurációknak nevezik, és általában a jelölés mellőzi az ismétlést. Például a (9 3  9 3 ) értéke (9 3 ) lesz.

Példák

A következő projektív konfigurációk a legismertebbek:

A konfigurációk kettőssége

A ( p γ l π ) projektíven kettős konfigurációja az ( l π p γ ), amelyben a "pontok" és a "vonalak" szerepe felcserélődik. Ezért a konfigurációk kettős párban vannak, kivéve azokat az eseteket, amikor a kettős konfiguráció izomorf az eredetivel. Ezeket a kivételeket önkettős konfigurációknak nevezzük , és ezekben az esetekben p = l [6] .

Konfigurációk száma ( n 3 )

Az ( n 3 ) típusú nemizomorf konfigurációk száma n = 7-től kezdve a sorozat egyik eleme

1 , 1 , 3 , 10 , 31 , 229 , 2036 , 21399 , 245342 , ... OEIS sorozat A001403

Ezeket a számokat absztrakt előfordulási struktúrákként számítják ki, függetlenül a megvalósítás lehetőségétől [7] . Ahogy Gropp írja [8] , tíz konfigurációból kilenc (10 3 ) és az összes konfiguráció (11 3 ) és (12 3 ) megvalósítható az euklideszi térben, de minden n ≥ 16 esetén van legalább egy megvalósíthatatlan konfiguráció ( n 3 ) . Gropp egy régóta fennálló hibára is rámutat ebben a sorrendben – egy 1895-ös cikk megpróbálta felsorolni az összes konfigurációt (12 3 ), és 228-at találtak is belőlük, de a 229. konfigurációt csak 1988-ban fedezték fel.

Szimmetrikus konfigurációk felépítése

Számos módszer létezik konfigurációk felépítésére, általában a már ismert konfigurációkból indulva ki. E módszerek közül néhány a legegyszerűbb szimmetrikus ( p γ ) konfigurációkat hoz létre.

Bármely n - rendű véges projektív sík konfiguráció (( n 2 + n + 1) n + 1 ). Legyen Π egy n rendű projektív sík . Távolítsuk el Π-ből a P pontot és az összes P -n átmenő Π egyenest (de ne az ezeken az egyeneseken fekvő pontokat, kivéve a P pontot ), és távolítsuk el a P -n át nem haladó l egyenest és az ezen az egyenesen fekvő összes pontot. Ennek eredményeként egy (( n 2 - 1) n típusú konfigurációt kapunk . Ha a szerkesztés során a P -n átmenő l egyenest választjuk, akkor (( n 2 ) n típusú konfigurációt kapunk . Mivel ismert, hogy projektív síkok léteznek minden n rendű prímszám hatványa esetén, ezek a konstrukciók a szimmetrikus konfigurációk végtelen családját adják.

Nem minden konfiguráció valósítható meg, például a (43 7 ) konfiguráció nem létezik [9] . Grupp [10] azonban olyan konstrukciót adott, amely azt mutatja, hogy k ≥ 3 esetén a ( p k ) konfiguráció létezik minden p ≥ 2 l k + 1 esetén, ahol l k a k rendű optimális Golomb-vonalzó hossza .

Nagy méretek

A konfiguráció fogalma általánosítható magasabb dimenziókra, például pontokra és vonalakra vagy síkokra a térben . Ebben az esetben enyhíthető az a megkötés, hogy két pont ne feküdjön egynél több egyenesen, hiszen két pont egynél több síkhoz is tartozhat.

A háromdimenziós térben érdekesek

További általánosítást kapunk háromdimenziós térben, ha figyelembe vesszük a pontok, egyenesek és síkok előfordulását, azaz j - tereket 0 ≤ j < 3 esetén, ahol minden j - tér N jk k -térre esik ( j ≠ k ). Ha N jj -vel jelöljük a j -terek számát , egy ilyen konfigurációt mátrixként ábrázolhatunk :

A megközelítés általánosítható más n dimenziókra is , ahol 0 ≤ j < n . Az ilyen konfigurációk matematikailag összefüggenek a szabályos poliéderekkel [11] .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 Angolul - négyszög és négyszög , amelyet mindkét esetben négyszögnek fordítanak oroszra . Itt azonban különböző figurákról beszélünk.
  2. ↑ A szakirodalomban a projektív konfiguráció ( Hilbert, Cohn-Vossen 1952 ) és a taktikai konfiguráció (1,1) ( Dembowski 1968 ) kifejezéseket használják ugyanarra a fogalomra.
  3. ↑ Hilbert, Cohn-Vossen, 1952 , p. 94–170.
  4. ↑ Grünbaum, 2009 .
  5. ↑ Kelly, 1986 .
  6. ↑ Coxeter, 1999 , p. 106-149.
  7. ↑ Betten, Brinkmann, Pisanski, 2000 .
  8. ↑ Gropp, 1997 .
  9. ↑ Ennek a konfigurációnak egy 6-os rendű projektív síknak kell lennie, de ilyen sík a Bruck-Reiser tétel szerint nem létezik.
  10. ↑ Gropp, 1990 .
  11. ↑ Coxeter, 1948 .

Irodalom

Linkek