A Desargues - konfiguráció tíz pontból és tíz vonalból álló konfiguráció , amelyben minden vonal a konfiguráció három pontját tartalmazza, és három vonal halad át bármely ponton. A konfiguráció Gerard Desargues nevéhez fűződik , és szorosan kapcsolódik Desargues tételéhez , amely bizonyítja az ilyen konfigurációk létezését.
Két ABC és abc háromszöget központi perspektívában lévőnek mondunk, ha az Aa , Bb és Cc egyenesek egy pontban (az úgynevezett perspektíva középpontjában) metszik egymást. Axiális perspektívában vannak, ha az X = AB • ab , Y = AC • ac és Z = BC • bc háromszögek megfelelő oldalain átmenő egyenesek metszéspontjai ugyanazon az egyenesen, a perspektivikus tengelyen helyezkednek el. Desargues tétele kimondja, hogy ez a két feltétel ekvivalens – ha két háromszög központi perspektívában van, akkor axiális perspektívában kell lennie, és fordítva. Ebben az esetben ennek a két perspektívának a tíz pontja és tíz egyenese (a háromszögek hat csúcsa, a perspektivikus tengely három metszéspontja és a perspektíva középpontja, a háromszögek hat oldala, a perspektíva középpontján átmenő három egyenes és a perspektivikus tengely) együtt alkotják a Desargues-konfigurációt.
Bár a konfiguráció beágyazható egy síkba, háromdimenziós térben nagyon egyszerű a felépítése – az euklideszi térben általánosan elhelyezkedő bármely öt síknak van tíz metszéspontja három síknak és tíz metszésvonala két síknak, alkotnak egy Desargues konfigurációt [1] . Ez a konstrukció szorosan összefügg azzal a tulajdonsággal, hogy minden projektív térbe ágyazható projektív sík engedelmeskedik Desargues tételének. A Desargues-konfiguráció ilyen háromdimenziós ábrázolását teljes pentaédernek is nevezik [1] .
Egy ötcellás vagy pentaéder (egy szabályos szimplex a négydimenziós térben) öt csúcsa, tíz éle, tíz háromszög alakú kétdimenziós lapja és öt tetraéder lapja van. Az élek és a 2D lapok pontosan ugyanúgy metszik egymást, mint a Desargues konfigurációban a vonalakkal rendelkező pontok. Folytassuk az ötcella éleit egyenesekkel és minden háromszöggel a síkhoz. Tekintsük ezen egyenesek és síkok metszéspontját egy háromdimenziós hipersíkkal, amely nem tartalmazza ezeket az egyeneseket és síkokat, és nem is párhuzamos velük. Minden vonal egy pontban metszi a hipersíkot, minden sík pedig egyenes vonalban metszi a hipersíkot. Ez a tíz pont és vonal alkotja a Desargues konfigurációt [1] .
Bár a pontok és az egyenesek különböző szerepet játszanak Desargues tételében, Desargues konfigurációja szimmetrikusabb – a tíz pont bármelyike kiválasztható a perspektíva középpontjaként, és ez a választás határozza meg, hogy melyik hat pont a háromszög csúcsa, és melyik egyenes a perspektíva tengelye. A Desargues-konfiguráció 120-as rendű szimmetriacsoporttal rendelkezik . Így 120 különböző módja van a pontok és vonalak permutációjának egy konfigurációban, amely megőrzi egy pont és egy egyenes beesését. A Desargues-konfiguráció háromdimenziós ábrázolása egyértelműbbé teszi ezeket a szimmetriákat - ha a konfigurációt háromdimenziós térben lévő öt síkból kapjuk meg egy közös konfigurációban, akkor ennek az öt síknak mind a 120 különböző permutációja megfelel a szimmetriának a háromdimenziós térben. Desargues konfiguráció [1] .
A Desargues konfiguráció önkettős, ami azt jelenti, hogy az első konfiguráció pontjait a másik konfigurációban lévő vonalakkal, az első vonalait pedig a második pontjaival egyeztethetjük úgy, hogy minden előfordulás megmarad [2 ] .
A Desargues-konfiguráció Levi -gráfja, amely minden ponthoz egy-egy csúcs, a konfiguráció minden vonalához pedig egy csúcs tartozik, Desargues-gráfként ismert . Tekintettel a Desargues-konfiguráció szimmetriáira és önkettősségére, a Desargues-gráf szimmetrikus gráf .
Kempe egy másik gráfot javasolt ehhez a konfigurációhoz, amelynek tíz csúcsa van az egyeneseknek, és két csúcsot összekötő élek, ha két egyenes metszéspontja nem tartozik a konfigurációhoz. Ezt a gráfot másképpen is értelmezheti - a gráf csúcsai a Desargues konfiguráció pontjainak felelnek meg, az élek pedig ebben az esetben vonalaknak felelnek meg, ha az ezeken a pontokon áthaladó egyenes nem tartozik a konfigurációhoz. Ez a kiadvány az első ismert forrás a matematikai irodalomban, amely Petersen-gráfot tartalmaz , 12 évvel azelőtt, hogy Julius Petersen ugyanezt a gráfot használta ellenpéldaként egy élszínezési feladatban .
Projektív konfigurációként a Desargues konfiguráció (10 3 10 3 ) jelöléssel rendelkezik, ami azt jelenti, hogy mind a 10 pontja három, a 10 vonala pedig három pontra esik. Tíz pontja egyedi módon tekinthető két egymásra írt ötszögnek vagy egy önmagába írt tízszögnek [3] . A Desargues-gráfot , egy 20 csúcsú, kétrészes szimmetrikus köbös gráfot ezen a néven nevezik, mert ábrázolható a Desargues-konfiguráció Levi -gráfjaként, ahol minden ponthoz és minden vonalhoz van egy csúcs, és minden ponthoz egy él. vonal incidens.
Van nyolc másik (10 3 10 3 ) konfiguráció (azaz olyan pontok és egyenesek halmazai az euklideszi síkban, amelyekben bármely pont három egyenesen fekszik, és bármelyik egyenes három pontot tartalmaz), amelyek nem izomorfak a beesési relációt tekintve. a Desargues konfigurációt, és ezen konfigurációk egyike a jobb oldali ábrán látható. Ezekben a konfigurációkban minden kiválasztott ponthoz mindig van három másik, amely nem ugyanazon az egyenesen fekszik vele, és ezek a pontok nem ugyanazon az egyenesen. A Desargues konfigurációban ez a három pont mindig ugyanazon az egyenesen fekszik. Tehát, ha a perspektíva középpontját választjuk, akkor ez a három pont a perspektíva tengelyén fekszik. A jobb oldali példában az ilyen pontok háromszöget alkotnak. A Desargues konfigurációhoz hasonlóan más konfigurációk is ábrázolhatók egymásra írt ötszögek párjaként.